学年新教材高中数学第5章三角函数章末复习课讲义新人教A版必修第一册.docx

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学年新教材高中数学第5章三角函数章末复习课讲义新人教A版必修第一册

第5章三角函数

同角三角函数基本关系和诱导公式的应用

【例1】　

（1）已知sin（－π＋θ）＋2cos（3π－θ）＝0，则

＝________.

（2）已知f（α）＝

.

①化简f（α）；

②若f（α）＝

，且

＜α＜

，求cosα－sinα的值；

③若α＝－

，求f（α）的值．

[思路点拨]　先用诱导公式化简，再用同角三角函数基本关系求值．

（1）

　[由已知得－sinθ－2cosθ＝0，故tanθ＝－2，

则

＝

＝

＝

.]

（2）[解]　①f（α）＝

＝sinα·cosα.

②由f（α）＝sinα·cosα＝

可知，

（cosα－sinα）2＝cos2α－2sinα·cosα＋sin2α

＝1－2sinα·cosα＝1－2×

＝

，

又∵

＜α＜

，∴cosα＜sinα，

即cosα－sinα＜0，

∴cosα－sinα＝－

.

③∵α＝－

π＝－6×2π＋

，

∴f

＝cos

·sin

＝cos

·sin

＝cos

·sin

＝

×

＝

.

1．将本例

（2）中“

”改为“－

”“

＜α＜

”改为“－

＜α＜0”求cosα＋sinα.

[解]　因为－

＜α＜0，所以cosα＞0，sinα＜0且|cosα|＞|sinα|，

所以cosα＋sinα＞0，

又（cosα＋sinα）2＝1＋2sinαcosα＝1＋2×

＝

，所以cosα＋sinα＝

.

2．将本例

（2）中的用tanα表示

.

[解]　

＝

＝

＝

.

1．牢记两个基本关系式sin2α＋cos2α＝1及

＝tanα，并能应用两个关系式进行三角函数的求值、化简、证明．在应用中，要注意掌握解题的技巧．比如：

已知sinα±cosα的值，可求cosαsinα.注意应用（cosα±sinα）2＝1±2sinαcosα.

2．诱导公式可概括为k·

±α（k∈Z）的各三角函数值的化简公式．记忆规律是：

奇变偶不变，符号看象限．

三角函数的图象变换问题

【例2】　

（1）已知曲线C1：

y＝cosx，C2：

y＝sin

，则下面结论正确的是（　　）

A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C2

B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线C2

C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移

个单位长度，得到曲线C2

D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移

个单位长度，得到曲线C2

（2）将函数y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移

个单位长度后，得到一个偶函数的图象，则φ的一个可能取值为（　　）

A.

　　　B.

C．0D．－

（1）D　

（2）B　[

（1）因为y＝sin

＝cos

＝cos

，所以曲线C1：

y＝cosx上各点的横坐标缩短到原来的

倍，纵坐标不变，得到曲线y＝cos2x，再把得到的曲线y＝cos2x向左平移

个单位长度，得到曲线y＝cos2

＝cos

.

故选D.

（2）y＝sin（2x＋φ）的图象沿x轴向左平移

个单位后

得y＝sin

＝sin

.若该函数为偶函数，

则

＋φ＝kπ＋

，k∈Z，故φ＝kπ＋

.当k＝0时φ＝

.故选B.]

1．函数y＝sinx的图象变换到y＝Asin（ωx＋φ），x∈R图象的两种方法

2．对称变换

（1）y＝f（x）的图象

y＝－f（x）的图象．

（2）y＝f（x）的图象

y＝f（－x）的图象．

（3）y＝f（x）的图象

y＝－f（－x）的图象．

1．将函数y＝2sin

的图象向右平移

个周期后，所得图象对应的函数为（　　）

A．y＝2sin

B．y＝2sin

C．y＝2sin

D．y＝2sin

D　[函数y＝2sin

的周期为π，将函数y＝2sin

的图象向右平移

个周期即

个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin

＝2sin

，故选D.]

三角函数的性质

【例3】　

（1）若函数f（x）＝3sin（2x＋θ）（0＜θ＜π）是偶函数，则f（x）在[0，π]上的单调递增区间是（　　）

A.

B.

C.

D.

（2）已知函数f（x）＝2sin

＋a＋1（其中a为常数）．

①求f（x）的单调区间；

②若x∈

时，f（x）的最大值为4，求a的值．

[思路点拨]　

（1）先根据函数f（x）是偶函数，求θ，再依据单调性求增区间，最后与[0，π]求交集．

（2）①由2kπ－

≤2x＋

≤2kπ＋

，k∈Z求增区间，

由2kπ＋

≤2x＋

≤2kπ＋

，k∈Z求减区间．

②先求f（x）的最大值，得关于a的方程，再求a的值．

（1）B　[因为函数f（x）＝3sin（2x＋θ）（0＜θ＜π）是偶函数，

所以θ＝

，f（x）＝3sin

＝3cos2x，

令2kπ－π≤2x≤2kπ，得kπ－

≤x≤kπ，

可得函数f（x）的增区间为

，k∈Z，

所以f（x）在[0，π]上的单调递增区间为

.]

（2）[解]　①由－

＋2kπ≤2x＋

≤

＋2kπ，k∈Z，解得－

＋kπ≤x≤

＋kπ，k∈Z，

∴函数f（x）的单调增区间为

（k∈Z），由

＋2kπ≤2x＋

≤

＋2kπ，k∈Z，

解得

＋kπ≤x≤

＋kπ，k∈Z，

∴函数f（x）的单调减区间为

（k∈Z）．

②∵0≤x≤

，∴

≤2x＋

≤

，

∴－

≤sin

≤1，

∴f（x）的最大值为2＋a＋1＝4，∴a＝1.

