学年安徽省阜阳市第一中学高二上学期期中数学文试题解析版.docx
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学年安徽省阜阳市第一中学高二上学期期中数学文试题解析版
2019-2020学年安徽省阜阳市第一中学高二上学期期中数学
（文）试题
一、单选题
22
1•双曲线y2x1的渐近线方程为（）
a•y2x
1
C•y2x
【答案】B
【解析】由双曲线的方程，可直接得出渐近线方程
【详解】
因为双曲线的方程为y22X21,
由y22x20得y,2x即为所求渐近线方程
故选B
【点睛】
本题主要考查双曲线的渐近线方程，熟记双曲线的简单性质即可，属于基础题型•
2•已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的一个焦点，贝Ua（）
A•1B.4C•8D•16
【答案】C
【解析】双曲线a22,b22，所以c2a2b24，所以焦点坐标是0,2即a2，解得a8，故选C.
4
22
3•已知椭圆E:
%吿1的左右焦点分别为FnF2，过右焦点F2作x轴的垂线，交
ab
椭圆于代B两点若等边ABF1的周长为4-3，则椭圆的方程为（）
2xA•
2
L1
B•
22
x-丄1
C•
2x
2
y_
22
xy
1D•1
3
2
36
2
3
94
【答案】
A
【解析】
由题意可得等边
ABR的边长为
43
，则
AB
3
3
第1页
共19
页
由椭圆的定义可得2aAF1AF2心乙323，即a3,
33
由F1F2
2，即有c1，则b]C2
x2
则椭圆的方程为—
3
2y
2
1，故选A•
4.下列说法正确的是（）
a.若命题p，q都是真命题，则命题
pq”为真命题
B.命题若xy0,则x0或y0”的否命题为若xy0，则x0或y0”
C.“x1”是“x25x60”的必要不充分条件
D.命题“xR,2x0”的否定是“X。
R,2x00”
【答案】D
【解析】A:
根据复合命题的真假性判断；B:
或”的否定为且”；C:
‘x1”
能推出‘x25x60”；D:
含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论.
【详解】
解：
对于a，命题p,q是真命题，则命题q”为假，p也为假，命题“pq”
为假命题，故错；
对于B,或”的否定为且”，故错；
对于C,“x1”能推出“x25x60”，故错；
xR,2x0”的否
对于D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，即
定是“X。
R,2x00”，故正确.
故选：
D.
【点睛】
本题考查了命题否定、命题的否命题、充分条件的判定，属于基础题.
5.函数f（X）
3x
2ex的大致图象是（
A.
B.
C.
4
D.
i
—
•—
&r
【答案】A
【解析】根据奇偶性，可排除B，再当X0时，利用导数研究极值，即可得出结果。
【详解】
3x3x
解：
Qf（x）——X,f（x）——Xf（x），故f（x）为奇函数，所以排除B;
2e12d1
当x0时，f'（x）6e6e（12xx），令f'（x）0,得x1，函数f（x）在
4ex4ex
x1处取极值，只有A符合，
故选：
A。
【点睛】
本题考查已知函数解析式，判断函数图像，充分利用函数的性质，如对称性，极值，最
值等，通过排除得出结果。
6.函数fx
x
x5x2e的极值点所在的区间为（
D.（2,1）
A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）
【答案】A
【解析】Qf'x2x52ex为增函数，f'030,f'12e30,
x2x
Qf'x2x52e的零点在区间0,1上，fxx5x2e的极值点在区
间0,1上，故选A.
2
7.设P为双曲线x~1上的一点，F。
F2是该双曲线的两个焦点，若
12
PF1:
PF23:
2，则VPF1F2的面积为（）
A.6.3B.12
【答案】B
【解析】试题分析：
由已知可得
C.12、、3D.24
PFj:
|PF23:
2,PF1PF2
2PF16,PF24,又
PF1I2PF2I2IF1F2I2
PF1F2是直角三角形S丄4612,
2
【考点】双曲线标准方程及其性质.
