电磁感应中双杆归类.docx
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电磁感应中双杆归类
电磁感应中“滑轨”问题归类例析
一、“单杆”滑切割磁感线型
1杆与电阻连接组成回路
例1、如图所示，MNPQ是间距为L的平行金属导轨，置于磁感强度为B、方向垂直导轨所在平面向里的
匀强磁场中，MP间接有一阻值为R的电阻•一根与导轨接触良好、阻值为RZ2的金属导线ab垂直导轨
放置
（1）若在外力作用下以速度v向右匀速滑动，试求ab两点间的电势差。
（2）若无外力作用，以初速度v向右滑动，试求运动过程中产生的热量、通过ab电量以及ab发生的位
移x。
R构成回路。
解析：
（1）ab运动切割磁感线产生感应电动势E,所以ab相当于电源，与外电阻
2
二BLv
3
Ub=R
BLv
RR2
（2）若无外力作用则ab在安培力作用下做减速运动，最终静止。
1
动能全部转化为电热，Qmv2。
2
A*
3r
mv
BL
3mvR
2B2L2
例2、如右图所示，一平面框架与水平面成37°角，宽L=0.4m，上、下两端各有一个电阻R0=1Q,框
架的其他部分电阻不计，框架足够长.垂直于框平面的方向存在向上的匀强磁场，磁感应强度B=2T.ab为
金属杆，其长度为L=0.4m,质量m=0.8kg,电阻r=0.5Q,棒与框架的动摩擦因数卩=0.5.由静止开
始下滑，直到速度达到最大的过程中，上端电阻R产生的热量0.375J（已知sin37°=0.6,cos37°
=0.8;g取10m/s2）求：
（1）杆ab的最大速度；
（2）从开始到速度最大的过程中ab杆沿斜面下滑的距离；在该过程中通过ab的电荷量.
解析：
该题是一道考察电磁感应、安培力、闭合电路欧姆定律及力学有关知识的综合题，解题的关键是要正确分析金属杆的运动及受力的变化情况。
B2L2v
mgsinmgcosv-0
J
2
解得mg（sin—「cosR^r）得v2
（2）ab导线产生热量Qab=（2lo）
2Rn
=（2I。
）2竺=2Q°
2
克服安培力等于产生的总电能即,
W=Q=2Q02Q0=1.5J,
由动能定理：
12
mgssinv-W-丄mgscosmv-0
-mv2W
2
mg（sinr-」cos"
BLs
通过ab的电荷量q=|迸，代入数据得q=2C
R
2、杆与电源连接组成回路
例5、如图所示，长平行导轨PQMN光滑，相距丨=0.5m处在同一水平面中，磁感应强度B=0.8T的匀强磁场竖直向下穿过导轨面.横跨在导轨上的直导线ab的质量m=0.1kg、电阻R=0.8Q,导轨电阻不计.导轨间通过开关S将电动势E=1.5V、内电阻r=0.2Q的电池接在MP两端，试计算分析：
（1）在开关S刚闭合的初始时刻，导线ab的加速度多大？
随后ab的加速度、速度如何变化？
（2）
在闭合开关S后，怎样才能使ab以恒定的速度u=7.5m/s沿导轨向右运动？
试描述这时电路中的能量转化情况（通过具体的数据计算说明）.
解析
（1）在S刚闭合的瞬间,
导线ab速度为零，没有电磁感应现象,
由a到b的电流10—=1.5A,
R+r
Fbil
ab受安培力水平向右，此时瞬时加速度a0006m/s2
mm
ab运动起来且将发生电磁感应现象.ab向右运动的速度为u时，感应电动势E'-Blv，根据右手定则,
ab上的感应电动势（a端电势比b端高）在闭合电路中与电池电动势相反•电路中的电流（顺时针方向，
E-e'一，、亠、、、
I）将减小（小于|0=1.5A）,ab所受的向右的安培力随之减小，加速度也减小.尽管加速度减
Rr
小，速度还是在增大，感应电动势E随速度的增大而增大，电路中电流进一步减小，安培力、加速度也随
之进一步减小，当感应电动势E与电池电动势E相等时，电路中电流为零，ab所受安培力、加速度也为
零，这时ab的速度达到最大值，随后则以最大速度继续向右做匀速运动.
所以：
m
E
Bl
m/s=3.75m/s.
