2021年全国高考乙卷数学试卷-(含解析).doc
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2021年高考数学试卷-理科
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设，则（）
A. B. C. D.
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
3.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）
A. B. C. D.
4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A. B. C. D.
5.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）
A. B. C. D.
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）
A. B.
C. D.
8.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）
A. B. C. D.
9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）
A.表高 B.表高
C.表距 D.表距
10.设，若为函数的极大值点，则（）
A. B. C. D.
11.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
12.设，，．则（）
A. B. C. D.
二、填空题：
本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知双曲线的一条渐近线为，则C的焦距为_________．
14.已知向量，若，则__________．
15.记内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，，，则________．
16.以图①为正视图，在图②③④⑤中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_________（写出符合要求的一组答案即可）．
三、解答题：
共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．
（一）必考题：
共60分．
17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：
旧设备
9.8
10.3
10.0
10.2
9.9
9.8
10.0
10.1
102
9.7
新设备
10.1
10.4
10.1
10.0
10.1
10.3
10.6
10.5
10.4
10.5
旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和．
（1）求，，，；
（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）．
18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，，为的中点，且．
（1）求；
（2）求二面角的正弦值．
19.记为数列的前n项和，为数列的前n项积，已知．
（1）证明：
数列是等差数列;
（2）求通项公式．
20.设函数，已知是函数的极值点．
（1）求a；
（2）设函数．证明:
．
21.已知抛物线焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．
（1）求；
（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．
（二）选考题，共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．
[选修4-4：
坐标系与参数方程]（10分）
22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为1．
（1）写出的一个参数方程;
（2）过点作的两条切线．以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程．
[选修4-5：
不等式选讲]（10分）
23.已知函数．
（1）当时，求不等式的解集;
（2）若，求a取值范围．
2021年高考数学试卷（理）
一、选择题：
本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.设，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，利用共轭复数的定义以及复数的加减法可得出关于、的等式，解出这两个未知数的值，即可得出复数.
【详解】设，则，则，
所以，，解得，因此，.
故选：
C.
2.已知集合，，则（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】分析可得，由此可得出结论.
【详解】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：
C.
3.已知命题﹔命题﹐，则下列命题中为真命题的是（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由正弦函数的有界性确定命题的真假性，由指数函数的知识确定命题的真假性，由此确定正确选项.
【详解】由于，所以命题为真命题；
由于在上为增函数，，所以，所以命题为真命题；
所以为真命题，、、为假命题.
故选：
A．
4.设函数，则下列函数中为奇函数的是（）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.
【详解】由题意可得，
对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；
对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；
对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
故选：
B
【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念理解，是一道容易题.
5.在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：
D
6.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）
A.60种 B.120种 C.240种 D.480种
【答案】C
【解析】
【分析】先确定有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，然后利用组合，排列，乘法原理求得.
【详解】根据题意，有一个项目中分配2名志愿者，其余各项目中分配1名志愿者，可以先从5名志愿者中任选2人，组成一个小组，有种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个项目看成四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有4！
种，根据乘法原理，完成这件事，共有种不同的分配方案，
故选：
C.
【点睛】本题考查排列组合的应用问题，属基础题，关键是首先确定人数的分配情况，然后利用先选后排思想求解.
7.把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】解法一：
从函数的图象出发，按照已知的变换顺序，逐次变换，得到，即得，再利用换元思想求得的解析表达式；
解法二：
从函数出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到的解析表达式.
【详解】解法一：
函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：
由已知的函数逆向变换，
第一步：
向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：
图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：
B.
8.在区间与中各随机取1个数，则两数之和大于的概率为（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，分别求出对应的区域面积，根据几何概型的的概率公式即可解出．
【详解】如图所示：
设从区间中随机取出的数分别为，则实验的所有结果构成区域为，其面积为．
设事件表示两数之和大于，则构成的区域为，即图中的阴影部分，其面积为，所以．
故选：
B.
【点睛】本题主要考查利用线性规划解决几何概型中的面积问题，解题关键是准确求出事件对应的区域面积，即可顺利解出．
9.魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测海岛的高．如图，点，，在水平线上，和是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高度，称为“表高”，称为“表距”，和都称为“表目距”，与的差称为“表目距的差”则海岛的高（）
A.表高 B.表高
C.表距 D.表距
【答案】A
【解析】
【分析】利用平面相似的有关知识以及合分比性质即可解出．
【详解】如图所示：
由平面相似可知，，而，所以
，而，
即＝．
故选：
A.
【点睛】本题解题关键是通过相似建立比例式，围绕所求目标进行转化即可解出．
10.设，若为函数的极大值点，则（）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先考虑函数的零点情况，注意零点左右附近函数值是否编号，结合极大值点的性质，对进行分类讨论，画出图象，即可得到所满足的关系，由此确定正确选项.
【详解】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.
有和两个不同零点，且在左右附近是不变号，在左右附近是变号的.依题意，为函数的极大值点，在左右附近都是小于零的.
当时，由，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
当时，由时，，画出的图象如下图所示：
由图可知，，故.
综上所述，成立.
故选：
D
【点睛】本小题主要考查三次函数的图象与性质，利用数形结合的数学思想方法可以快速解答.
11.设是椭圆的上顶点，若上的任意一点都满足，则的离心率的取值范围是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设，由，根据两点间的距离公式表示出，分类讨论求出的最大值，再构建齐次不等式，解出即可．
【详解】设，由，因为，，所以
，
因为，当，即时，，即，符合题意，由可得，即；
当，即时，，即，化简得，，显然该不等式不成立．
故选：
C．
【点睛】本题解题关键是如何求出的最大值，利用二次函数求指定区间上的最值，要根据定义域讨论函数的单调性从而确定最值．
12.设，，．则（）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用对数的运算和对数函数的单调性不难对a,b的大小作出判定，对于a与c，b与c的大小关系，将0.01换成x,分别构造函数,，利用导数分析其在0的右侧包括0.01的较小范围内的单调性，结合f（0）=0,g（0）=0即可得出a与c，b与c的大小关系.
详解】,
所以;
下面比较与的大小关系.
记,则,，
由于
所以当0所以在上单调递增，
所以,即,即;
令,则,,
由于，在x>0时,,
所以,即函数在[0,+∞）上单调递减，所以,即,
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