高中学年最新北师大版数学必修四教学案第二章1从位移速度力到向量.docx

高中学年最新北师大版数学必修四教学案第二章1从位移速度力到向量.docx

《高中学年最新北师大版数学必修四教学案第二章1从位移速度力到向量.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中学年最新北师大版数学必修四教学案第二章1从位移速度力到向量.docx（12页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

高中学年最新北师大版数学必修四教学案第二章1从位移速度力到向量

[核心必知]

1．位移、速度和力

位移、速度和力这些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中称为“矢量”，它们和长度、面积、质量等只有大小的量是不同的．

2．向量的概念

（1）向量的定义：

在数学中，把既有大小，又有方向的量统称为向量．

（2）向量的表示法

①有向线段：

具有方向和长度的线段叫作有向线段．

②向量的表示法

（ⅰ）几何表示法：

用有向线段表示，若有向线段的起点为A，终点为B，则该有向线段记作：

（ⅱ）字母表示法：

用黑体小写字母a，b，c，…表示，书写用表示．

（3）向量的模（长度）

向量（或a）的大小，称为向量（或a）的长度，也叫模，记作||（或|a|）．

（4）与向量有关的概念

零向量

长度为零的向量称为零向量，记作0

单位向量

与向量a同方向，且长度为单位1的向量，叫作a方向上的单位向量，记作a0

自由向量

由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量称为自由向量

相等向量

长度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a与b相等，记作a＝b

平行（共线）

向量

如果表示两个向量的有向线段所在的直线平行或重合，则称这两个向量平行或共线．a与b平行或共线，记作a∥b．零向量与任一向量平行

[问题思考]

1．有向线段就是向量，对吗？

提示：

不对．有向线段的起点、终点是确定的，而向量与起点无关，可以自由平移，它可以用有向线段表示，但不能说有向线段就是向量．

2．相等向量的起点相同，对吗？

提示：

不对．相等向量是指长度相等且方向相同的向量．所以，两个向量只要长度相等，方向相同，即是相等的向量，与起点的位置无关．

讲一讲

1．判断给出下列命题是否正确，并说明理由．

（1）若|a|>|b|，则a>b；

（2）若|a|＝|b|，则a＝b；

[尝试解答]　

（1）不正确．向量的模是一个非负实数，可以比较大小，但向量是有方向的量，方向是不能比较大小的，所以，向量只有相等与不相等的关系．

（2）不正确．两向量相等，必须长度相等，且方向相同，所以仅模相等，并不一定是相等的向量；

1．对向量有关概念的理解要严谨、准确，特别注意向量不同于数量，它既有大小，又有方向，而方向不能比较大小，所以任给两个向量都不能比较大小．

2.对于两个向量，只要方向相同或相反，一定是共线向量．

3．零向量是特殊的向量，解题时一定要注意其方向的任意性．

练一练

1．给出下列命题

（1）若|a|＝0，则a＝0；

（2）若a＝b，则|a|＝|b|；

（3）向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；

（4）两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；

（5）两个有共同终点的向量，一定是共线向量；

其中正确命题的个数是（　　）

A．1　　　　　　　　　B．2

C．3D．4

解析：

选B　

（1）不正确．零向量与数字0是两个不同的概念，零向量是一个向量，而数字0是一个实数，没有等量关系；

（2）正确．两向量相等，其长度必然相等；

（3）不正确．若a与b中有一个为零向量时，其方向是不确定的；

（4）正确．相等的向量，长度相等且方向相同，若起点相同，则终点必相同；

（5）不正确．终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反．

讲一讲

2．小李离家从A点出发向东走2km到达B点，然后从B点沿南偏西60°走4km，到达C点，又改变方向向西走2km到达D点．

（2）求小李到达D点时与A点的距离．

即小李到达D点时离A点4km.

1．用有向线段表示向量时，先确定起点，再确定方向，最后依据模的大小确定向量的终点．

2．确定向量的长度或方向时，需要用平面几何的知识，如直角三角形的解法、平行四边形的性质等．

练一练

2.中国象棋中规定：

马走“日”字，象走“田”字．如下图所示，在中国象棋的半个棋盘（4×8个矩形中，每个小方格都是单位正方形）中，若马在A处，可跳到A1处，也可跳到A2处，用向量表示马走了“一步”，试在图中画出马在B、C处走了一步的所有情况．

解：

如图，以点C为起点作向量（共8个），以点B为起点作向量（共3个）．

讲一讲

3．如图所示，O为正方形ABCD对角线的交点，四边形OAED、OCFB都是正方形．在图中所示的向量中：

（1）分别写出与相等的向量；

（2）写出与共线的向量．

1．在平面图形中找相等向量、共线向量时，首先要注意分析平面图形中相等、平行关系，同时注意线段的平行和相等与向量平行和相等的区别，充分利用平行四边形的性质．

2．寻求相等向量，抓住长度相等，方向相同两个要素；寻求共线向量，抓住方向相同或相反的一个要素．

练一练

3.如右图，四边形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，则下列关系不一定成立的是（　　）

解析：

选C　由题意知，AB＝EF，∴A成立；

又AB∥FH，DC与EC共线都成立，

∴B，D成立．

而BD不一定等于EH，故C不一定成立．

[巧思]　＝1说明点P到定点O的距离为1，即P在以原点为圆心，以1为半径的圆上，Q点在圆外，表示P、Q两点的距离，因此可采用数形结合法来解决．

[妙解]　如图，由＝1知动点P的轨迹是单位圆，连接QO并延长与单位圆相交于A，B两点，由平面知识易知：

当P运动至A，B两点时，向量|分别取最小值，最大值，

1．下列物理量：

①质量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度；⑦功．其中不是向量的有（　　）

A．1个　　　　　　　　　B．2个

C．3个D．4个

解析：

选D　本题主要考查向量的概念，看一个量是不是向量，就是看它是否具备向量的两个要素：

大小和方向，因为②③④是既有大小，又有方向的量，所以它们是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而没有方向的量，所以不是向量．

