江苏省高考数学真题含答案.docx
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江苏省高考数学真题含答案
2010年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷数学全解全析
数学Ⅰ试题
注意事项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。
本卷满分
160分，考试时间为120分钟。
考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4.请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。
作答必须用0.5
毫米黑色墨水的签字笔。
请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：
锥体的体积公式:
V
锥体=
1
3
Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。
一、填空题：
本大题共14小题，每小题5分，共70分。
请把答案填写在答题．卡．相．应．的．位．．
置．上．.
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a
2+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
2、设复数z满足z（2-3i）=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球，两只球颜色不同
的概率是_▲__.
4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长度是棉花质
量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率
分布直方图如图所示，则其抽样的100根中，有_▲___
根在棉花纤维的长度小于20mm。
5、设函数f（x）=x（ex+ae-x）（xR）是偶函数，则实数a=_______▲_________
2y
2
x
6、在平面直角坐标系xOy中，双曲线1
上一点M，点M的横坐标是3，则M到412
双曲线右焦点的距离是___▲_______
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______
8、函数y=x2（x>0）的图像在点（ak,ak2）处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，
则a1+a3+a5=____▲_____
2y2
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆x4上有且仅有四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
10、定义在区间
0,上的函数y=6cosx的图像与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作
2
PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y=sinx的图像交于点P2,则线段P1P2的长为_______▲_____。
11、已知函数
f（x）
21,0
xx
1,x0
2
f（1x）f（2x）的x的范围是__▲___。
则满足不等式
12、设实数x,y满足3≤
2
xy≤8，4≤
2
x
y
≤9，则
3
4
x
y
的最大值是▲。
ba
13、在锐角三角形ABC，A、B、C的对边分别为a、b、c，6cos
ab
C
，则
tanCtanC
tanAtanB
=____▲_____。
14、将边长为1m正三角形薄片，沿一条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2
（梯形的周长）
S
则S的最小值是____▲____。
梯形的面积
二、解答题：
本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A（－1,－2）、B（2,3）、C（－2,－1）。
（1）求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
（2）设实数t满足（ABtOC）·OC=0，求t的值。
16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD=DC=BC=1，AB=2，AB∥DC，∠BCD=900。
（1）求证：
PC⊥BC；
（2）求点A到平面PBC的距离。
17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H（单位：
m），如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，
仰角∠ABE=，∠ADE=。
（1）该小组已经测得一组、的值，tan=1.24，tan=1.20，请据此算出H的值；
（2）该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：
m），使与之差较大，可以提高测量精确度。
若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多少时，-最大？
18、（本小题满分16分）
2y2x
在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆1
的左、右顶点为A、B，右焦点为95
F。
设过点T（t,m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1,y1）、N（x2,y2），其中
m>0,y10,y20。
2PB
2
（1）设动点P满足PF4,求点P的轨迹；
（2）设
1
x12,x2，求点T的坐标；
3
（3）设t9,求证：
直线MN必过x轴上的一定点（其坐
标与m无关）。
19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，已知2a2a1a3，数列Sn是公差为d
的等差数列。
（1）求数列
a的通项公式（用n,d表示）；
n
（2）设c为实数，对满足mn3k且mn的任意正整数m,n,k，不等式SmSncSk
都成立。
求证：
c的最大值为
9
2
。
20、（本小题满分16分）
设f（x）是定义在区间（1,）上的函数，其导函数为f'（x）。
如果存在实数a和函数
2ax
h（x），其中h（x）对任意的x（1,）都有h（x）>0，使得f'（x）h（x）（x1），则称
函数f（x）具有性质P（a）。
（1）设函数f（x）
b2
lnx（x1）
x1
，其中b为实数。
（i）求证：
函数f（x）具有性质P（b）；（ii）求函数f（x）的单调区间。
（2）已知函数g（x）具有性质P
