教学设计《交集与并集》北师大.docx
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教学设计《交集与并集》北师大
《交集与并集》
本节的内容是交集、并集、的概念及交、并的运算,要从自然语言、符号语言、图形语言三个方面去理解交、并的含义,是在学习集合关系的基础上自然引出的知识,是集合知识里面的核心内容,是考查的重点,同时也是与其他内容很容易交汇出题的知识点,经常作为载体出现。
【知识与能力目标】
1、理解并集、交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集。
2、能使用形象工具表达集合的关系及运算,体会直观图示对理解抽象概念的作用。
【过程与方法目标】
1、体验通过实例分析和阅读自学探究集合间的关系与运算的过程,培养学生的自学、阅读能力和自主探究能力。
2、能使用数轴与Venn图表达集合的关系及运算,直观图示对理解抽象概念的作用。
【情感态度价值观目标】
通过使用符号表示、集合表示、图形表示集合间的关系与运算,让学生感受集合语言在描述客观现实和数学问题中的意义,学习用数学的思维方式去认识世界、解决问题的能力,同时培养学生的语言转换能力。
【教学重点】
并集、交集的概念,利用Venn图与数轴进行交、并的运算。
【教学难点】
弄清并集、交集的概念;符号之间的区别与联系。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
一、导入部分
复习提问:
1、集合的表示方法。
2、集合的基本关系。
新知导引:
每组同学写出自己的5个爱好,以组为单位整理报表。
设计意图:
温习已学知识,为新知作好铺垫。
二、研探新知,建构概念
1、交集、并集的概念及表示
(1)集合A与集合B的交集
(2)集合A与集合B的并集
2、交集与并集的运算性质
交集
并集
A∩B=B∩A
A∩A=A
A∩∅=∅
(A∩B)⊆A
(A∩B)⊆B
A∪B=B∪A
A∪A=A
A∪∅=A
A⊆(A∪B)
B⊆(A∪B)
设计意图:
训练学生对数学语言的运用。
三、质疑答辩,发展思维
类型一 集合交、并的简单运算
[例1]
(1)若集合P={x|x2=1},集合M={x|x2-2x-3=0},则P∩M=________,P∪M=________;
(2)已知集合M={x|-35},则M∪N=________,M∩N=________;
(3)已知集合M={y|y=x2-4x+3,x∈Z},集合N={y|y=-x2-2x,x∈Z},求M∩N。
【解析】
(1)P={x|x2=1}={-1,1},M={x|x2-2x-3=0}={-1,3},所以P∩M={-1},P∪M={-1,1,3}。
(2)借助数轴可知:
M∪N={x|x>-5},M∩N={x|-3(3)∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1,x∈Z,
∴M={-1,0,3,8,15,…}.
又∵y=-x2-2x=-(x+1)2+1,x∈Z,
∴N={0,-3,-8,-15,…},
∴M∩N={0}。
方法归纳:
此类题目首先应看清集合中元素的范围,简化集合,若是用列举法表示的数集,可以根据交集、并集的定义直接观察或用Venn图表示出集合运算的结果;若是用描述法表示的数集,可借助数轴分析写出结果,此时要注意当端点不在集合中时,应用“空心点”表示。
类型二 已知集合的并集、交集求参数
[例2]
(1)设集合A={a2,a+1,-3},B={a-3,2a-1,a2+1},A∩B={-3},求实数a;
(2)若集合A={1,3,x},B={1,x2},A∪B={1,3,x},求满足条件的实数x。
【解析】
(1)∵A∩B={-3},
∴-3∈B.
易知a2+1≠-3,
∴①若a-3=-3,则a=0,
此时A={0,1,-3},B={-3,-1,1},
则A∩B={1,-3},这与已知矛盾。
②若2a-1=-3,则a=-1,
此时A={1,0,-3},B={-4,-3,2},A∩B={-3},
综上可知,a=-1。
(2)∵A∪B={1,3,x},A={1,3,x},B={1,x2},
∴A∪B=A,即B⊆A,∴x2=3,或x2=x。
当x2=3时,得x=±
。
若x=
,则A={1,3,
},B={1,3},符合题意。
若x=-
,则A={1,3,-
},B={1,3},符合题意。
当x2=x时,得x=0,或x=1.