0.80.5
设最终达到的最大速度为um,根据上述分析可知：
e_Blg=0
ab中感应电动势
（2）如果ab以恒定速度・=7.5m/s向右沿导轨运动，则
E=Blv=0.80.57.5V=3V
E_e3_15
由于E>E，这时闭合电路中电流方向为逆时针方向，大小为：
IA=1.5A
R+r0.8+0.2
直导线ab中的电流由b到a，根据左手定则，磁场对ab有水平向左的安培力作用，大小为
F=Bll=0.80.51.5N=0.6N
所以要使ab以恒定速度v=7.5m/s向右运动，必须有水平向右的恒力F=0.6N作用于ab.
上述物理过程的能量转化情况，可以概括为下列三点：
1作用于ab的恒力（F）的功率：
P二Fv=0.67.5w=4.5W
2电阻（R+r）产生焦耳热的功率：
'22
P=1（Rr）=1.5（0.80.2）W=2.25W
③逆时针方向的电流I',从电池的正极流入，负极流出，电池处于“充电”状态，吸收能量，以化学能的
形式储存起来•电池吸收能量的功率：
p'=i'e=1.51.5W=2.25W
由上看出，p二p'•p"，符合能量转化和守恒定律（沿水平面匀速运动机械能不变）.
二、“双杆”滑切割磁感线型
1、双杆所在轨道宽度相同一一常用动量守恒求稳定速度
例6、两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为L。
导轨上面横放着两根
导体棒ab和cd,构成矩形回路，如图所示•两根导体棒的质量皆为m,电阻皆为R,回路中其余部分的电
阻可不计•在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B.设两导体棒均可沿导轨无摩擦
地滑行•开始时，棒cd静止，棒ab有指向棒cd的初速度v。
.若两导体棒在运动中始终不接触，求：
（1）在运动中产生的焦耳热最多是多少.
（2）当ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的加速度是多少？
解析：
ab棒向cd棒运动时，磁通量变小，产生感应电流.ab棒受到与运动方向相反的安培力作用作减速
运动，cd棒则在安培力作用下作加速运动.在ab棒的速度大于cd棒的速度时，回路总有感应电流，ab
棒继续减速，cd棒继续加速•临界状态下：
两棒速度达到相同后，回路面积保持不变，磁通量不变化，不
产生感应电流，两棒以相同的速度v作匀速运动.
mv°=2mv根据能量守恒，整个过
（1）从初始至两棒达到速度相同的过程中，两棒总动量守恒，有
程中产生的总热量Q=^mv：
-]（2m）v2=^mv：
224
（2）设ab棒的速度变为初速度的3/4时，cd棒的速度为vi，则由动量守恒可知：
3一3E
mv0二mv0mv1。
此时回路中的感应电动势和感应电流分别为：
E二（一v0-vJBL,I。
此时
442R
cd棒所受的安培力：
F=IBL，所以cd棒的加速度为a=—
m
由以上各式，可得
BLv0
a-
4mR
例7、如图所示，两根平行的金属导轨，固定在同一水平面上，磁感应强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所
在平面垂直，导轨的电阻很小，可忽略不计。
导轨间的距离1=0.20m。
两根质量均为m=0.10kg的平行金属
杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Q。
在t=0
时刻，两杆都处于静止状态。
现有一与导轨平行、大小为0.20N的恒力F作用于金属杆甲上，使金属杆在
导轨上滑动。
经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为a=1.37m/s2,问此时两金属杆的速度各为多少？
—抨
解析：
设任一时刻t两金属杆甲、乙之间的距离为X,速度分别为V1和V2,经过很短的时间厶t，杆甲移
动距离V/t，杆乙移动距离21，回路面积改变
=S=[（x-v2=t）w=t]t-lx二（w-v2）l=t
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势E
At
回路中的电流iE，杆甲的运动方程F-Bli=ma
2R
由于作用于杆甲和杆乙的安培力总是大小相等，方向相反，
所以两杆的动量（t=0时为0）等于外力F的冲量
Ft=mqmv2。
联立以上各式解得v^1[-F^-^（F-ma）]
2mB2F
V2[
2m
2R
-22（F一询]，
BI
代入数据得
v1=8.15m/sv2=1.85m/s
2、双杆所在轨道宽度不同一一常用动量定理找速度关系
例题&如图所示，光滑导轨二「、二丄等高平行放置，二二间宽度为『一间宽度的3倍，导轨右侧水平且
处于竖直向上的匀强磁场中，左侧呈弧形升高。
一;」、门是质量均为T：
'电阻均为R的金属棒，现让一;」从
离水平轨道〔高处由静止下滑，设导轨足够长。
试求：
（1）棒的最终速度；
（2）全过程中感应电
流产生的焦耳热。
