空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案.docx

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空间向量在立体几何中的应用夹角的计算习题详细答案

【巩固练习】

一、选择题

1.设平面两个向量的坐标分别为（1，2，1），（-1，1，2），则下列向量中是平面的法向量的是（）

A.（-1，-2，5）B.（-1，1，-1）C.（1，1，1）D.（1，-1，-1）

2.如图，是正方体，，则与所成角的余弦值是（）

A．B．

C．D．

3.如图，是直三棱柱，，点分别是的中点，若，则与所成角的余弦值是（）

A．B．

C．D．

4.若向量与的夹角的余弦值为，则（）

A．B．C．或D．2或

5.在三棱锥中，，，点分别是的中点，⊥底面，则直线与平面所成角的正弦值（）

A．B．

C．D．

6.（2015秋校级期末）在正四棱锥S—ABCD中，O为顶点在底面的投影，P为侧棱SD的中点，且SO=OD，则直线BC与平面PAC的夹角是（）

A．30°B．45°C．60°D．75°

7.在三棱锥中，，，点分别是的中点，⊥底面，则直线与平面所成角的正弦值是（）

A．B．C．D．

二、填空题

8．若平面的一个法向量为，直线的一个方向向量为，则与所成角的余弦值为_．

9．正方体中，分别为的中点，则异面直线与所成角的大小是______.

10.已知三棱锥中，底面为边长等于2的等边三角形，垂直于底面，=3，那么直线与平面所成角的正弦值为.

11.如图，正方形所在平面与平面四边形所在平面互相垂直，△是等腰直角三角形，，则平面和平面的夹角余弦值是_______.

三、解答题

12.如图，点在正方体的对角线上，∠.

（Ⅰ）求与所成角的大小；

（Ⅱ）求与平面所成角的大小.

13.如图，四棱锥的底面是菱形，其对角线，，，都与平面垂直，，，求平面与平面的夹角大小.

14.如图

（1），在Rt△中，∠＝90°，＝3，＝6，分别是，上的点，且∥，，将△沿折起到△的位置，使，如图

（2）．

（1）求证：

⊥平面；

（2）若是的中点，求与平面所成角的大小；

（3）线段上是否存在点，使平面与平面垂直？

说明理由．

15．（2016理）如图，在三棱台ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB＝90°，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，AC＝3．

（Ⅰ）求证：

EF⊥平面ACFD；

（Ⅱ）求二面角B-AD-F的平面角的余弦值.

【答案与解析】

1.【答案】B

【解析】排除法.

平面的法向量与平面任意直线的方向向量垂直，即它们的数量积为零.

排除A，C，D，选项为B.

2.【答案】A

【解析】设正方体的棱长为1，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系，则

．

所以，，

，

，，

．

所以，

因此，与所成的角的余弦值是．

3.【答案】A

【解析】如图所示，以为原点建立的空间直角坐标系，

则

由中点公式可知，，

，

.

4.【答案】C

【解析】由可得，，即，

即或.

5.【答案】D

【解析】

6.【答案】A

【解析】如图，以O为坐标原点，以OA为x轴，OB为y轴，以OS为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz。

设OD=SO=OA=OB=OC=a，

则A（a，0，0），B（0，a，0），C（－a，0，0），，

则，

设平面PAC的一个法向量为，

则，

∴，可取，

∴，

∴，

∴直线BC与平面PAC的夹角为90°－60°=30°

故选A。

7.【答案】D

【解析】

8.【答案】

【解析】由，知与所成角的余弦值为.

9.【答案】

【解析】以A为原点建立直角坐标系（如图所示），设B（2，0，0），

则E（1，0，0），F（2，2，1），C1（2，2，2），A1（0，0，2），

∴，，

∴，

∴.

10.【答案】

【解析】本题考查了立体几何的线与面、面与面位置关系及直线与平面所成角.

过A作AE垂直于BC交BC于E，连结SE，过A作AF垂直于SE交SE于F，连BF，∵正三角形ABC，∴E为BC中点，∵BC⊥AE，SA⊥BC，∴BC⊥面SAE，

∴BC⊥AF，AF⊥SE，∴AF⊥面SBC，

∵∠ABF为直线AB与面SBC所成角，由正三角形边长3，

∴，AS=3，∴SE=，AF=，

∴.

11.【答案】

【解析】

因为△ABE为等腰直角三角形，AB=AE，

所以AE⊥AB.

又因为平面ABEF⊥平面ABCD，AE平面ABEF，

平面ABEF∩平面ABCD=AB，

所以AE⊥平面ABCD.

所以AE⊥AD.

因此，AD，AB，AE两两垂直，以A为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系A-xyz.

设AB=1，则B（0，1，0），D（1，0，0），E（0，0，1），C（1，1，0）.

因为FA=FE，∠AEF=45°，所以∠AFE=90°.

从而，.

所以，

设平面BDF的一个法向量为，并设=（x，y，z）.

，

，由得

取y=1，则x=1，z=3.从而.

由AE⊥平面ABCD可知，平面ABD的一个法向量为，

设平面和平面的夹角为，则

.

12.【解析】如图，以点为原点建立空间直角坐标系，设为单位长，则

=，=.

连结，，在平面BB1D1D，延长DP，交于点H，

设=（m>0），

由条件知<，>=60°.

由·=||||cos<，>，

可得2m=.

解得m=.所以=.

（Ⅰ）因为cos<，>=，

所以<，>=，即与所成的角的大小是45°.

（Ⅱ）因为平面的一个法向量是，

又cos<，>=，

所以<，>=.即与平面所成角的大小为60°.

注意：

由于点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线D1B上且∠PDA=60°，直接设点P的坐标则会出现多个变量，因为所求的两问都是求与DP相关的角度问题，因此根据点P的位置特征只确定DP所在的直线的位置即可，因此出现上面解法.显然尽管求解过程是用向量的坐标方法，但空间想象与思辨论证的要求并没有降低，体现了对学生全面的几何方法的考查.

13.【解析】如图，以为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系.

设平面的法向量为，

则由得

令，得.

同理，可求得平面的法向量.

因为，所以平面与平面垂直.

所以平面与平面的夹角.

14.【解析】

15.【解析】

（Ⅰ）延长AD，BE，CF相交于一点K，如图所示．

因为平面BCFE⊥平面ABC，且AC⊥BC，所以BF⊥AC．

又因为EF∥BC，BE＝EF＝FC＝1，BC＝2，

所以△BCK为等边三角形，且F为CK的中点，则BF⊥CK．

所以BF⊥平面ACFD．

（Ⅱ）方法一：

过点F作FQ⊥AK，连结BQ．

因为BF⊥平面ACK，所以BF⊥AK，则AK⊥平面BQF，所以BQ⊥AK．

所以，∠BQF是二面角B-AD-F的平面角．

在Rt△ACK中，AC＝3，CK＝2，得．

在Rt△BQF中，，得．

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为．

方法二：

如图，延长AD，BE，CF相交于一点K，则△BCK为等边三角形．

取BC的中点O，则KO⊥BC，又平面BCFE⊥平面ABC，所以，KO⊥平面ABC．

以点O为原点，分别以射线OB，OK的方向为x，z的正方向，建立空间直角坐标系Oxyz．

由题意得

，

．

因此，．

设平面ACK的法向量为，平面ABK的法向量为，

由，得，取；

由，得，取．

于是，．

所以，二面角B-AD-F的平面角的余弦值为．