8.椭圆C1:
4
2
Xy21与双曲线C2:
b21
a0,b
的离心率之积为1,
则双曲线
C2的两条渐近线的倾斜角分别为
【答案】
【解析】
求得椭圆的离心率为q，双曲线的离心率为
e2，运用离心率公式，解方程可
得b，再由双曲线的渐近线方程，结合直线的斜率和倾斜角关系可得所求角.
a
【详解】
解：
设椭圆的离心率为©，则e—,
2
双曲线的离心率为
e2，
由题意可得ee2
3a2b2
由双曲线C2的渐近线方程为
b
X，即y
a
可得渐近线的倾斜角分别为
故选：
C.
【点睛】
本题考查椭圆和双曲线的性质，主要是离心率和渐近线，考查方程思想和运算能力，属
于基础题.
9.已知椭圆
a
21ab0,;为左焦点，.，为右顶点,Bi,B2分别为上、b2
下顶点，若■
…、B!
、B2四点在同一个圆上，则此椭圆的离心率为（
B.A
C.丄
2
D.二
2
【答案】B
【解析】由题设圆的半径
aceh—2#aC\2/ac、2口仃
r亍，则b（a丁）（〒），即
222
acacee1
于，应选答案B。
10.如图，已知直线I：
y
与抛物线C:
y2
4x相交于A,B两点,
且A、B两点在抛物线准线上的投影分别是
M,N，若AM
2BN
则k的值是（）
F
/
P
Tl
B.
【答案】C
【解析】直线y
k0恒过定点P10，由此推导出
OB
AF，由
此能求出点B的坐标，从而能求出k的值.
【详解】
设抛物线C：
y24x的准线为I:
x1,
直线ykx1k0恒过定点P1,,
如图过A、B分别作AMI于M,BNI于N,
由AM2BN，则|FA2FB|,
1
点B为AP的中点、连接OB，则OB-AF,
2
一1
•••OBBF，点B的横坐标为一，
2
•-点B的坐标为B，把B代入直线ykx1k0,
22
解得k
2^2
3
故选：
C.
4
/
O
【点睛】
本题考查直线与圆锥曲线中参数的求法，考查抛物线的性质，是中档题，解题时要注意
等价转化思想的合理运用，属于中档题•
r2..「
11•已知函数若函数龌二他―H存在零点，则实e,x>0
数的取值范围为（）
A.[冷自B（•址冷U[M"）C•卜抽
D•，
【答案】B
【解析】根据题意，把函数g（x）=f（x）-ax+a存在零点转化为方程f（x）-ax+a=O
存在实数根，也就是函数y=f（x）与y=a（x-1）的图象有交点，作出函数图象，数形
结合得答案.
【详解】
函数存在零点，
即方程'玉':
;.:
存在实数根,即函数k-KJ与丫=血-1；的图象有交点,
如图所示，直线y二吐11；恒过定点（1』〕,设直线丫-1）与亍二J相切于仁£'）,则切点处的导数值为
过点彳与i；J的直线的斜率
则过切点的直线方程为丫』二L（x.^）,又切线过，则―八）.叮
此时切线的斜率为，
由图可知，要使函数i"-.?
；.'-存在零点，
则实数的取值范围是a<-'或,yj，
故选B.
【点睛】
已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：
直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：
先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：
先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数
形结合求解.
12.已知函数f（x）
3ax
3x2
1，若f（x）存在唯一的零点X0，且x0
0，贝ya的取
值范围是
A.2,
B.
1,
C
2D.