（2）。
给定x1,x2（1,）,x1x2,设m为实数，
mx1（1m）x，（1m）x1mx2，且1,1，
2
若|g（）g（）|<|g（）（）|，求m的取值范围。
x1gx
2
数学Ⅱ（附加题）
7.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请．选．定．其．中．两．题．，并．在．相．应．的．答．题．区．域．内．作．答．。
若多做，则按作答的前两题评分。
解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A．选修4-1：
几何证明选讲
D
（本小题满分10分）
CAB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交
AB
O
AB延长线于点C，若DA=DC，求证：
AB=2BC。
B．选修4-2：
矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A（0,0），B（-2,0），C（-2,1）。
设k为非零实数，矩阵
M=
k
0
0
1
N=
0
1
1
0
，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1，
△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
C．选修4-4：
坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0相切，求实数a的值。
D．选修4-5：
不等式选讲
（本小题满分10分）
设a、b是非负实数，求证：
33（22）
ababab。
[必做题]第22题、第23题，每题10分，共计20分。
请在答．题．卡．指．定．区．域．内作答，解答时
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等
品率为90%，二等品率为10%。
生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二
等品则亏损1万元；生产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2
万元。
设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：
万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
23、（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；
（2）求证：
对任意正整数n，cosnA是有理数。
2010年答案
填空题
1、[解析]考查集合的运算推理。
3B,a+2=3,a=1
2、[解析]考查复数运算、模的性质。
z（2-3i）=2（3+2i）,2-3i与3+2i的模相等，z的模为
2。
3、[解析]考查古典概型知识。
31
p
62
4、[解析]考查频率分布直方图的知识。
100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、[解析]考查函数的奇偶性的知识。
g（x）=e
x+ae-x为奇函数，由g（0）=0，得a=－1。
6、[解析]考查双曲线的定义。
MF
d
e
4
2
2
，d为点M到右准线x1的距离，d=2，
MF=4。
7、[解析]考查流程图理解。
24
122L23133,输出
25
S122L263。
8、[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
在点（ak,ak2）处的切线方程为：
22（）,
yaaxa当y0时，解得
kkk
a
k
x，
2
所以
a
k
a1,a1a3a5164121。
k
2
9、[解析]考查圆与直线的位置关系。
圆半径为2，
|c|
13
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
1，c的取值范围是（-13，13）。
10、[解析]考查三角函数的图象、数形结合思想。
线段P1P2的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=
2
3
。
线段P1P2的长为
2
3
11、[解析]考查分段函数的单调性。
2
1x2x
2
1x0
x（1,21）
12、[解析]考查不等式的基本性质，等价转化思想。
2
x
2
（）[16,81]
y
111
，2
[,]
xy83
，
32
xx1
2
（）[2,27]
42
yyxy
，
3
x
4
y
的最大值是27。
13、[解析]考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。
一题
多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b时满足题意，此时有：
12C1cosC1
cosC，tan
321cosC2
，tan
C
2
22
，
1
tanAtanB2
C
tan
2
，
tanCtanC
tanAtanB
=4。
（方法二）
ba
ab
22
6cosC6abcosCab
，
2222
abc22223c
6abab,ab
2ab2
2
tanCtanCsinCcosBsinAsinBcosAsinCsin（AB）1sinC
tanAtanBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB
由正弦定理，得：
上式=
222
1ccc
2
113
cosCab（ab）c
22
662
4
14、[解析]考查函数中的建模应用，等价转化思想。
一题多解。
设剪成的小正三角形的边长为x，则：
22
（3x）4（3x）
S（0x1）
2
1331x
（x1）（1x）
22
（方法一）利用导数求函数最小值。
S（x）
2
4（3x）
3
1
2
x
，
S（x）
22
4（2x6）（1x）（3x）（2x）
3
22
（1x）
22
4（2x6）（1x）（3x）（2x）42（3x1）（x3）
2222
3（1x）3（1x）
1
S（x）0,0x1,x，
3
当
1
x（0,]时，S（x）0,递减；当
3
1
x[,1）时，S（x）0,递增；
3
故当
1
x时，S的最小值是
3
323
3
。
（方法二）利用函数的方法求最小值。
令
111
3xt,t（2,3）,（,）
t32
，则：
S
2
4t41
2
86
3t6t831
2
tt
故当
131
x
时，S的最小值是
t83
323
3
。
一、解答题
15、[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。
满分
14分。
uuuruuur
（1）（方法一）由题设知AB（3,5）,AC（1,1）
，则
uuuruuuruuuruuur
ABAC（2,6）,ABAC（4,4）.
uuuruuuruuuruuur
所以|ABAC|210,|ABAC|42.
