∴CE与D1F必相交,设交点为P,
则由P∈CE,CE⊂平面ABCD,得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1=DA,
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点.
题型二 空间两直线的位置关系
例2
如图所示,正方体ABCD—A1B1C1D1中,M、N分别是A1B1、B1C1的中点.问:
(1)AM和CN是否是异面直线?
说明理由;
(2)D1B和CC1是否是异面直线?
说明理由.
思维启迪:
第
(1)问,连结MN,AC,证MN∥AC,即AM与CN共面;第
(2)问可采用反
证法.
解
(1)不是异面直线.理由如下:
连结MN、A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点,
∴MN∥A1C1.
又∵A1A綊C1C,
∴A1ACC1为平行四边形,
∴A1C1∥AC,∴MN∥AC,
∴A、M、N、C在同一平面内,故AM和CN不是异面直线.
(2)是异面直线.证明如下:
∵ABCD—A1B1C1D1是正方体,
∴B、C、C1、D1不共面.
假设D1B与CC1不是异面直线,
则存在平面α,使D1B⊂平面α,CC1⊂平面α,
∴D1、B、C、C1∈α,与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾.
∴假设不成立,即D1B与CC1是异面直线.
探究提高
(1)证明直线异面通常用反证法;
(2)证明直线相交,通常用平面的基本性质,平面图形的性质等.
已知空间四边形ABCD中,E、H分别是边AB、AD的中点,F、G分别是边BC、CD的中点.
(1)求证:
BC与AD是异面直线;
(2)求证:
EG与FH相交.
证明
(1)假设BC与AD共面,不妨设它们所共平面为α,则B、C、A、D∈α.
∴四边形ABCD为平面图形,这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾.
∴BC与AD是异面直线.
(2)如图,连结AC,BD,
则EF∥AC,HG∥AC,
因此EF∥HG;同理EH∥FG,
则EFGH为平行四边形.
又EG、FH是▱EFGH的对角线,
∴EG与FH相交.
题型三 异面直线所成的角
例3
正方体ABCD—A1B1C1D1中,
(1)求AC与A1D所成角的大小;
(2)若E、F分别为AB、AD的中点,求A1C1与EF所成角的大小.
思维启迪:
(1)平移A1D到B1C,找出AC与A1D所成的角,再计算.
(2)可证A1C1与EF
垂直.
解
(1)如图所示,连结B1C,由ABCD—A1B1C1D1是正方体,
易知A1D∥B1C,从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角.
∵AB1=AC=B1C,
∴∠B1CA=60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
(2)如图所示,连结AC、BD,在正方体ABCD—A1B1C1D1中,
AC⊥BD,AC∥A1C1,
∵E、F分别为AB、AD的中点,
∴EF∥BD,
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”,平移的方法一般有三种类型:
利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
直三棱柱ABC-A1B1C1中,若∠BAC=90°,AB=AC=AA1,则异面直线BA1与AC1所成的角等于________.
答案 60°
解析 如图,可补成一个正方体,
∴AC1∥BD1.
∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形,
∴∠A1BD1=60°.
即BA1与AC1成60°的角.
点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
典例:
(5分)l1,l2,l3是空间三条不同的直线,则下列命题正确的是________.(填序号)
①l1⊥l2,l2⊥l3⇒l1∥l3;
②l1⊥l2,l2∥l3⇒l1⊥l3;
③l1∥l2∥l3⇒l1,l2,l3共面;
④l1,l2,l3共点⇒l1,l2,l3共面.
易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑,这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多,特别是当直线和平面的个数较多时,各种位置关系错综复杂、相互交织,如果考虑不全面就会导致一些错误的判断.
答案 ②
解析 当l1⊥l2,l2⊥l3时,l1与l3也可能相交或异面,故①不正确;当l1∥l2∥l3时,l1,l2,l3未必共面,如三棱柱的三
条侧棱,故③不正确;l1,l2,l3共点时,l1,l2,l3未必共面,如正方体中从同一顶点出发的三条棱,故④不正确.
温馨提醒
(1)平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立,如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立,所以在用一些平面几何中的定理和结论时,必须说明涉及的元素都在某个平面内.
(2)解决点、线、面位置关系问题的基本思路:
一是逐个判断,利用空间线面关系证明正确的结论,寻找反例否定错误的结论;二是结合长方体模型或实际空间位置(如课桌、教室)作出判断,但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致.
构造衬托平面研究直线相交问题
典例:
(5分)在正方体ABCD—A1B1C1D1中,E,F分别为棱AA1,CC1的中点,则在空间中与三条直线A1D1,EF,CD都相交的直线有________条.
审题视角 找三条异面直线都相交的直线,可以转化成在一个平面内,作与三条直线都相交的直线.因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面.进而研究公共交线问题.
解析 方法一
在EF上任意取一点M,直线A1D1与M确定一
个平面,这个平面与CD有且仅有1个交点N,当M取不同的
位置时就确定不同的平面,从而与CD有不同的交点N,而直
线MN与这3条异面直线都有交点.如图所示.