1
【答案】C
【解析】试题分析：
当
§a
0时，
f（x）
3x2
1,函数f（x）有两个零点
和仝,
3
3
不满足题意，舍去；当
a
0时，
f（x）
3ax2
6x，令f（x）0，得
x0或
2
x.x（,0）时，
f（x）
0-x
（0,2
2
）时，f（x）0；x（:
7
）时，
a
a
a
f（x）0，且f（0）
0,
此时在
x（
0）必有零点，故不满足题意，舍去;
当a0
22
时，x（,—）时，f（x）0；x（―,0）时，f（x）0；x（0,）时，f（x）0,
aa
2
且f（0）0，要使得f（x）存在唯一的零点x0，且X。
0，只需f（―）0,即a24,
a
则a2，选C.
【考点】1、函数的零点；2、利用导数求函数的极值；3、利用导数判断函数的单调性.
、填空题
13.函数fXxCOSX的图象在点，f处的切线方程是
【答案】yx1
【解析】求出函数的导数，计算f，求出切线方程即可.
【详解】
解：
由题意知，f（x）1sinx,
则切线的斜率kf1，又f1，即切点坐标为，1,切线斜率k1
切线的方程为y1x，整理得yx1
故答案为：
yx1.
【点睛】
本题考查了导数的几何意义的应用，考查曲线的切线方程问题，属于基础题.
14.已知命题P:
x2
y22x2ym
0表示圆，命题q:
2
—y1表示
m1
双曲线，若命题Pq为真命题，则实数m的取值范围为
【答案】（1,2）
【解析】命题P：
444m0m2
命题q:
（m3）（m1）01m3
因为Pq为真命题，所以1m2
15•已知函数fxexalnx在1,4上单调递增，则a的取值范围是
【答案】，e
【解析】求出函数的导数，问题转化为a,xex在1,4恒成立，令h（x）xex,x1,4,
根据函数的单调性求出a的范围即可.
【详解】
解:
f（x）ex-,
x
若f（x）在1,4递增，
则f（x）…0在1,4恒成立，
即a,xe在1,4恒成立，
令h（x）xex,x1,4,
则h（x）（x1）ex0,
h（x）在1,4递增,
故hXminh1e,
故a,e,
故答案为：
，e.
【点睛】
本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，属于中档
题.
三、解答题
22
xy
16•如图：
已知双曲线—J1（a0,b0）中，A,A2为左右顶点，F为右焦点，B
ab
为虚轴的上端点，若在线段
BF上（不含端点）存在不同的两点
Ri1,2,使得
RA1A2i1,2构成以A1A2为斜边的直角三角形，则双曲线离心率e的取值范围是
2
【解析】求证直线BF的方程bxcybe0，利用直线与圆的位置关系，结合ab,
即可求解双曲线的离心率e的取值范围.
【详解】
2_
由题意，显然ab，则a2e2a2，据此可得e与2,e2,
a
在线段BF上（不含端点）存在不同的两点Ri1,2，使得RAAi1,2构成以
A1A2为斜边的直角三角形，等价于以AA为直径的圆与线段BF有两个交点，
以AA2为直径的圆圆心坐标为0,0，半径为a,
直线
BF
的方程为-—1，即bxcybc0，所以
bc
」b2=c2a，
又由
b2整理可得:
4^22
c3ac
3e210,
解得
结合e
1,e
综上可得双曲线离心率e的取值范围是
1.5
2
【点睛】
本题主要考查了双曲线的离心率的求解,
以及双曲线的几何性质的应用，其中解答中熟
记双曲线的几何性质，以及合理应用直线与圆的位置关系准确运算是解答的关键,
着重
考查了运算与求解能力，属于难题.
17.已知函数
（1）求实数
13
fxx3axb，在点M1,f1处的切线方程为9x3y100.
3
a,b的值；
（2）求函数
fX的极值.
【答案】
（1）
【解析】
（1）
428
a4,b4
（2）极小值为一，极大值为
33
求出曲线的斜率，切点坐标，求出函数的导数，禾U用导函数值域斜率的关
系，即可求出
（2）求出导函数的符号，判断函数的单调性即可得到函数的极值.