1．求本例

（2）中函数y＝f（x），x∈R取最大值时x的取值集合．

[解]　当f（x）取最大值时，2x＋

＝

＋2kπ，

∴2x＝

＋2kπ，∴x＝

＋kπ，k∈Z.

∴当f（x）取最大值时，x的取值集合是

.

2．在本例

（2）的条件下，求不等式f（x）＜1的解集．

[解]　由f（x）＜1得2sin

＋2＜1，

所以sin

＜－

所以2kπ－

＜2x＋

＜2kπ－

，k∈Z.

解得kπ－

＜x＜kπ－

，k∈Z.

所以不等式f（x）＜1的解集为

.

三角恒等变换的综合应用

【例4】　已知函数f（x）＝sin

sinx－

cos2x.

（1）求f（x）的最小正周期和最大值；

（2）讨论f（x）在

上的单调性．

[解]　

（1）f（x）＝sin

sinx－

cos2x

＝cosxsinx－

（1＋cos2x）

＝

sin2x－

cos2x－

＝sin

－

，

因此f（x）的最小正周期为π，最大值为

.

（2）当x∈

时，0≤2x－

≤π，从而

当0≤2x－

≤

，即

≤x≤

时，f（x）单调递增，

当

≤2x－

≤π，即

≤x≤

时，f（x）单调递减．

综上可知，f（x）在

上单调递增；在

上单调递减．

三角函数的图象和性质是三角函数的重要内容.如果给出的三角函数的表达式较为复杂，我们必须先通过三角恒等变换，将三角函数的表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质.

1求三角函数的值域、单调区间、图象变换、周期性、对称性等问题，一般先要通过三角恒等变换将函数表达式变形为y＝Asinωx＋φ＋k或y＝Acosωx＋φ＋k等形式，让角和三角函数名称尽量少，然后再根据正、余弦函数基本性质和相关原理进行求解.

2要注意三角恒等变换中由于消项、约分、合并等原因，函数定义域往往会发生一些变化，所以一定要在变换前确定好原三角函数的定义域，并在这个定义域内分析问题.

2．已知函数f（x）＝

.

（1）求f（x）的定义域及最小正周期；

（2）求f（x）的单调递减区间．

[解]　

（1）由sinx≠0得x≠kπ（k∈Z），

故f（x）的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．

因为f（x）＝

＝2cosx（sinx－cosx）

＝sin2x－cos2x－1

＝

sin

－1，

所以f（x）的最小正周期T＝

＝π.

（2）函数y＝sinx的单调递减区间为2kπ＋

，2kπ＋

（k∈Z）．

由2kπ＋

≤2x－

≤2kπ＋

，x≠kπ（k∈Z），

得kπ＋

≤x≤kπ＋

（k∈Z），

所以f（x）的单调递减区间为

（k∈Z）．

三角函数的平面几何中的应用

【例5】　直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为2米，过点P的一直线与走廊的外侧两边交于A，B两点，且与走廊的一边的夹角为θ

.

（1）将线段AB的长度l表示为θ的函数；

（2）一根长度为5米的铁棒能否水平（即铁棒与地面平行）通过该直角走廊？

并说明理由．（铁棒的粗细忽略不计）

[思路点拨]　

（1）长度l可分成PA，PB两段分别用θ表示．

（2）判断铁棒能否水平通过该直角走廊需要比较铁棒长度与AB长度的最小值．

[解]　

（1）由题意可知：

l＝

＋

＝

，

其中0＜θ＜

.

（2）l＝

，

设t＝sinθ＋cosθ＝

sin

，

因为0＜θ＜

，

所以

＜θ＋

＜

，

所以t∈（1，

]，

所以l＝

＝

.

因为t－

在（1，

]上是增函数，

所以t－

的最大值为

，

所以l＝

的最小值为4

.

因为4

＞5，

所以长度为5米的铁棒能水平通过该直角走廊．

三角函数的实际应用多与最值有关，解决这类问题的一般步骤如下：

1审读题意，合理地选取“角”为自变量，建立三角函数关系式.

2利用和、差、倍、半角公式进行化简整理，通常要整理为y＝Asinωx＋φ＋b的形式.

3在符合实际问题意义的情形下求目标式的最值.

3．福建沿海的超强台风过后，当地人民积极恢复生产，焊接工王师傅每天都很忙碌．今天他遇到了一个难题：

如图所示，有一块扇形钢板，半径为1米，圆心角θ＝

，施工要求按图中所画的那样，在钢板OPQ上裁下一块平行四边形钢板ABOC，要求使裁下的钢板面积最大．试问王师傅如何确定A的位置，才能使裁下的钢板符合要求？

最大面积为多少？

[解]　连接OA，设∠AOP＝α，过A作AH⊥OP，垂足为点H，在Rt△AOH中，OH＝cosα，AH＝sinα，所以BH＝

＝

sinα，所以OB＝OH－BH＝cosα－

sinα，设平行四边形ABOC的面积为S，则S＝OB·AH＝

·sinα＝sinαcosα－

sin2α＝

sin2α－

（1－cos2α）＝

sin2α＋

cos2α－

＝

－

＝

sin

－

.

由于0＜α＜

，所以

＜2α＋

＜

π，

当2α＋

＝

，即α＝

时，Smax＝

－

＝

，所以当A是

的中点时，所裁钢板的面积最大，最大面积为

平方米．