第7讲 微积分发展史.docx

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第7讲微积分发展史

第7讲微积分发展史

微积分是近代自然科学和工程技术中广泛应用的一种基本数学工具，它创立于17世纪后半叶的西欧，是适应当时社会生产发展和理论科学的需要而产生的，同时又深刻地影响着生产技术和自然科学的发展。

微积分堪称是人类智慧最伟大的成就之一。

一、微积分产生的背景

微分和积分的思想早在古代就已经产生了。

公元前3世纪，古希腊数学家、力学家阿基米德的著作《圆的测量》和《论球与圆柱》中就已含有微积分的萌芽，他在研究解决抛物线下的弓形面积、球和球冠面积、螺线下的面积和旋转双曲面的体积等问题中就隐含着近代积分的思想。

极限理论作为微积分的基础，也早在我国的古代就有非常详尽的论述，但当时人们习惯于研究常量和有限的对象，遇到无穷时往往束手无策。

生产力和科学技术的不断发展，为微积分的诞生创造了条件。

1492年哥伦布发现了新大陆，由此证实了大地是球形；1543年，哥白尼发表的《天体运行论》确立了“日心说”；开普勒在1609年提出了有关行星绕日运动的第一、第二定律，1618年他又提出了第三定律；1609年，伽利略用自制的望远镜观察了月亮、金星、木星等星球，把人们的视野引向遥远的地方。

这些科学家拓展了人们对世界的认识，引起了人类思想上的巨变。

16世纪，西欧出现资本主义的萌芽，产生了新的生产关系，社会生产力有了很大的发展。

从17世纪开始，随着社会的进步和生产力的发展，在航海、天文、矿山建设、军事技术等方面有许多课题需要解决，数学也开始进入了“变量数学”时代。

通过这些向数学提出了如下4个问题：

（1）由距离和时间的关系求瞬时速度和瞬时加速度；反之，由速度求距离，由加速度求速度。

（2）确定物体运动方向（切线方向）或光学中曲线的切线问题。

（3）求最大、最小值问题。

（4）一般的求积（面积、体积）问题，曲线长问题，以及物体的质量、重心等问题。

在17世纪30年代创立的解析几何学里，可以用字母表示流动坐标，用代数方程刻画一般平面曲线，用代数演算代替对几何量的逻辑推导，从而把对几何图形性质的研究转化为对解析式的研究，使数与形紧密地结合起来。

这种新的数学方法取代了古老的欧几里得几何的综合方法，这种数学发展中的质变，为17世纪下半叶微积分的出现准备了条件。

1615年，开普勒在他的《测量酒桶体积的新科学》中采用微元的方法研究了面积、体积等问题，例如，他认为面积就是无穷多条线段之和，而线段可以看作无穷小的面积，用无穷多个同维的无穷小元素之和来确定曲边形的面积和曲面体的体积是开普勒方法的精华。

伽利略的学生卡瓦列里的最大贡献是提出了“不可分原理”。

1635年，卡瓦列里出版的《用新的方法推进连续体的不可分量的几何学》中认为，面积是无数个等距平行线段构成的，体积是无数个平行的平面构成的，他分别把这些元素叫做面积和体积的不可分量，这种思想基本上就是微积分的思想了。

他运用“不可分原理”算出了一些面积和体积的结果，得到了等价于的结果。

“不可分原理”的著名命题是“卡瓦列里原理”，在我国称作“祖暅原理”。

1638年，费马首次引用字母表示“无限小量”，并运用它来解决极值问题，之后，他又提出了一个与现代求导过程实质相同的求切线方法，并由此解决了一些与切线有关的问题和极值问题。

后来，格列哥利、华利斯继续费马的工作，用符号“o”表示无限小量，并用它来进行求切线的运算。

牛顿的老师巴罗是剑桥大学的数学教授，他的《几何讲义》对微积分的创立是一个巨大贡献。

他的几何方法的特点是利用微分三角形来构造切线，即以自变量增量与函数增量为直角边构造直角三角形，该三角形中包含了微积分的精华，它的两个直角边的商可决定变化率，即导数。

