高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题五 函数 Word版含答案.docx

高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题五 函数 Word版含答案.docx

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高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案专题五函数Word版含答案

江苏新高考

江苏卷对函数在解答题上基本不考“抽象函数”，2013年第20题，考查函数的单调性、零点个数问题；2014年第19题，考查函数与不等式；2015年第19题，讨论函数的单调性及函数零点确定参数值；2016年第19题，考查函数与不等式、零点问题，2017年第20题，考查函数与导数、函数的极值、零点问题.题目难度较大，多体现分类讨论思想.

2019-2020年高考数学江苏专版三维二轮专题复习教学案：

专题五函数Word版含答案

函数的概念与图象

（2）对于复合函数的定义域要注意：

①如果函数f（x）的定义域为A，则f（g（x））的定义域是使函数g（x）∈A的x的取值范围．

②如果f（g（x））的定义域为A，则函数f（x）的定义域是函数g（x）的值域．

③f（g（x））与f（h（x））联系的纽带是g（x）与h（x）的值域相同．

2．函数的值域

求函数值域的常用方法有观察法、不等式法、图象法、换元法、单调性法等．

3．分段函数

若函数在其定义域内，对于自变量的不同取值区间，有着不同的对应法则，这样的函数通常叫做分段函数．分段函数虽然由几部分组成，但它表示的是一个函数．

4．函数的图象

函数的图象包括作图、识图、用图，其中作函数图象有两种基本方法：

一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换．

[题组练透]

1．（2017·南通二调）函数f（x）＝的定义域是________．

解析：

由题意得lg（5－x2）≥0⇒5－x2≥1⇒－2≤x≤2，因此f（x）的定义域为[－2,2]．

答案：

[－2,2]

2．（2017·盐城模考）已知函数f（x）＝

若f（0）＝3，则f（a）＝________.

解析：

因为f（0）＝3，所以a－2＝3，即a＝5，所以f（a）＝f（5）＝9.

答案：

9

3．（2017·南通模考）函数f（x）＝31－x2的值域为________．

解析：

因为1－x2≤1，所以f（x）＝31－x2∈（0,3]．

答案：

（0,3]

4．（2016·南通调研）已知函数f（x）＝loga（x＋b）（a＞0且a≠1，b∈R）的图象如图所示，则a＋b的值是________．

解析：

将（－3,0），（0，－2）分别代入解析式得loga（－3＋b）＝0，logab＝－2，解得a＝，b＝4，从而a＋b＝.

答案：

[方法归纳]

1.求函数定义域的类型和相应方法

1若已知函数的解析式，则这时函数的定义域是使解析式有意义的自变量的取值范围，只需构建并解不等式组即可.

2实际问题或几何问题除要考虑解析式有意义外，还应使实际问题有意义.

2.求函数值的注意点

形如fgx的函数求值时，应遵循先内后外的原则；而对于分段函数的求值解不等式问题，必须依据条件准确地找出利用哪一段求解；对具有周期性的函数求值要利用其周期性.

3.函数的图象

1作图

若函数表达式或变形后的表达式是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征描点作出；若函数图象可由基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序.尤其注意y＝fx与y＝f－x，y＝－fx，y＝－f－x，y＝f|x|，y＝|fx|及y＝afx＋b的相互关系.,2识图,从图象与坐标轴的交点及左、右、上、下分布范围、变化趋势、对称性等方面找准解析式与图象的对应关系.

3用图

图象形象地显示了函数的性质，因此，函数性质的确定与应用及一些方程、不等式的求解常与图象数形结合研究.