【解析】丄-下滑进入磁场后切割磁感线，在电路中产生感应电流，丄-、「丿各受不同的磁场力作用
磁场力为：
匕②
流为零（-L），安培力为零，
一;」、二运动趋于稳定，此时有：
-"匚-「「二
一&、「：
受安培力作用，动量均发生变化，由动量定理得:
联立以上各式解得:
匚-…④
『丄⑤
⑵根据系统的总能量守恒可得:
ab、
例题9.如图所示，abed和a/b/c/d/为水平放置的光滑平行导轨，区域内充满方向竖直向上的匀强磁场。
ab间的宽度是cd、c/d/间宽度的2倍。
设导轨足够长，导体棒ef的质量是棒gh的质量的2倍。
现给导体棒ef一个初速度vo,沿导轨向左运动，当两棒的速度稳定时，两棒的速度分别是多少？
解析：
当两棒的速度稳定时，回路中的感应电流为零，设导体棒ef的速度减小到vi，导体棒gh的速度增大到V2，
则有2BLvi-BLv2=0，即V2=2vi。
对导体棒ef由动量定理得：
-2BLLt=2mw-2mv0
对导体棒gh由动量定理得：
BLI4-mv2-0。
12
由以上各式可得：
viv°,v2v°。
33
例题10.图中^biGd1和a2b>C2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感应强度为b的匀强磁场中，
磁场方向垂直导轨所在的平面（纸面）向里。
导轨的aib|段与比鸟段是竖直的•距离为小11,01dl段与C2d2段也是竖直的，距离为12。
人％与X2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m1和
m2,它们都垂直于导轨并与导轨保持光滑接触。
两杆与导轨构成的回路的总电阻为R。
F为作用于金属杆
x』1上的竖直向上的恒力。
已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
【解析】设杆向上运动的速度为v，因杆的运动，两杆与导轨构成的回路的面
积减少，从而磁通量也减少。
由法拉第电磁感应定律，回路中的感应电动势的大小
E二B（l2-l1）v回路中的电流
I工
X1y1的安
R
电流沿顺时针方向。
两金属杆都要受到安培力作用，作用于杆培力为
£=BhI③
方向向上，作用于杆X2y2的安培力
f2=bi2i
方向向下。
当杆作匀速运动时，根据牛顿第二定律有
F_mig_m2g£_f2=0解以上各式，得
I_F-（mimi2）g
B（J」i）⑥
F-（mim2）g
B2（l2-li）2
作用于两杆的重力的功率的大小
P=（m+m2）gv
电阻上的热功率
Q=I2R
由⑥、⑦、⑧、⑨式，可得
R（mmi2）g
F-（mim2）g
22
B（12-li）
-（mimi2）gR
B（12-li）
3、磁场方向与导轨平面不垂直
例题ii.如图所示，ab和cd是固定在同一水平面内的足够长平行金属导轨，ae和cf是平行的足够长倾
斜导轨，整个装置放在竖直向上的匀强磁场中。
在水平导轨上有与导轨垂直的导体棒1,在倾斜导轨上有
与导轨垂直且水平的导体棒2，两棒与导轨间接触良好，构成一个闭合回路。
已知磁场的磁感应强度为B,
导轨间距为L,倾斜导轨与水平面夹角为0，导体棒1和2质量均为m电阻均为R。
不计导轨电阻和一切摩擦。
现用一水平恒力F作用在棒1上，从静止开始拉动棒1,同时由静止开始释放棒2,经过一段时间，两棒最终匀速运动。
忽略感应电流之间的作用，试求：
（1）水平拉力F的大小；
（2）棒1最终匀速运动的速度vi的大小。
解析
（1）1棒匀速：
F=BIL2棒匀速：
BIL=mgtanv
解得：
F=mgtanr
（2）两棒同时达匀速状态，设经历时间为t，过程中平
均感应电流为I一，据动量定理，
对1棒：
Ft-BILt=mv1-0；对2棒：
mgsinJt-BlLcosJt=mv2-0
联立解得：
V2=Vicos二
匀速运动后，有：
E=BLv1■BLv2cosV，I=—解得：
Vi2mgRtanTl
2R1B2L2（1+cos2日）
三、轨道滑模型
例题12.如图所示，abcd为质量m的U形导轨，ab与cd平行，放在光滑绝缘的水平面上，另有一根质量为m的金属棒PQ平行bc放在水平导轨上，PQ棒右边靠着绝缘竖直光滑且固定在绝缘水平面上的立柱e、
f,U形导轨处于匀强磁场中，磁场以通过e、f的OQ为界，右侧磁场方向竖直向上，左侧磁场方向水平向
左，磁感应强度大小都为B，导轨的bc段长度为L,金属棒PQ的电阻R,其余电阻均可不计，金属棒PQ与
导轨间的动摩擦因数为卩，在导轨上作用一个方向向右，大小F==mg的水平拉力，让U形导轨从静止开始
运动•设导轨足够长•求：
（1）导轨在运动过程中的最大速度um
（2）若导轨从开始运动到达到最大速度um的过程中，流过PQ棒的总电量为q,则系统增加的内能为多
少？
解析：
（1）当导轨的加速度为零时，导轨速度最大为um。
导轨在水平方向上受到外力F、水平向左的安培
B2L2v
力Fl和滑动摩擦力F2,则
F-F^F2=0,
R=BIL,I=E,E二BLVm，即F!