方法二 在A1D1上任取一点P,过点P与直线EF作一个平面α,因CD与平面α不平行,所以它们相交,设它们交于点Q,连结PQ,则PQ与EF必然相交,即PQ为所求直线.由点P的任意性,知有无数条直线与三条直线A1D1,EF,CD都相交.
答案 无数
温馨提醒
(1)本题难度不大,但比较灵活.对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查,难度一般都不会太大.
(2)误区警示:
本题解法较多,但关键在于构造平面,但不少学生不会构造平面,因此失分较多.这说明学生还是缺少空间想象能力,缺少对空间直线位置关系的理解.
方法与技巧
1.主要题型的解题方法
(1)要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面,再证其余直线或点也在这个平面内(即“纳入法”).
(2)要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线,只要证明这些点都是这两个平面的公共点,根据公理2可知这些点在交线上,因此共线.
2.判定空间两条直线是异面直线的方法
(1)判定定理:
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.
(2)反证法:
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面,从而可得两线异面.
3.求两条异面直线所成角的大小,一般方法是通过平行移动直线,把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知,异面直线所成角的大小与顶点位置无关,往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.
失误与防范
1.全面考虑点、线、面位置关系的情形,可以借助常见几何模型.
2.异面直线所成的角范围是(0°,90°].
A组 专项基础训练
(时间:
35分钟,满分:
62分)
一、填空题(每小题5分,共35分)
1.若空间中有两条直线,则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的______________条件.
答案 充分不必要
解析 若两条直线无公共点,则两条直线可能异面,也可能平行.若两条直线是异面直线,则两条直线必无公共点.
2.下列命题正确的个数为________.
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点,则这两个平面重合.
答案 2
解析 经过不共线的三点可以确定一个平面,∴①不正确;
两条平行线可以确定一个平面,∴②正确;
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面,∴③正确;
命题④中没有说清三个点是否共线,∴④不正确.
3.设P表示一个点,a、b表示两条直线,α、β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确的命题是________.(填序号)
①P∈a,P∈α⇒a⊂α
②a∩b=P,b⊂β⇒a⊂β
③a∥b,a⊂α,P∈b,P∈α⇒b⊂α
④α∩β=b,P∈α,P∈β⇒P∈b
答案 ③④
解析 当a∩α=P时,P∈a,P∈α,但a⊄α,∴①错;a∩β=P时,②错;
如图,∵a∥b,P∈b,∴P∉a,
∴由直线a与点P确定唯一平面α,
又a∥b,由a与b确定唯一平面β,但β经过直线a与点P,
∴β与α重合,∴b⊂α,故③正确;
两个平面的公共点必在其交线上,故④正确.
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中,过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为________.
答案 2
解析 有2条:
A1B和A1C1.
5.平面α、β相交,在α、β内各取两点,这四点都不在交线上,这四点能确定________个平面.
答案 1或4
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行,则确定一个平面;否则确定四个平面.
6.下列命题中不正确的是________.(填序号)
①没有公共点的两条直线是异面直线;
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面;
③一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条直线不可能平行;
④一条直线和两条异面直线都相交,则它们可以确定两个平面.
答案 ①②
解析 没有公共点的两直线平行或异面,故①错;命题②错,此时两直线有可能相交;命题③正确,因为若直线a和b异面,c∥a,则c与b不可能平行,用反证法证明如下:
若c∥b,又c∥a,则a∥b,这与a,b异面矛盾,故cD∥\b;命题④也正确,若c与两异面直线a,b都相交,由公理3可知,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面,这样,a,b,c共确定两个平面.
7.(2011·大纲全国)已知正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为C1D1的中点,则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______.
答案
解析 取A1B1的中点F,连结EF,AF.
∵在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
EF∥B1C1,B1C1∥BC,
∴EF∥BC,∴∠AEF即为异面直线
AE与BC所成的角.
设正方体的棱长为a,
则AF=
=
a,EF=a.
∵EF⊥平面ABB1A1,∴EF⊥AF,
∴AE=
=
a.
∴cos∠AEF=
=
=
.
二、解答题(共27分)
8.(13分)如图所示,四边形ABEF和ABCD都是直角梯形,∠BAD=∠FAB=90°,BC綊
AD,BE綊
FA,G、H分别为FA、FD的中点.
(1)证明:
四边形BCHG是平行四边形;
(2)C、D、F、E四点是否共面?
为什么?
(1)证明 由已知FG=GA,FH=HD,
可得GH綊
AD.又BC綊
AD,∴GH綊BC,
∴四边形BCHG为平行四边形.
(2)解 方法一 由BE綊
AF,G为FA的中点知,
BE綊FG,∴四边形BEFG为平行四边形,∴EF∥BG.
由
(1)知BG綊CH,∴EF∥CH,∴EF与CH共面.
又D∈FH,∴C、D、F、E四点共面.
方法二 如图所示,延长FE,DC分别与AB交于点M,M′,
∵BE綊
AF,∴B为MA的中点.