函数的基本性质

[必备知识]

1．函数的单调性

单调性是函数的一个局部性质，一个函数在不同的区间上可以有不同的单调性．判断函数单调性常用定义法、图象法及导数法．

2．函数的奇偶性

函数的奇偶性是函数在定义域上的整体性质．偶函数的图象关于y轴对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相反的单调性；奇函数的图象关于坐标原点对称，在关于坐标原点对称的定义域上具有相同的单调性，判断函数奇偶性的常用方法有定义法、图象法及性质法．

3．函数的周期性

周期性是函数在定义域上的整体性质．若函数满足f（a＋x）＝f（x）（a不等于0），则其一个周期T＝|a|，最小正数T叫做f（x）的最小正周期．

4．函数的对称性

若函数f（x）满足f（a－x）＝f（a＋x）或f（x）＝f（2a－x），则函数f（x）关于直线x＝a对称．

若函数f（x）满足f（a－x）＝－f（a＋x）或f（x）＝－f（2a－x），则函数f（x）关于点（a,0）中心对称．

[题组练透]

1．（2017·南京三模）已知函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数．当x∈[2,4]时，f（x）＝，则f的值为________．

解析：

因为函数f（x）是定义在R上且周期为4的偶函数，所以f＝f＝f，因为当x∈[2,4]时，f（x）＝，所以f＝f＝＝log42＝.

答案：

2．（2017·盐城期中）若函数f（x）＝在区间（－∞，a）上单调递减，在（a，＋∞）上单调递增，则实数a的取值范围是________．

解析：

函数f（x）＝根据反比例函数的性质可知，在区间（－∞，0）上单调递减，要使函数f（x）在区间（－∞，a）上单调递减，则a≤0.因此函数f（x）＝|x＋1|在区间（a，＋∞）上单调递增，那么a＋1≥0，解得a≥－1.所以实数a的取值范围是[－1，0]．

答案：

[－1,0]

3．（2017·苏北四市期末）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x>0时，f（x）＝2x－3，则不等式f（x）≤－5的解集为______________．

解析：

若x＜0，则－x＞0，

∵当x＞0时，f（x）＝2x－3，

∴当－x＞0时，f（－x）＝2－x－3，

∵f（x）是定义在R上的奇函数，

∴f（－x）＝2－x－3＝－f（x），

则f（x）＝－2－x＋3，x＜0，

当x＞0时，不等式f（x）≤－5等价于2x－3≤－5，

即2x≤－2，无解，不成立；

当x＜0时，不等式f（x）≤－5等价于－2－x＋3≤－5，即2－x≥8，得－x≥3，即x≤－3；

当x＝0时，f（0）＝0，不等式f（x）≤－5不成立，

综上，不等式的解为（－∞，－3]．

答案：

（－∞，－3]

4．（2017·江苏高考）已知函数f（x）＝x3－2x＋ex－，其中e是自然对数的底数．若

f（a－1）＋f（2a2）≤0，则实数a的取值范围是________．

解析：

由f（x）＝x3－2x＋ex－，

得f（－x）＝－x3＋2x＋－ex＝－f（x），

所以f（x）是R上的奇函数．

又f′（x）＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0，当且仅当x＝0时取等号，

所以f（x）在其定义域内单调递增．

因为f（a－1）＋f（2a2）≤0，

所以f（a－1）≤－f（2a2）＝f（－2a2），

所以a－1≤－2a2，解得－1≤a≤，

故实数a的取值范围是.

答案：

[方法归纳]

1．破解函数的单调性的四种方法

数形结合法

对于填空题能画出图象的函数

转化法

由基本初等函数通过加、减运算或复合而成的函数，（常转化为基本初等函数单调性的判断问题）

导数法

解析式为分式、指数函数式、对数式等较复杂的函数

定义法

抽象函数

2.判断函数的奇偶性的三个技巧

（1）奇、偶函数的定义域关于原点对称；

（2）奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称；

（3）对于偶函数而言，有f（－x）＝f（x）＝f（|x|）．

3．函数性质的应用

可以利用函数的性质确定函数图象，并充分利用已知区间上函数的性质解决问题，体现转化思想．

基本初等函数

[必备知识]