【详解】
解：
（1）因为f
1x3axb在点
3
M1,f1处的切线方程为9x3y100,
所以切线斜率是
3且913f1
100,
1
求得f
（1）—,即点
3
13
x
3
又函数f（x）
1
M（1,-）
3
ax
b，贝Uf（x）
f
（1）
所以依题意得
f
（1）
a
解得
b
（2）由
（1）
知f（x）
4x4
2
所以f（x）x4（x2）（x2）
令f（x）0，解得x2或x2
当f（x）0，x2或x2;当f（x）0，2x2
所以函数f（x）的单调递增区间是（，2），（2,），单调递减区间是（2,2）
所以当x变化时，f（x）和f（x）变化情况如下表：
所以f（x）极小值
【点睛】
28
T，
f（x）极大值f
（2）
x
2
2
（2,2）
2
2,
f（x）
0
0
f（x）
Z
极大值
28
3
]
极小值
4
3
Z
本题考查函数的导数的应用，切线方程以及函数的极值，考查转化思想以及计算能力，
属于中档题.
2
18.已知抛物线C:
y2pxp0的焦点为F,准线为I,若点P在C上，过点P作PE垂直于|，交|于E,VPEF是边长为8的正三角形.
（1）求C的方程；
（2）过点M1,0的直线m与C交于A,b两点，若MA3MB，求直线m的方程.
【答案】
（1）y28x
（2）y、,6x'一6或y'一6x、、6
【解析】
（1）由等边三角形的性质和抛物线的定义可得PEl,设准线I与y轴交于D,
由直角三角形的锐角三角函数的定义，计算可得P，进而得到抛物线的方程；
（2）设直线m:
xty1,代入y28x得y28ty80，设AX,%）,B（X2,y?
）则y1y28t,8，因为MA3MB，所以旳3y2，设y13y2，即可
求出参数t的值；
【详解】
解：
（1）由PEF是边长为8的等边三角形，得|PE||PF||EF|8,
又由抛物线的定义可得PEI•
设准线I与x轴交于D，则PE//DF，从而PEFEFD60，在RtEDF中，|DF||EF|gsosEFD814，即p4.
所以抛物线C的方程为y28x；
1
E
■
1
6
[y
1
*
1
D,
1
Ml
i-10
-i
\'
4
（2）设直线m:
xty1,代入y28x得y28ty80,设人（为，％）,B（X2,y?
）
则yiy28t,ym8，因为MA3MB，所以|%|3y：
设yi3y2，则yi12t,y4t,12t4t8
解得t,
6
所以直线方程为x
6x、.6
6y1，即y、、6x..6或y
6
本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查直线方程和抛物线方程联立，运用韦达定理,
考查化简运算能力，属于中档题.
19.已知函数f（x）xexx22x1.
（1）求函数fx在［1,1］上的最大值；
（2）证明：
当x0时,f（x）x1.
1
【答案】
（1）丄；
（2）详见解析.
e
【解析】
（1）首先求出函数的导数，解不等式f'（x）0,f'（x）0，结合题中所给的
区间，研究函数的单调性，从而求得函数在给定区间上的最大值；
（2）不等式
f（x）x
1即为xex
2x
2x1x1，化简得xex
2小
xx0,
因为x0得
exx1
0,令h（x）
xe
x1,求导研究函数的单调性，
从而证得结
果•
【详解】
（1）f'（x）
xx
exe
2x2（x
1）（e
x2）,x[1,1],
令f'（x）0
，解得In2
x1，令
f'（x）
0,解得1xIn2,
所以函数fX在［1,1n2）上单调递减，在（In2,1］上单调递增,
且f
（1）-
e
1
1211,f
（1）e1
e
21e4,
所以函数fx
在［1,1］上的最大值为1；
e
（2）由f（x）
x1可得xexx22x1
x1,
即xexx2x
0,因为x0,所以exx
10，
令h（x）exx1，得h'（x）ex1，当x
0时，可得ex1，从而有h'（x）0,
所以h（x）ex
x1在（0,）上是增函数，
所以h（x）e°
010,从而有exx1
0恒成立，
即原命题得证，
故：
当x0时,f（x）x1.
