考研真题 不定积分与定积分.docx

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考研真题不定积分与定积分

arcsinxdx

0

（2020数二）

⎰af

（x）dx=

2⎰a[f

（x）+f

（a+b-x）]dx

⎰arcsinx

dx=1⎰

⎛arcsinx

+

arcsin1-x

⎫dx

1

020⎝

x（1-x）（1-x）x⎭

α=arcsin

1-x

1

=2⎰0

π2dx

β=arcsinx

=π⎰1

1d（2x-1）

40

1

=πarcsin（2x-1）

40

=π2

4

x（1-x）=

1-⎛çx-1⎫⎪

2

4⎝2⎭

⎰

arcsinxdx

0

（2020数二）简化

拓展⎰

arcsinxdx

arcsinx

1

0

dx=⎰0

arcsint⋅2tdt

令x=

t⇒x

=t2

=⎰0

2arcsintdt

x：

0→1

t：

0→1

1

=⎰0

2arcsintdarcsint

巧妙不适用

=arcsin2t1

=π2

4

拓展⎰

arcsinxdx

⎰af

（x）dx=

2⎰a[f

（x）+f

（a+b-x）]dx

⎰arcsinxdx=1⎰

⎛arcsinx+

arcsin1-x

⎫dx

20⎝

x（1-x）+1

（1-x）x+1⎭

=1⎰π2

5⎛1⎫

dx20x（1-x）+1

x（1-x）+1=

-çx-⎪

4⎝2⎭

=π⎰1

1d⎛ç2

x-1⎫⎪

40⎝55⎭



π⎛21⎫1π1

=4arcsinçx-⎪=arcsin

⎝55⎭025

⎰3x+6dx

（2019数二）

为什么能这样待定？

⎧P=A

⎧M=2C

（x-1）2

（x2

+x+1）

为什么要这样待定？

⎨Q=B-A⎨

=C+D

3x+6

=A1+B1

+C2x+1+D1

（x-1）2（x2+x+1）

x-1（x-1）2

x2+x+1x2+x+1

3x+6

=Px+Q+

Mx+N

=A（x-1）+B+

C（2x+1）+D

（x-1）2

（x2

+x+1）（x-1）2

x2+x+1

（x-1）2

x2+x+1

分式分解定理

省去一些中间过程

设P（x）

Q（x）

为有理真分式，其中Q（x）=Q1

（x）Q2

（x）且Q1

（x），Q2

（x）互素

则存在唯一一组多项式P1

（x），P2

（x）使得

P（x）

Q（x）

=P1Q1

（x）+

（x）

P2（x）

Q2（x）

其中P1

Q1

（x）P

，

（x）Q2

（x）

（x）

为真分式

⎰3x+6dx

（2019数二）

赋值法

3x+6

=A1

+B1

+C2x+1

+D1

对应系数

（x-1）2（x2+x+1）

x-1

（x-1）2

x2+x+1

x2+x+1

3x+6=（A（x-1）+B）（x2+x+1）+（C（2x+1）+D）（x-1）2

x=1

⇒9=3B

⎧A=-2

x=0x=-1

⇒6=B-A+C+D

⇒3=B-2A-4C+4D0=A+2C

⎪B=3

⎪

⎨C=1

⎪⎩D=0

3x+6

=-21+31

+2x+1

（x-1）2（x2+x+1）

x-1（x-1）2

x2+x+1

⎰3x+6dx

=-2ln

x-1

-31+ln（x2

+x+1）+C

（x-1）2（x2+x+1）

x-1

⎛

lnç1

⎝

⎛

⎫dx（x

⎭

⎫

>0）

⎛

（2009数二）

⎫1

1⎛1⎫



⎰lnç1+

⎪dx

=xlnç1+

⎪-⎰

⋅⋅ç-

⎪⋅xdx

2

⎝⎭⎝

⎭1+

21+x⎝x⎭

x

⎰1⋅1⋅⎛ç-1

⎫⎪⋅xdx

=-1

⎰1dx令=t

1+2

⎝x2⎭

2xç1+

⎝

1+x⎫

⎪

x⎭

1+xx

有理化

=-1

⎰1⋅-2tdt

21

t2-1

（1+t）t

（t2

-1）2

=⎰1dt

（t+1）2（t-1）

⎛

lnç1

⎝

⎫dx（x

⎭

>0）

（2009数二）

t=>1

1

（t+1）2

dt=⎛

（t-1）⎝

1

2（t+1）2

-1+

4（t+1）

1

4（t-1）

⎫dt

⎭

=1

2（t+1）

-1ln（t+1）+

4

1ln（t-1）+C4

1=A1

+

B1

+

C1

赋值法

（t+1）2（t-1）（t+1）2t+1

t-1

对应系数

1=A（t-1）+B（t2-1）+C（t+1）2

t=1

⇒1=4C

C=14

t=-1

⇒1=-2A

A=-12

0=B+CB=-14

a

设⎰0

xe2xdx=

1，则a=

4

（2014数三）

⎰xe2xdx

=（mx+n）e2x+C

xe2x

=（2mx+2n+m）e2x

⎧1

⎧1=2m⎪2

⎨0=2n+m⎨1

⎩⎪n=-

⎩4

⎰xe2xdx

=⎛ç

⎝

1x-1

24

⎫⎪e2x+C

⎭

ç⎛1a-1

⎝24

⎫⎪e2a

⎭

-⎛ç-1⎫⎪

⎝4⎭

a=1

2

设函数f

⎧λe-λx

（x）=⎨

⎩0

x>0，λx≤0

>0，则⎰-∞

xf（x）dx=

（2011数二）

+∞

+∞

xf（x）dx

-∞

λxe-λxdx

0

⎰λxe-λxdx

=（mx+n）e-λx+C

λxe-λx

=（-λmx-λn+m）e-λx

⎧λ=-λm