2．给出下列命题：

①起点相同，方向相同的两个非零向量的终点相同；②起点相同的两个相等的非零向量的终点相同；③两个平行的非零向量的方向相同；④两个共线的非零向量的起点与终点一定共线．其中正确的是（　　）

A．①②B．②

C．②③D．③④

解析：

选B　起点相同，方向相同的两个非零向量若长度不相等，则终点不相同，故①不正确；起点相同且相等的两个非零向量的终点相同，故②正确；两个平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正确；两个共线的非零向量的起点与终点不一定共线，所对应的直线可能平行，故④不正确．

3.设O为△ABC的外心，则是（　　）

A．相等向量

B．平行向量

C．模相等的向量

D．起点相同的向量

解析：

选C　显然AO、BO、CO互不平行，但长度相等，所以|.

4．如图所示，四边形ABCD和四边形ABDE都是平行四边形．

（1）与向量相等的向量有________；

（2）若＝3，则向量的模等于________．

解析：

（1）相等向量既模相等，又方向相同，所以与相等的向量有.

5.如图，B、C是线段AD的三等分点，分别以图中各点为起点和终点最多可以写出________个互不相等的非零向量．

答案：

6

6．我国国内有些城市的道路命名非常有趣，它以“经纬”来命名道路，目前比较典型的有郑州市，其经纬路走向与地理意义上的经纬走向保持了一致，济南市的命名则与地理意义的经纬走向是完全相反的，另外西安市以前也以经纬命名道路，但后来大多更名．设某城市的地图如图（街道刚好分布在一个方形格纸中且距离都为1个单位）：

请作出某人从经1纬2路口走到经3纬4路口的位移，并计算其走过的最短路程和位移的大小．

解：

如图，用向量表示某人的位移．

位移的大小为＝2个单位长度．

从A走到B，必然向右走2个单位，向下走2个单位，所以走过的路程为4个单位长度．

一、选择题

1．给出下列命题：

①若a＝－b，则|a|＝|b|；②若|a|<|b|，则a

③若a＝b，则a∥b；④若a∥b，b∥c，则a∥c.其中正确命题的个数是（　　）

A．0　　　　　　　　　　　B．1

C．2D．3

解析：

选C　对于①，若a＝－b，则a，b互为反向量，所以|a|＝|b|，①正确；对于②，向量的长度有大小，但向量不能比较大小，所以②不正确；对于③，a＝b，意味着a与b的方向相同，所以a∥b；对于④，若b＝0，则a∥b，b∥c，但a与c方向不一定相同或相反，所以④不正确．

2．某人向正东方向行进100m后，再向正南方向行进100m，则此人位移的方向是（　　）

A．南偏东60°B．南偏东45°

C．南偏东30°D．南偏东15°

∴θ＝60°.

3．下列说法中正确的是（　　）

A．平行向量一定方向相同

B．共线向量一定相等

C．起点不同，但方向和模相等的几个向量一定是相等的向量

D．与任意向量都平行的向量不一定是零向量

解析：

选C　非零平行（共线）向量要么方向相同，要么方向相反，所以A、B均不正确；只有零向量与任意向量平行，故D不正确；C正确．

4．已知集合A＝{与a共线的向量}，B＝{与a长度相等的向量}，C＝{与a长度相等，方向相反的向量}，其中a为非零向量，则下列命题中错误的是（　　）

A．CAB．A∩B＝C

C．CBD．A∩BC

解析：

选B　∵A∩B中还含有向量a，故B错．

二、填空题

5.如图，在四边形ABCD中，且则四边形ABCD为________．

答案：

菱形

6．在▱ABCD中，E，F分别是AB、CD的中点，如图所示的向量中，设＝a，＝b，则与a相等的向量是________；与b共线的向量是________．

7．如图，设每一个正方形小方格的边长为1，则向量，GH―→的长度从小到大排列依次为________________．

8.如图，已知矩形ABCD中，设点集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{|P、Q∈M，且≠0}．则集合T中有________个元素．

解析：

集合T＝{|P、Q∈M，且≠0}中的元素为非零向量，且向量的起点与终点分别为矩形的顶点A、B、C、D.根据集合元素的互异性，得集合T＝{，}共含有8个元素．

答案：

8

三、解答题

9．一架测绘飞机从A点向北飞行200km到达B点，再从B点向东飞行100km到达C点，再从C点向东南45°飞行了100km到达D点，问飞机从D点飞回A点的位移大小是多少km?

解：

如图，建立平面直角坐标系xAy，其中x轴的正方向表示正东方向，y轴的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分别为E、F.

在Rt△CDF中，||＝100，

∠CFD＝90°，∠CDF＝45°，

∴CF＝DF＝100，ED＝200，

在Rt△AED中，BE＝EA＝100，

∴||＝＝100（km）．

故飞机从D点飞回A点的位移大小为100km.

10．在如图所示的方格纸上（每个小方格边长均为1），已知向量a.

（1）试以B为起点画一个向量b，使b＝a；

（2）画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．

解：

（1）根据相等向量的定义，所作向量应与a平行，且长度相等，如图所示．

（2）由平面几何知识可作满足条件的向量c.所有这样的向量c的终点的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，如上图．