【点睛】
该题考查的是有关利用导数研究函数的问题，涉及到的知识点有利用导数求函数在给定
区间上的最值，禾U用导数证明恒成立问题，属于中档题目
22
20•已知点P是圆M:
x2y20上任意一点，点N的坐标为2,0，线段NP
的垂直平分线交直线MP于点Q,当点P在圆M上运动时，点Q的轨迹为C.
（1）求轨迹C的方程;
（2）在x轴上是否存在一定点
E,使得双曲线C的任意一条过E的弦AB,
EA
EB
【答案】
⑴
2
x2
牙y
1
（2）存在；定点为E
【解析】
（1）
利用线段
NP的垂直平分线交直线
求出轨迹
C的方程；
1~2
1
—2为定值？
若存在
求出定点和定值；若不存在，请说明理由
型,0,定值为
3
EA
EB
MP于点Q，根据椭圆的定义，即可
（2）先计算E若存在必为（—300）定值为6,再进行证明.
3
【详解】解：
（1）由题意，|PQ||QN|,
|QN||QM||QP||QM||MP|254,
2
X2
（2）由
（1）曲线C为—
5
设E（x0,0），分别过E取两垂直与坐标轴的两条弦CD,CD,
JJJ，即
|ED||EC||EDT
2
2
Xo
，所以E若存在必为（
3
30
下证（」°,0）满足题意.
3
设过点E（30,0）的直线方程为
3
解得Xo
1
5
30
v，0）
|.5Xo|2
定值为6.
ty
~T，代入C中得:
|1
（t2
设A（x,yJ,
b（x2,y2），则
y1
y2
230t
2,
3（t5）
y1y2
|EAf|EB|（1t）%（1t）y2
（1
y2
1
5Xo|2
5）y2
3（『
5
）
5）
„22
1y1y2
222
（1t）yy2
2
1（%『2）2yy
22
（1t）阳）
^/3ot1（贾
（1t2）—
同理可得E（
综上得定点为
25
）2厂
5）3（t5）6
52
（2）
3（t5）
二0,0）也满足题意.
3
E（皀,0），定值为-eA|2
3IEAI
1
|EB|
【点睛】本题主要考查了轨迹方程的问题，直线与椭圆的综合问题，考查存在性问题，先猜后证是关键，属于中档题.
2
21.已知函数fxlnxaxa2x,aR.
（i）讨论fx的单调性；
2
（n）当a0时，若关于x的不等式fxb恒成立，求实数b的取值范围.
a
【答案】（i）当a0时，fx在0,上是单调增函数，当a0时，fx在
1^1
0,上单调递增，在，上单调递减；
aa
（n）2,
【解析】（i）求出原函数的导函数，可得当a0时，f'x0,fx在0,上
是单调增函数；当a0时，求出导函数的零点，把定义域分段，由导函数在各区间段
的符号确定原函数的单调区间;
（n）由（i）可得，当a
0时,
求出函数的最大值
1，把不等式fx
a
-b恒成立，转化为b1
a
In
1-在a0时恒
aa
成立，换元后利用导数求最值得答案.
【详解】
（i）f
lnx
2
ax
2ax
2ax2a2x1
（x0）.
0时,
fx在0,上是单调增函数;
0时,
2a
当x
0,
1时,
1
f'x0,当x-,
时，
f'x0,
a
a
f
x在
0,丄
1
上单调递增，在，
上单调递减.
a
a
综上，
当a
0时，
fx在0,上是单调增函数，
当a
0时,
fx
1
在0,上单调递增，在
1
J
上单调递减;
a
a
（n）
由（I
）可得,
当a0
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