⎧⎪m=-1

⎨0=-λn+m

⎨n=1

λ

⎰λxe-λxdx

=⎛ç-x-1

⎝λ

⎫⎪e-λx+C

⎭

λxe-λxdx=1

0λ

lim⎰

e-x

sinnxdx=

（2009数二）循环

1

n→∞0

⎰e-x

sinnxdx

=e-x

（asinnx+bcosnx）+C

e-x

sinnx

=e-x

（-asinnx-bcosnx+ancosnx-bnsinnx）

⎧1=-a-bn

⎨0=-b+an

⎧=-

⎨

1

1+n2

n

⎩⎪b=-

⎩

1+n2

⎰e-x

sinnxdx

=e-x

sinnx-ncosnx+C1+n2

1

⎰

e-x

0

sinnxdx

=e-1

sinn-ncosn1+n2

--n1+n2

⎰f（x）g（x）dx

=⎰f

（x）dG（x）

=f（x）G（x）-⎰f

'（x）G（x）dx

G（x）是g（x）的原函数

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

消去f（x）

f（x）复杂

f'（x）简洁

简化被积函数

特别地，当f

（x）是多项式时，可以局部实现降次

⎰

+∞lnxdx

1（1+x）2

（2013数一）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

⎰

lnxdx

（1+x）2

lnx⋅1dx

（1+x）2

→1⋅-1dx=

x1+x

⎛ç1-1

⎝1+xx

⎫⎪dx

⎭

=ln

1+x

lnx

+

C=ln

1+x+Cx

+∞ln（1+x）dx

0（1+x）2

（2017数二）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

ln（1+x）dx

（1+x）2

⎰ln（1+x）⋅1dx

→⎰1⋅-1

dx=

1+C

（1+x）2

1+x1+x

1+x

2

⎰

1

1x3

1

exdx

（2006数一）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

令1=

x

t⇒x=1

t

x：

1→2

t：

1→1

2

2

1

⎰1exdx

1

=⎰2

t3et

⎛ç-1

⎫⎪dt

1

=-⎰2

tetdt

1x3

1⎝t2⎭1

⎰t⋅etdt

→⎰1⋅etdt

=et+C

etdt=det

⎰tetdt

=⎰tdet

=tet

⎰1⋅etdt

⎰

arcsinx+lnxdx

x

（2011数三）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

⎰（arcsin

x+lnx）⋅1

dx→⎰⎛ç1⋅1+1

⎫⎪⋅2

xdx

x⎝1-x2xx⎭

⎰⎛ç1+2

⎫⎪dx

=-2

1-x+4

x+C

1dxx

=d（2x）

⎝1-xx⎭

⎰e2x

arctan

ex-1dx

（2018数一）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

→⎰e2x

⋅1⋅edx

x

=1⎰

21+（ex

e2x

dx

-1）22

令

ex-1

ex-1=

t⇒ex

=t2

+1⇒x

=ln（t2

+1）

4ex-1

1（t2+1）22t

=4⎰t

dt

t2+1

=1（t2

2

+1）dt

=1t3

6

+1t+C=1（26

ex-1）3+1

2

ex-1+C

x2arcsinx

dx

0

（2008数二）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

消去根号

x=sint

x=cost

令x=sint

t∈（0

π

，）⇒t2

=arcsinx

x：

0→1

t：

0→π

2

1x2arcsinx

πsin2t⋅tπ

⎰dx

=⎰2⋅costdt

=⎰2

sin2

t⋅tdt

00cost

0

降次⎰sin2

t⋅tdt

→2t-sin2t

⎰

4

⋅1dt

⎰sin2

tdt=

1-cos2tdt=

2

2t-sin2t+C

4

=2t2

+

cos2t+C8

2

⎰0x

cos

xdx

（2010数一）

⎰f（x）g（x）dx

→⎰f

'（x）G（x）dx

令x=

t⇒x

=t2

x：

0→π2

t：

0→π

π2ππ2

⎰0xcosxdx=⎰0tcost⋅2tdt=2⎰0t

costdt

⎰t2

⋅costdt

→⎰2t⋅sintdt

→⎰2⋅（-cost）dt

=-2sint+C

降次

⎰t3

⎰t4

⋅costdt

⋅costdt

⎰tn

⋅costdt

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

an-a

n-1

=⎰0

（xn

n

-xn-1）

n

dx≤0

n+2

n-2

n→∞a

1

n-1

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

消去根号

分部积分公式

方法一

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

nnn+2

n-2

n→∞a

n-1

令x=sinθ

θ∈[0π]