R
（2）设导轨从开始运动到达到最大速度的过程中，移动的距离为中的平均电流强度为11,QPbC回路中的平均感应电动势为
△申EqR
E1，—SLB,l1Jq=l1t,得S。
设系统增加的内能为,由功能关系得：
tRBL
练习：
1.两根相距为L的足够长的金属直角导轨如图所示放置，它们各有一边在同一水平内，另一边垂直于水平面。
质量均为m的金属细杆ab、cd与导轨垂直接触形成闭合回路，杆与导轨之间的动摩擦因数均为卩,
导轨电阻不计，回路总电阻为2R。
整个装置处于磁感应强度大小为B,方向竖直向上的匀强磁场中。
当ab
杆在平行于水平导轨的拉力F作用下以速度V沿导轨匀速运动时，cd杆也正好以速度V2向下匀速运动。
重力加速度为g。
以下说法正确的是（）
o许
J
\
A.ab杆所受拉力F的大小为卩mg
B.cd杆所受摩擦力为零
C.回路中的电流强度为
2R
D.□与Vi大小的关系为
本题答案为AD
2.如图所示，在磁感应强度大小为B,方向垂直向上的匀强磁场中，有一上、下两层均与水平面平行的
“U'型光滑金属导轨，在导轨面上各放一根完全相同的质量为的匀质金属杆■■:
和,开始时两根金
属杆位于同一竖起面内且杆与轨道垂直。
设两导轨面相距为H,导轨宽为L,导轨足够长且电阻不计，金
属杆单位长度的电阻为
m
r。
现有一质量为一的不带电小球以水平向右的速度’一撞击杆丫的中点，撞击后
小球反弹落到下层面上的
C点。
C点与杆■二初始位置相距为S。
求:
（1）回路内感应电流的最大值；
（2）整个运动过程中感应电流最多产生了多少热量;
（3）当杆V与杆工的速度比为1.一'时，V受到的安培力大小。
+B
根据平抛运动的分解，有
②
由以上2式解得；:
②代入①得K:
:
回路内感应电动势的最大值为
，电阻为取2_"，所以回路内感应电流的最大值为--
""%+时希）
4r
（2）因为在安培力的作用下,
金属杆
做减速运动，金属杆V做加速运动，当两杆速度大小相等时,
_1
叫二加，所以V=2Vo1，代入⑤式
1q1
一枷叽二Q—2mv回路内感应电流为0,根据能量守恒定律，1'2
其中：
是两杆速度大小相等时的速度，根据动量守恒定律,
（3）设金属杆
/曰傀+
得Q=卜.
、V速度大小分别为’1、：
，根据动量守恒定律,
Vi_=3
聊如二網+窒，又，
3
所以
1
沟=-voi
。
金属杆
'［速度方向都向右，根据右手定则判断
产生的感应电动势在回路中方向相反,
所以感应电动势为
二一岀工5,电流为I】，安培力为『-二,所以‘I受到的安培力大小为
b2l
受到的安培力大小也如此，只不过方向相反。
3.图中abcidi和a2b2C2d2为在同一竖直平面内的金属导轨，处在磁感强度B的匀强磁场中，磁场方向垂直
导轨所在平面（纸面）向里。
导轨的aibi段与a2b2段是竖直的，距离为I1；cidi段与C2d2段也是竖直的，距
离为I2。
xiyi与X2y2为两根用不可伸长的绝缘轻线相连的金属细杆，质量分别为m、mi,它们都垂直于导轨
并与导轨保持光滑接触。
两杆与导轨构成的回路的总电阻为RoF为作用于金属杆xiyi上竖直向上的恒力。
1
di
4
5
已知两杆运动到图示位置时，已匀速向上运动，求此时作用于两杆的重力的功率的大小和回路电阻上的热功率。
【解析】（i）设xiyi与X2y2匀速向上运动的速度为「，根据右手定则，xiyi与“2切割磁感线产生的
感应电动势都向左，在回路中的方向相反，大小分别为
-/和〕■一，因为」,所以总电
动势为人二八I1』卩，方向与X2y2产生的感应电动势相同，感应电流为丄,方向为顺
时针，如下图。
设xiyi与X2y2受到的安培力分别为二、二,根据左手定则判断安培力的方向为'■:
向上、
j=Ta
4.