巴罗甚至还指出了求切线和求体积的互逆性，但他不喜欢代数方法，认为自己的结果是对古典几何的完善化，从而失去了创立微积分的机会。

1669年，巴罗将教授席位让给牛顿，并对牛顿的微积分创立工作施以很大的影响。

二、微积分的创立

1．牛顿的工作

牛顿的微积分研究大体可以分为三个阶段：

第一阶段的工作以《运用无穷多项的分析学》（1669年）为标志。

其方法举例说明如下：

设有一条曲线，它下面的（曲边梯形）面积可表为（为有理数）。

当横坐标获得瞬（无限小增量）时，产生的面积瞬为（面积增量）。

新面积为

由二项展开式（以牛顿命名）得：

两端消去相等的部分（）并除以得：

略去含的项得：

这就是曲边梯形的曲边表达式。

这个结果表明，若面积由给出，则曲边梯形的曲边为；反之，若曲线由，则曲边梯形的面积为。

这不仅给出了求（瞬时）变化率的方法，而且还揭示了求积与求变化率之间的互逆关系。

第二阶段的工作主要体现在1671年成书，1736年出版的《流数法和无穷级数》一书中。

书中牛顿把随时间而变的量称为流量，用字母、、等表示，而把流量的变化速度（流量对时间的变化率）称为流数，记为、、等。

前一阶段出现的“瞬”仍保留，它表示一个无限小时间间隔，仍记为。

该书主要解决下面两个问题：

（1）已知流量之间的关系（即）求它们的流数比：

（实际上，即求对的变化率）。

（2）已知一含流数的方程，求流量之间的关系（简单情况即求原函数－积分问题，一般情况为微分方程问题，它们是

（1）的逆问题）。

牛顿指出，流数法（即微积分）“不仅可以用来求作任何曲线的切线，而且可以用来解决曲度（曲率）、面积、曲线长、重心等深奥问题。

”这个认识把握住了微积分的普遍意义，是前人不可能企及的。

第三阶段的工作，可以从1676年写成1704年发表的论文《曲线求积术》中看到。

在该文中，牛顿为了排除前一阶段人为地“略去含有的项”而使用了“最初比”和“最后比”的提法。

以为例。

设由“流动”而变成，于是

将：

称为最初比，令消失得称为最后比。

这个“最后比”是在（逐渐）消失后得到的，因此牛顿已有极限概念模糊的影子。

尽管如此，牛顿对“）消失后得到的，因此牛顿已有极限概念模糊的影子。

尽管如此，牛顿对“”（即无穷小）的处理始终处于一种似是而非的直觉中，正如马克思所说的是“魔术般”地丢掉，是武力“镇压”。

（见马克思《数学手稿》）。

2．莱布尼兹的工作

戈特弗里德·莱布尼兹（公元1646－1716年）是德国十七、十八世纪之交的大哲学家、数学家。

1646年6月21日生于莱比锡。

从小就显露出“神童”般才华。

15岁进入莱比锡大学学法学，毕业时成绩很好，但莱比锡大学以他过于年轻为借口，拒绝授予他法学博士学位。

因此他转到了纽伦堡的阿尔特多夫大学,1667年在这里获得博士学位，年仅二十一岁。

随后他到美因兹选帝侯的政府中任职。

1672年他作为外交官出使巴黎，遇到了惠更斯。

第二年去伦敦结识了奥尔登伯格和其他一些数学家。

在巴黎居住的四年时间，是他数学创造的“黄金时代”。

在这段时间，他已构想出他的微积分方法的大致轮廓。

1676年返回德国后，在汉诺威的布龙斯威克公爵那里任职。

1700年他创办了柏林科学院并出任第一任院长。

1716年11月14日逝世于汉诺威城。

莱布尼兹的主要职业是法律和外交，但他的历史性的贡献则是数学和哲学。

在哲学上，他是客观唯心主义的代表人物。

他的单子论是他的哲学基础。

在数学上，他除了独立地创立微积分而外，还开创了符号逻辑的研究，制造过计算机。

莱布尼兹在《微分学的历史和起源》（1714年）这篇短文中，指出他的微积分思想起源于他早期关于数列之和或差的研究。

1673年他写的《论组合的艺术》中，研究了数列及其一阶差、二阶差、三阶差等。

例如：

数列：

　　0，1,2，3,4，……

一阶差　　1,1,1，1，……

二阶差　　0,0，0,……

又如：

数的平方序列：

　0,1，4,9，16，……

一阶差：

　　　　1,3，5,7，……

二阶差：

　　　　2,2,2，……

三阶差：

　　　　0,0，……