2

x：

0→1

θ：

0→π

2

sinn

θdθ=dF（θ）

1ππ

a=x

0

⎰

π

dx=

2sinnθ

0

1

1-sin2

π

θ⋅cosθdθ=

2sinn0

θcos2

θdθ

=2sinn0

1⎛

θcosθ⋅cosθdθ

π

=n+1

π

2cosθdsinn+1θ

0

π

⎫1+

=çcosθsinn+1θ2-

n+1⎝0

⎰

π

2sinn+10

θ（-sinθ）dθ⎪

⎭

π

=n+1

2sinn0

2θdθ

（n+1）an=

2sinn+20

θdθ

⎰

π

（n-1）an-2=

2sinn0

θdθ

π

（n-1）a

n-2

-（n+1）an=

2（sinn0

θ-sinn+2

θ）dθ=

2sinn0

θcos2

θdθ=an

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

方法二

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

nnn+2

ππ

n-2

π

n→∞a

n-1

an=

2sinn0

θcos2

θdθ=

2sinn0

θcosθ⋅cosθdθ=

2sinn0

θcosθdsinθ

=sinn+1

π

θcosθ2-

π

2sinθ（nsinn-10

θcos2

θ-sinn+1

θ）dθ

π

=-n2sinn0

θcos2

π

θdθ+2sinn+20

θdθ

=-nan

π

+2sinn+20

θdθ

π

（n+1）an=

π

2sinn+2

0

π

θdθ

（n-1）a

n-2

-（n+1）an=

2（sinn

0

θ-sinn+2

θ）dθ=

2sinn

0

θcos2

θdθ=an

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

方法三

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

nnn+2

πππ

n-2

n→∞a

n-1

an=

2sinn0

θcos2

θdθ=

2sinn0

θdθ-2

0

sinn+2

θdθ

华里士公式

ππ

=In

In+2

In=

2sinnxdx=

0

2cosnxdx

0

=In

n+1In+2n

In=

n-1In

n-2

a=1I

a=1I

⎧（n-1）!

⋅π



n是正偶数

nn+2n

n-2nn-2

I=⎪n!

2

n⎨（n-1）!

anI

nn-1

n-1

⎪n是正奇数

n=

an-2

n+2

⋅n=

In-2

n+2⋅n

=n+2

⎩n!

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

方法四

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

nnn+2

n-2

n→∞a

n-1

an=⎰x

dx=⎰

xn+1

d

xn+11

=1-x2

-⎰xn+1

-

2x

dx

00n+1

n+1

00n+12

1-x2

=1⎰1

xn+2

dx

形式上接近

n+1

=1

0

1xn+2

（）xn+2

n+1⎰0

dx

1-x2

n+1

an=⎰0

dx

1-x2

1（xn

-xn+2）=n

（n-1）an-2

-（n+1）an

=⎰0

1-x2

dx⎰0x

dx=an

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

方法五

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

n

1n1

n-1

nn+2

n-2

11

n-1

n→∞a

3

2

n-1

an=

⎰0x

1⎛

dx=⎰0x⋅x

311

dx=-3⎰0x

3

d（1-x）2

⎫

=-çxn-1

3⎝

（1-x2）2

-⎰0

0

（1-x2）2

⋅（n-1）xn-2dx⎪

3

⎭

=n-1⎰1

xn-2

（1-x2）2dx

=n-1⎰1

xn-2

（1-x2）

dx形式上接近

30

=n-1⎛ç1

xn-2

30

dx-xn

dx⎫⎪=

n-1（a

-a）

3⎝⎰0

⎰0⎭3

n-2n

dx=d1⎛çx

2⎝

+

arcsinx⎫⎪

⎭

设an

=⎰0x

dx（n

=0，1，2，⋅⋅⋅）

方法五

（1）证明：

数列{a

}单调减少，且a

=n-1a

（n=0，1，2，⋅⋅⋅）

（2）求liman

an-a

n-1

=⎰0

n

1

（xn

-xn-1）

n

dx≤0

n+2

n-2

n→∞a

n-1

an⋅

an-1=

an=

n-1

liman=a分析

an-1

an-2

an-2

n+2

n→∞an-1

a2=1⇒a=1

n=

n+3

n-1=

n+2

an+1≤

an-1

an≤

an-2

an≤1an-1

0≤e-x

sinx

≤e-x

e-xdx收敛⇒

0

e-x

0

sinx

dx收敛

比较审敛原理

e-x

sinx

dx=

lim⎰

e-x

sinx

dx=

nπ

lim

e-x

sinxdx

归结原理

nπ-x

n-1

=

（k+1）π

e-x

sinx

dx=

n-1

（-1）k

（k+1）π

e-x

sinxdx

n-1