如图，在水平面上有两条平行导电导轨MNPQ导轨间距离为I,匀强磁场垂直于导轨所在的平面（纸
面）向里，磁感应强度的大小为B,两根金属杆1、2摆在导轨上，与导轨垂直，它们的质量和电阻分别为
m、m和Ri、甩，两杆与导轨接触良好，与导轨间的动摩擦因数为卩，已知：
杆1被外力拖动，以恒定的
速度vo沿导轨运动；达到稳定状态时，杆2也以恒定速度沿导轨运动，导轨的电阻可忽略，求此时杆2克
服摩擦力做功的功率。
XXXxXX
M
7
N
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Q
解：
设杆2的运动速度为v（由于两杆运动时「两杆间和导轨构戍的回裕勺的琏谨量发生变化,产生感应电动论E1-Bl（yv一¥）①
感应电济1-R+R®
吁:
作W速运龙..它宗到的安培力等于它芸到的拿撩力’B11=坷泪®
导干2宛农拿擦力佃功的功室P=④
靜得尸=则2水0-笃警（垃+血）1⑤
BI
5.两根足够长的平行金属导轨，固定在同一水平面上，导轨的电阻很小，可忽略不计。
导轨间的距离
L=0.2m。
磁感强度B=0.50T的匀强磁场与导轨所在平面垂直。
两根质量均为m=0.10kg的平行金属杆甲、乙可在导轨上无摩擦地滑动，滑动过程中与导轨保持垂直，每根金属杆的电阻为R=0.50Q。
在t=0时刻,
两根金属杆并排靠在一起，且都处于静止状态。
现有一与导轨平行，大小为0.20N的恒力F作用于金属杆
甲上，使金属杆在导轨上滑动。
经过t=5.0s，金属杆甲的加速度为1.37m/s2，问此时甲、乙两金属杆速度
Vi、V2及它们之间的距离是多少？
乙
甲
X.1
—XF
X
22
BlM-v2）
2R
由①②③三式解得：
v1=8.15m/s,v2=1.85m/s
对乙：
HBt二mv2④得QIB=mv2Q=1.85C
6.如图，水平平面内固定两平行的光滑导轨，左边两导轨间的距离为2L,右边两导轨间的距离为L,左
右部分用导轨材料连接，两导轨间都存在磁感强度为B、方向竖直向下的匀强磁场。
ab、cd两均匀的导体
棒分别垂直放在左边和右边导轨间，ab棒的质量为2m电阻为2r，cd棒的质量为m电阻为r,其它部
分电阻不计。
原来两棒均处于静止状态，cd棒在沿导轨向右的水平恒力F作用下开始运动，设两导轨足够
长，两棒都不会滑出各自的轨道。
⑴试分析两棒最终达到何种稳定状态？
此状态下两棒的加速度各多大？
⑵在达到稳定状态时ab棒产生的热功率多大？
X
XXXXX
C
冥
XXXXX
X
XXX—X
'F
X
XXXXX
X
XXXX
X
XXXXX
I，cd和ab棒分别受到
解：
⑴cd棒由静止开始向右运动，产生如图所示的感应电流，设感应电流大小为的安培力为R、F2,速度分别为w、V2,加速度分别为a1、a2,则
EBLv1—2BLv2BL（v^2v2）
I①
Fi=BILF2=2BIL
②
F-BIL
2BIL
BIL
③
—
—
ai_a2
m
2m
m
开始阶段安培力小，有
ai»a2.
cd棒比
ab棒加速快得多，随着
V1-2V2）的增大，Ft、F2增大，a1减小、
（Vi-2V2）不变，Fi、F2也不变，两棒以不同的加速度匀加速运动。
将③式代入可得
a2增大。
当ai=2a2时,
3r3r3r
两棒最终作匀加速运动加速度:
2F
內=3m
⑵两棒最终处于匀加速运动状态时ai=2a2，代入③式得：
I—⑤
此时ab棒产生的热功率为:
Pj.2「咅
9B2L2
3BL
7.两根水平平行固定的光滑金属导轨宽为L,足够长，在其上放置两根长也为L且与导轨垂直的金属棒
ab和cd,
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