故所求的两条对角线的长分别为42、210。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=42、AD=210；
uuur
（2）由题设知：
OC
uuuruuur
=（－2,－1），ABtOC（32t,5t）
。
由（ABtOC）·OC=0，得：
（32t,5t）（2,1）0，
从而5t11,所以
11
t。
5
或者：
uuuruuuruuur
ABOCtOC
·
2
uuur
，AB（3,5）,
t
uuuruuur
ABOC
uuur
2
|OC|
11
5
16、[解析]本小题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考
查空间想象能力、推理论证能力和运算能力。
满分14分。
（1）证明：
因为PD⊥平面ABCD，BC平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=900，得CD⊥BC，
又PDIDC=D，PD、DC平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由
（1）知：
BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=
2
2
，故点A到平面PBC的距离等于2。
（方法二）体积法：
连结AC。
设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=900，所以∠ABC=900。
从而AB=2，BC=1，得ABC的面积1
S。
ABC
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P-ABC的体积
11
VSPD。
ABC
33
因为PD⊥平面ABCD，DC平面ABCD，所以PD⊥DC。
又PD=DC=1，所以
222
PCPDDC。
由PC⊥BC，BC=1，得PBC的面积2
S。
PBC
2
由VAPBCVPABC，
11
SVhV，得h2，
PBC
33
故点A到平面PBC的距离等于2。
17、[解析]本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
HH
（1）tan
AD
ADtan
，同理：
H
AB，
tan
h
BD。
tan
AD—AB=DB，故得
HHh
tantantan
，解得：
htan41.24
H124。
tantan1.241.20
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
HHhHh
（2）由题设知dAB，得tan,tan
dADDBd
HHh
，
tan（）
tantanhdh
dd
HHhdHHhHHh
2（）
1tantan1（）
d
ddd
H（Hh）
d2H（Hh）
d
，
故当d555时，tan（）最大。
因为0
，则0，所以当d555时，-最大。
22
故所求的d是555m。
18、[解析]本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。
考
查运算求解能力和探究问题的能力。
满分16分。
（1）设点P（x，y），则：
F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
2PB2
由PF4，得
2222
（x2）y[（x3）y]4,化简得
9
x。
2
故所求点P的轨迹为直线
9
x。
2
（2）将
15
x12,x2分别代入椭圆方程，以及y10,y20得：
M（2，
33
）、N（
1
3
，
20
9
）
直线MTA方程为：
y0x3
523
0
3
，即
1
yx1，
3
直线NTB方程为：
03
yx
201
03
93
，即
55
yx。
62
x7
联立方程组，解得：
y
10
3
，
所以点T的坐标为
10
（7,）
3
。
（3）点T的坐标为（9,m）
直线MTA方程为：
y0x3
m093
m
，即y（x3），
12
直线NTB方程为：
y0x3
m093
m
，即y（x3）。
6
2y
2
x
分别与椭圆1
95
联立方程组，同时考虑到
x13,x23，
解得：
M
2
3（80m）40m
（,）
22
80m80m
、
N
2
3（m20）20m
（,）
22
20m20m
。
（方法一）当
xx时，直线MN方程为：
12
2
20m3（m20）
yx
22
20m20m
40203（802）3（220）
mmmm
2222
80m20m80m20m
令y0，解得：
x1。
此时必过点D（1，0）；
当
xx时，直线MN方程为：
x1，与x轴交点为D（1，0）。
12
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
（方法二）若
xx，则由
12
22
2403m3m60
22
80m20m
及m0，得m210，
此时直线MN的方程为x1，过点D（1，0）。
40m
若x1x2，则m210，直线MD的斜率
20m
k
MD
2
10m
80m
22
2403m40m
1
2
80m
，
直线ND的斜率
k
ND
210m
20m
22
3m6040m
1
2
20m
，得
kk，所以直线MN过D点。
MDND
因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。
19、[解析]本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查探索、
分析及论证的能力。
满分16分。
（1）由题意知：
d0，
SS1（n1）da1（n1）d
n
2aaa3aS3（SS）S，
21323213
222
3[（ad）a]（a2d）,
111
化简，得：
22
a12a1dd0,a1d,a1d
22
Sd（n1）dnd,Snd，
nn
当n2时，
22222
aSS1nd（n1）d（2n1）d，适合n1情形。
nnn
故所求
a（2n1）d
n
2
（2）（方法一）
222222222
SScSmdndckdmnck，
mnk
c
22
mn
2
k
恒成立。
又mn3k且mn，
2222
2（mn）（mn）9k
22
mn
2
k
9
2
，
故
9
c，即c的最大值为
2
9
2
。
（方法二）由a1d及Sna1（n1）d，得d0，
22
Snd。
n
于是，对满足题设的m,n,k，mn，有
2
222（mn）29229
SS（mn）dddkS。
mnk
222
所以c的最大值
9
c。
max
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