1．指数函数的图象与性质

y＝ax（a>0，且a≠1）

a>1

0

图象

性质

定义域：

R

值域：

（0，＋∞）

过定点（0,1）

当x>0时，y>1；

x<0时，0

当x>0时，01

在（－∞，＋∞）上是增函数

在（－∞，＋∞）上是减函数

2．对数函数的图象与性质

y＝logax（a>0，且a≠1）

a>1

0

图象

性质

定义域：

（0，＋∞）

值域：

R

过定点（1,0），即x＝1时，y＝0

当x>1时，y>0；

当0

当x>1时，y<0；

当00

在（0，＋∞）上是增函数

在（0，＋∞）上是减函数

3.二次函数的图象和性质

y＝ax2＋bx＋c（a≠0）

a>0

a<0

图象

函数性质

定义域

R

值域

奇偶性

b＝0时为偶函数，b≠0时既不是奇函数也不是偶函数

单调性

x∈时递减，

x∈时递增

x∈时递增，

x∈时递减

图象特点

对称轴：

x＝－；顶点：

4.幂函数图象的比较

5．常见幂函数的性质

特征

性质

y＝x

y＝x2

y＝x3

y＝x

y＝x－1

定义域

R

R

R

[0，＋∞）

{x|x∈R

且x≠0}

值域

R

[0，＋∞）

R

[0，＋∞）

{y|y∈R

且y≠0}

奇偶性

奇函数

偶函数

奇函数

非奇非偶函数

奇函数

单调性

增

x∈[0，＋∞）

时，增；　　

x∈（－∞，0]

时，减　　

增

增

x∈（0，＋∞）和

（－∞，0）时，减

公共点

（1,1）

[题组练透]

1．（2017·南通海安检测）已知幂函数f（x）＝xα，其中α∈.则使f（x）为奇函数，且在区间（0，＋∞）上是单调增函数的α的所有取值的集合为________．

解析：

幂函数f（x）为奇函数，则α＝－1,1,3，f（x）在区间（0，＋∞）上是单调增函数，则α的所有值为1,3.

答案：

{1,3}

2．（2017·江苏学易联考期末）函数y＝

的单调递增区间是__________．

解析：

由题意可得－x2＋x＋2≥0，解得－1≤x≤2，故函数y＝

的定义域为[－1,2]．又函数f（x）＝－x2＋x＋2在区间上单调递增，在区间上单调递减，根据复合函数的单调性可得函数y＝

的单调递增区间为.

答案：

3．（2017·扬州期中）已知函数f（x）＝x（1－a|x|）＋1（a＞0），若f（x＋a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，则实数a的取值范围是__________．

解析：

∵f（x）＝x（1－a|x|）＋1

＝

＝（a>0），

f（x＋a）＝（x＋a）（1－a|x＋a|）＋1，

又∵f（x＋a）≤f（x）对任意的x∈R恒成立，

在同一直角坐标系中作出满足题意的y＝f（x＋a）与y＝f（x）的图象如图所示：

∴x（1＋ax）＋1≥（x＋a）[1－a（x＋a）]＋1恒成立，

即x＋ax2＋1≥－a（x2＋2ax＋a2）＋x＋a＋1，

整理得：

2x2＋2ax＋a2－1≥0恒成立，

∴Δ＝4a2－4×2×（a2－1）≤0，解得a≥.

答案：

[，＋∞）

4.（2017·苏北三市三模）如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1＝3logax，y2＝2logax和y3＝logax（a>1）的图象上，则实数a的值为________．

解析：

设C（x0，logax0），则2logaxB＝logax0，

即x＝x0，解得xB＝，

故xC－xB＝x0－＝2，解得x0＝4，

即B（2,2loga2），A（2,3loga2），

由AB＝2，可得3loga2－2loga2＝2，解得a＝.