若x=0,则A={1,3,0},B={1,0},符合题意;
若x=1,则A={1,3,1},B={1,1},不符合集合中元素的互异性,舍去。
综上知,x=±
,或x=0。
方法归纳:
对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值的问题,一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系,再列方程(组)求解.另外,在处理有关含参数的集合问题时,要注意对求得的结果进行检验,以避免违背集合中元素的有关特性,尤其是互异性。
类型三 交集、并集性质的运用
[例3] 已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3},若A∩B=B,
求实数a的取值范围。
【思路点拨】 利用A∩B=B得B⊆A,然后就B是否为空集讨论,列出关于a的不等式(组)求解即可。
【解析】 ①当B=∅时,只需2a>a+3,即a>3;
②当B≠∅时,根据题意作出如图所示的数轴,
可得
或
解得a<-4或2综上可得,实数a的取值范围为a<-4或a>2。
方法归纳:
(1)在利用集合的交集、并集性质解题时,常常会遇到A∩B=A,A∪B=B等这类问题,解答时常借助于交、并集的定义及上节学习的集合间的关系去分析,如A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B等,解答时应灵活处理。
(2)当集合B⊆A时,如果集合A是一个确定的集合,而集合B不确定,运算时要考虑B=∅的情况,均不可漏掉。
四、自我尝试
1、判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)A∪B的元素个数等于集合A中元素的个数与集合B中元素个数的和.( × )
(2)并集定义中的“或”能改为“和”.(×)
(3)A∩B是由属于A且属于B的所有元素组成的集合.(√ )
(4)若A∩B=A∩C,则必有B=C.(×)
2、已知集合P={x|x<3},Q={x|-1≤x≤4},那么P∪Q=( )。
A.{x|-1≤x<3} B.{x|-1≤x≤4}
C.{x|x≤4}D.{x|x≥-1}
【解析】 在数轴上表示两个集合,如图.
易知P∪Q={x|x≤4}.
【答案】 C
3、已知集合M={0,1,2},N={x|x=2a-1,a∈N*},则M∩N=( )。
A.{0}B.{1,2}
C.{1}D.{2}
【解析】 因为N={1,3,5,…},M={0,1,2},所以M∩N={1}
【答案】 C
4、设A={x|-3≤x≤3},B={y|y=-x2+t}.若A∩B=∅,则实数t的取值范围是( )。
A.t<-3B.t≤-3
C.t>3D.t≥3
【解析】 B={y|y≤t},结合数轴可知t<-3.
【答案】 A
设计意图:
让学生在探究中得到结论,加深对知识的应用和理解。
五、课堂小结:
1.集合的并、交运算的方法
(1)对于元素个数有限的集合,可直接根据集合的“交”“并”定义求解,但要注意集合元素的互异性。
(2)对于元素个数无限的集合,进行交、并运算时,可借助数轴,利用数轴分析法求解,但要注意端点值取到与否。
2.在解决集合运算问题时,要注意A∩B=A⇔A⊆B,A∪B=B⇔A⊆B的应用,当集合A⊆B时,若集合A不能确定时,运算时要考虑A=∅的情况,否则极易漏解。
(六)、作业布置:
1、设集合A={x|x2-4x+3<0},B={x|2x-3>0},则A∩B=( )。
A.
B.
C.
D.
【解析】 ∵x2-4x+3<0,∴1∵2x-3>0,∴x>
,∴B=
。
∴A∩B={x|1=
。
故选D。
【答案】 D
2、设集合A={1,2},则满足A∪B={1,2,3}的集合B的个数是( )。
A.1B.3
C.4D.8
【解析】 因为A={1,2},A∪B={1,2,3}。
所以B={3}或{1,3}或{2,3}或{1,2,3},
故选C.
【答案】 C
3、若集合A,B,C满足A∩B=A,B∪C=C,则A与C之间的关系是________。
【解析】 因为A∩B=A,所以A⊆B.
因为B∪C=C,所以B⊆C,所以A⊆C.
【答案】 A⊆C
略。
略。