∵BC綊
AD,
∴B为M′A的中点,
∴M与M′重合,即FE与DC交于点M(M′),
∴C、D、F、E四点共面.
9.(14分)如图,在四棱锥O—ABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,OA⊥底面ABCD,OA=2,M为OA的中点.
(1)求四棱锥O—ABCD的体积;
(2)求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小.
解
(1)由已知可求得,正方形ABCD的面积S=4,
所以,四棱锥O—ABCD的体积V=
×4×2=
.
(2)连结AC,设线段AC的中点为E,连结ME,DE,
则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角(或其补角),
由已知,可得DE=
,EM=
,
MD=
,
∵(
)2+(
)2=(
)2,
∴△DEM为直角三角形,
∴tan∠EMD=
=
=
.
B组 专项能力提升
(时间:
35分钟,满分:
58分)
一、填空题(每小题5分,共30分)
1.如图,α∩β=l,A、B∈α,C∈β,且C∉l,直线AB∩l=M,过A,B,C三点的平面记作γ,则γ与β的交线必通过点________.
答案 C、M
解析 ∵AB⊂γ,M∈AB,∴M∈γ.
又α∩β=l,M∈l,∴M∈β.
根据公理2可知,M在γ与β的交线上.
同理可知,点C也在γ与β的交线上.
2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图,在原正方体中,给出下列三个命题:
①点M到AB的距离为
;
②三棱锥C—DNE的体积是
;
③AB与EF所成的角是
.
其中正确命题的序号是__________.
答案 ①②③
解析 依题意可作出正方体的直观图,显然M到AB的距离为
MC=
,
∴①正确,而VC—DNE=
×
×1×1×1=
,∴②正确,
AB与EF所成角为AB与MC所成的角,即为
.
3.以下四个命题中
①不共面的四点中,其中任意三点不共线;
②若点A、B、C、D共面,点A、B、C、E共面,则点A、B、C、D、E共面;
③若直线a、b共面,直线a、c共面,则直线b、c共面;
④依次首尾相接的四条线段必共面.
正确命题的个数是________.
答案 1
解析 ①假设其中有三点共线,则该直线和直线外的另一点确定一个平面.这与四点不共面矛盾,故其中任意三点不共线,所以①正确.②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C,但是若A、B、C共线,则结论不正确;③不正确;④不正确,因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上,如空间四边形.
4.在图中,G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________.(填上所有正确答案的序号)
答案 ②④
解析 图①中,直线GH∥MN;
图②中,G、H、N三点共面,但M∉面GHN,
因此直线GH与MN异面;
图③中,连结MG,GM∥HN,因此GH与MN共面;
图④中,G、M、N共面,但H∉面GMN,
因此GH与MN异面.
所以图②、④中GH与MN异面.
5.如图是正四面体的平面展开图,G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点,在这个正四面体中,
①GH与EF平行;
②BD与MN为异面直线;
③GH与MN成60°角;
④DE与MN垂直.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
答案 ②③④
解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线,BD与MN为异面直线,GH与MN成60°角,DE⊥MN.
6.(2012·四川)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M、N分别是棱CD、CC1的中点,则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________.
答案 90°
解析 如图,取CN的中点K,连结MK,则MK为△CDN的中位线,所以MK∥DN.
所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角.
连结A1C1,AM.设正方体棱长为4,
则A1K=
=
,
MK=
DN=
=
,
A1M=
=6,
∴A1M2+MK2=A1K2,∴∠A1MK=90°.
二、解答题(共28分)
7.(14分)A是△BCD平面外的一点,E,F分别是BC,AD的中点.
(1)求证:
直线EF与BD是异面直线;
(2)若AC⊥BD,AC=BD,求EF与BD所成的角.
(1)证明 假设EF与BD不是异面直线,则EF与BD共面,从而DF与BE共面,即AD与BC共面,所以A、B、C、D在同一平面内,这与A是△BCD平面外的一点相矛盾.
故直线EF与BD是异面直线.
(2)解 如图,取CD的中点G,连结EG、FG,则EG∥BD,所以
相交直线EF与EG所成的角,即为异面直线EF与BD所成的角.
在Rt△EGF中,由EG=FG=
AC,求得∠FEG=45°,即异面直
线EF与BD所成的角为45°.
8.(14分)如图,三棱锥P—ABC中,PA⊥平面ABC,∠BAC=60°,PA
=AB=AC=2,E是PC的中点.
(1)求异面直线AE和PB所成的角的余弦值;
(2)求三棱锥A—EBC的体积.
解
(1)取BC的中点F,连结EF,AF,则EF∥PB,
所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角.
∵∠BAC=60°,PA=AB=AC=2,
PA⊥平面ABC,
∴AF=
,AE=
,EF=
,
cos∠AEF=
=
.
即异面直线AE和PB所成的角的余弦值为
.
(2)因为E是PC中点,所以E到平面ABC的距离为
PA=1,VA—EBC=VE—ABC=
×
×4×1=
.