答案：

[方法归纳]

基本初等函数图象与性质的应用技巧

（1）指数函数与对数函数的单调性都取决于其底数的取值，当底数a的值不确定时，要注意分a>1和0

（2）由指数函数、对数函数与其他函数复合而成的函数，其性质的研究往往通过换元法转化为两个基本初等函数的有关性质，然后根据复合函数的性质与相关函数的性质之间的关系进行判断．

（3）对于幂函数y＝xα的性质要注意α>0和α<0两种情况的不同．

函数的零点

[必备知识]

1．函数零点的定义

对于函数f（x），我们把使f（x）＝0的实数x叫做函数f（x）的零点．

2．确定函数零点的常用方法

（1）解方程法；

（2）利用零点存在性定理；

（3）数形结合，利用两个函数图象的交点求解．

[题组练透]

1．（2017·苏锡常镇一模）若函数f（x）＝则函数y＝|f（x）|－的零点个数为________．

解析：

当x≥1时，y＝－，

则＝，即lnx＝x2，

令g（x）＝lnx－x2，x≥1，则函数g（x）是连续函数且先增后减，

g

（1）＝－＜0，g

（2）＝ln2－＞0，

g（4）＝ln4－2＜0，由函数的零点判定定理可知g（x）＝lnx－x2，有2个零点．

当x＜1时，

y＝

函数的图象与y＝的图象如图，

则两个函数有2个交点，

综上，函数y＝|f（x）|－的零点个数为4个．

答案：

4

2．（2017·南通二调）已知函数f（x）＝其中m>0.若函数y＝f（f（x））－1有3个不同的零点，则m的取值范围是________．

解析：

令f（x）＝t，则f（t）＝1，所以t＝或t＝m－1，即f（x）＝与f（x）＝m－1有3个不同解．

所以即0

答案：

（0,1）

3．（2017·江苏高考）设f（x）是定义在R上且周期为1的函数，在区间[0,1）上，f（x）＝其中集合D＝，则方程f（x）－lgx＝0的解的个数是________．

解析：

由于f（x）∈[0,1），因此只需考虑1≤x<10的情况，

在此范围内，当x∈Q且x∉Z时，设x＝，q，p∈N*，p≥2且p，q互质．

若lgx∈Q，则由lgx∈（0,1），可设lgx＝，m，n∈N*，m≥2且m，n互质，

因此10＝，则10n＝m，此时左边为整数，右边为非整数，矛盾，因此lgx∉Q，

故lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等，

只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点．

画出函数草图（如图），图中交点除（1,0）外其他交点横坐标均为无理数，属于每个周期x∉D的部分，

且x＝1处（lgx）′＝＝<1，则在x＝1附近仅有一个交点，因此方程f（x）－lgx＝0的解的个数为8.

答案：

8

[方法归纳]

利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法

[课时达标训练]

1．（2017·苏锡常镇一模）函数f（x）＝的定义域为________．

解析：

由题意得

解得x＞且x≠1，

故函数的定义域是.

答案：

2．函数f（x）＝ln的值域是________．

解析：

因为|x|≥0，所以|x|＋1≥1.

所以0＜≤1.所以ln≤0，

即f（x）＝ln的值域为（－∞，0]．

答案：

（－∞，0]

3．（2017·启东模考）设函数f（x）＝

则f（f

（2））＝________.

解析：

因为f

（2）＝－4＋2＝－2，f（－2）＝－2－1＝3，所以f（f

（2））＝3.

答案：

3

4．已知f（x）是奇函数，g（x）＝.若g

（2）＝3，则g（－2）＝________.

解析：

由题意可得g

（2）＝＝3，则f

（2）＝1，又f（x）是奇函数，则f（－2）＝－1，所以g（－2）＝＝＝－1.

答案：

－1

5．已知函数f（x）＝若f

（1）＋f（a－1）＝2，则a的值为________．

解析：

因为f

（1）＋f（a－1）＝2，又f

（1）＝0，所以f（a－1）＝2，当a－1＞0，即a＞1时，有log2（a－1）＝2，解得a＝5.当a－1≤0，即a≤1时，有2a－1＝2，解得a＝2（舍去），所以a＝5.