莱布尼兹将离散量的研究推广到与几何曲线相联系的连续变量的研究，数列变成变量，一阶差变成一阶微分，高阶差变为高阶微分。

这个思想是非常微妙和深刻的，因为差值和微分在极限过程中是等价的。

不仅如此，莱布尼兹还从差与和的关系，发现了微分与积分的关系。

例如，在平方序列中，一阶差前3个的和1＋3＋5＝9，前n个的和连续化，则有，则有（最初莱布尼兹用表示积分，而未用）

莱布尼兹在研究切线斜率时也利用微分三角形。

他说：

“微分三角形的各边是不可分量或微分量”。

如果是任意的，可由

确定。

从微分三角形出发，又得出

微分是莱布尼兹微积分的基点，积分是作为反微分（微分和）来研究的。

莱布尼兹在数学上的微分和他在哲学上的单子是相适应的。

他认为“单子乃是自然的真正原子，简言之，是事物的元素。

”“单子必须有一些性质，否则它就不会是存在物了。

单纯的实体之间没有性质上的差别，就无法觉察事物中的任何变化，……。

”“单子如果没有性质，也就不能彼此区别。

”微分就是数学上的单子，各种微分是有内容、有区别的。

这种单子式论的微积分，在现代产生的非标准分析中已得到逻辑论证。

莱布尼兹的数学符号是相当优越的，他的微积分符号、、等，抓住了他的微积分本质，使符号和概念融为一体，直到今天还被我们使用着。

利用他深邃的概念和优越的符号，莱布尼兹最早得出微分的和、差、积、商、幂、根等公式。

除微积分而外，数学上的很多术语也是由莱布尼兹引进的。

例如：

函数、坐标、代数曲线、超越曲线，等等。

三、优先权之争

微积分的创立是数学发展史上的重大事件，恩格斯曾经高度评价了这一成就，他说：

“在一切理论成就中，未必再有什么像17世纪下半叶微积分的发明那样被看做人类精神的最高胜利了。

”正因为如此，在18世纪的欧洲，曾有一场关于建立微积分优先权问题的争论。

“优先权”之争是由局外人搬弄是非引发的。

1699年一位瑞士数学家N.F.德丢勒在一本小册子中提出“牛顿是微积分的第一发明人”，莱布尼兹则是“第二发明人”，“曾从牛顿那里有所借鉴”，尤其后面这句话，使得德国人十分不满.1712年，英国皇家学会还专门成立一个“调查委员会”，并于第二年公布了一份《通报》，宣布“确认牛顿为第一发明人。

”这种事态引起了莱布尼兹的申诉，双方争论越演越烈，指责对方的话说得十分难听。

这实在是“科学史上最不幸的一页”，使得18世纪英国数学家与欧洲大陆数学家分道扬镳，英国数学坚持牛顿原始创新的那种传统不肯改进，远离了数学分析逐渐完善的主流，分析数学的主流与中心移到了德国与法国，不必要的“优先权”之争使英国数学受到了损失。

关于微积分发明的优先权之争使牛顿和莱布尼兹两位微积分的领袖人物光彩受损，其实应该说是各自在差不多相同的时间内的独立创造，不宜非得分出个我先你后。

在人类科学的历史上，一些重大的发现往往是历史条件成熟时由不同国度不同的人物相互独立得出的。

就微积分而言，牛顿在1687年以前并未公开发表任何有关微积分的文章，而莱布尼兹则于1684年和1686年分别先于牛顿发表了关于微分与积分的两篇重要文章，可见文章的发表莱布尼兹先于牛顿，但牛顿对微积分的发现确实领先于莱布尼兹，而且莱布尼兹对牛顿有很高的评价。

1701年在柏林王宫的宴会上，当普鲁士王问莱布尼兹如何评价牛顿时，莱布尼兹答：

“综观有史以来的全部数学，牛顿做了一多半的工作。

”牛顿对莱布尼兹也有公正的评价，牛顿在《原理》的前言中称：

“十年前，我在给学问渊博的数学家莱布尼兹的信中曾指出：

我发现了一种新方法，可以用来求极大值、极小值、作切线以及解决其他类似的问题，而且这种方法也适用于无理数。

这位名人回信说他也发现了类似的方法，并把他的方法给我看了。

他的方法与我的大同小异，除了用语、符号、算式和量的产生方式外，没有实质性区别。

可见牛顿也承认莱布尼兹与他同时发现了微积分。

尽管牛顿在1665年到1687年间，已经取得了微积分的重要成就，特别是他的《分析学》一文曾经在他的老师巴罗和朋友之间流传，但是在1687年以前，他没有发表任何与此有关的文章和著作。

莱布尼兹1673年曾出使伦敦，在那里他结交了一批数学家，并获得巴罗的《几何讲义》，也了解牛顿的《分析学》，于是英国人认