答案：

5

6．（2017·泰州二中模考）函数f（x）是R上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当x∈（0,2）时，f（x）＝x＋2，则f（7）＝________.

解析：

因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），则函数f（x）是周期为4的周期函数，则f（7）＝f（7－8）＝f（－1）＝－f

（1）＝－（1＋2）＝－3.

答案：

－3

7．（2017·苏州考前模拟）设a＝log2，b＝log，c＝0.3，则a，b，c按从小到大的顺序排列为______________．

解析：

由已知结合对数函数图象和指数函数图象得到a<0，b>1,0

答案：

a

8．（2017·盐城响水中学学情分析）设函数f（x）＝lg（x＋）是奇函数，则实数m的值为________．

解析：

∵函数f（x）＝lg（x＋）是奇函数，

∴f（－x）＝－f（x），

即lg（－x＋）＝－lg（x＋），

即lg（－x＋）＋lg（x＋）

＝lg[（－x＋）（x＋）]

＝lg[1＋（m－1）x2]＝0，

即1＋（m－1）x2＝1，故m＝1.

答案：

1

9．已知在（－1,1）上函数f（x）＝若f（x）＝－，则x的值为________．

解析：

当－1＜x≤0时，由f（x）＝sin＝－，解得x＝－；当0＜x＜1时，由f（x）＝log2（x＋1）＝－，解得x＝－1，不符合题意，舍去，故x的值为－.

答案：

－

10．已知f（x）＝（a＞0且a≠1）满足对任意x1≠x2都有＞0，那么实数a的取值范围是________．

解析：

因为任意x1≠x2，都有＞0，则f（x）在R上为单调递增函数，则函数y＝ax在[1，＋∞）和函数y＝（a－2）x＋1在（－∞，1）上均为单调递增函数，所以⇒a＞2.

答案：

（2，＋∞）

11．（2017·全国卷Ⅰ改编）函数f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，且为奇函数．若f

（1）＝－1，则满足－1≤f（x－2）≤1的x的取值范围是________．

解析：

∵f（x）为奇函数，∴f（－x）＝－f（x）．

∵f

（1）＝－1，∴f（－1）＝－f

（1）＝1.

故由－1≤f（x－2）≤1，

得f

（1）≤f（x－2）≤f（－1）．

又f（x）在（－∞，＋∞）单调递减，

∴－1≤x－2≤1，∴1≤x≤3.

答案：

[1,3]

12．（2017·浙江高考）已知a∈R，函数f（x）＝＋a在区间[1,4]上的最大值是5，则a的取值范围是________．

解析：

∵x∈[1,4]，∴x＋∈[4,5]，

①当a≤时，f（x）max＝|5－a|＋a＝5－a＋a＝5，符合题意；

②当a>时，f（x）max＝|4－a|＋a＝2a－4＝5，

解得a＝（矛盾），故a的取值范围是.

答案：

13．对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f（x）＝－x＋3，g（x）＝log2x，则函数h（x）＝min{f（x），g（x）}的最大值是________．

解析：

依题意，h（x）＝

当0＜x≤2时，h（x）＝log2x是增函数；

当x＞2时，h（x）＝3－x是减函数，

所以h（x）在x＝2时，取得最大值h

（2）＝1.

答案：

1

14．（2017·全国卷Ⅲ）设函数f（x）＝则满足f（x）＋f>1的x的取值范围是________．

解析：

由题意知，可对不等式分x≤0,0讨论．

当x≤0时，原不等式为x＋1＋x＋>1，解得x>－，所以－

当01，显然成立．

当x>时，原不等式为2x＋2x－>1，显然成立．

综上可知，x的取值范围是.

答案：

1．已知函数f（x）＝设a∈R，若关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立，则a的取值范围是________．

解析：

法一：

根据题意，作出f（x）的大致图象，如图所示．

当x≤1时，若要f（x）≥恒成立，结合图象，只需x2－x＋3≥－，即x2－＋3＋a≥0，故对于方程x2－＋3＋a＝0，Δ＝2－4（3＋a）≤0，解得a≥－；当x>1时，若要f（x）≥恒成立，结合图象，只需x＋≥＋a，即＋≥a.又＋≥2，当且仅当＝，即x＝2时等号成立，所以a≤2.综上，a的取值范围是.

法二：

关于x的不等式f（x）≥在R上恒成立等价于－f（x）≤a＋≤f（x），

即－f（x）－≤a≤f（x）－在R上恒成立，

令g（x）＝－f（x）－.

当x≤1时，g（x）＝－（x2－x＋3）－＝－x2＋－3

＝－2－，

当x＝时，g（x）max＝－；

当x>1时，g（x）＝－－＝－≤－2，

当且仅当＝，且x>1，即x＝时，“＝”成立，

故g（x）max＝－2.

综上，g（x）max＝－.

令h（x）＝f（x）－，

当x≤1时，h（x）＝x2－x＋3－＝x2－＋3

＝2＋，

当x＝时，h（x）min＝；

当x>1时，h（x）＝x＋－＝＋≥2，

当且仅当＝，且x>1，即x＝2时，“＝”成立，

故h（x）min＝2.

综上，h（x）min＝2.

故a的取值范围为.

答案：

2．已知函数y＝与函数y＝的图象共有k（k∈N*）个公共点：

A1（x1，y1），A2（x2，y2），…，Ak（xk，yk），则（xi＋yi）＝________.

解析：

y＝＝＝2－，易知该函数在R上单调递增，值域为（0,2），且图象关于点（0,1）对称．y＝＝1＋，易知该函数在R上单调递减，且图象关于点（0,1）对称．故两函数图象有两个交点，它们关于点（0,1）对称，所以（xi＋yi）＝2.

答案：

2

3．（2017·扬州考前调研）已知函数f（x）＝有两个不相等的零点x1，x2，则＋的最大值为________．

解析：

当k＝0时，函数f（x）只有一个零点，不合题意；当k＞0时，由于－＜0，所以函数f（x）在（0,1]上至多有一个零点，在（1，＋∞）上没有零点，不合题意；当k＝－1时，函数f（x）只有一个零点1，不合题意；当k＜－1时，函数f（x）在（0,1]上Δ＝4＋4k＜0，没有零点，不合题意；当－1＜k＜0时，函数f（x）在（0,1]上的零点为x1＝，在（1，＋∞）上零点为x2＝，符合题意．所以＋＝－k＋，令＝t∈（0,1），则k＝t2－1，则＋＝－t2＋t＋2＝－2＋≤.

答案：

4．（2017·南通三模）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝2f（x）－ax恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围是________．

解析：

g（x）＝

显然当a＝2时，g（x）有无穷多个零点，不符合题意；

当x≥a时，令g（x）＝0，得x＝0，

当x

①若a>0，且a≠2，则g（x）在[a，＋∞）上无零点，

在（－∞，a）上存在零点x＝0和x＝－，

∴≥a，解得0

②若a＝0，则g（x）在[0，＋∞）上存在零点x＝0，

在（－∞，0）上存在零点x＝－，符合题意．

③若a<0，则g（x）在[a，＋∞）上存在零点x＝0，

∴g（x）在（－∞，a）上只有1个零点，

∵0∉（－∞，a），

∴g（x）在（－∞，a）上的零点为－，

∴－

综上，a的取值范围是.

答案：

第2课时

不等式（基础课）

[常考题型突破]

不等式的解法

[必备知识]

1．一元二次不等式的解法

先化为一般形式ax2＋bx＋c＞0（a≠0），再求相应一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）的根，最后根据相应二次函数图象与x轴的位置关系，确定一元二次不等式的解集．

2．简单分式不等式的解法

（1）＞0（＜0）⇔f（x）g（x）＞0（＜0）；

（2）≥0（≤0）⇔f（x）g（x）≥0（≤0