∴CE与D1F必相交，设交点为P，
则由P∈CE，CE⊂平面ABCD，得P∈平面ABCD.
同理P∈平面ADD1A1.
又平面ABCD∩平面ADD1A1＝DA，
∴P∈直线DA.∴CE、D1F、DA三线共点．
题型二 空间两直线的位置关系
例2
如图所示，正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是A1B1、B1C1的中点．问：
（1）AM和CN是否是异面直线？
说明理由；
（2）D1B和CC1是否是异面直线？
说明理由．
思维启迪：
第
（1）问，连结MN，AC，证MN∥AC，即AM与CN共面；第
（2）问可采用反
证法．
解
（1）不是异面直线．理由如下：
连结MN、A1C1、AC.
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点，
∴MN∥A1C1.
又∵A1A綊C1C，
∴A1ACC1为平行四边形，
∴A1C1∥AC，∴MN∥AC，
∴A、M、N、C在同一平面内，故AM和CN不是异面直线．
（2）是异面直线．证明如下：
∵ABCD—A1B1C1D1是正方体，
∴B、C、C1、D1不共面．
假设D1B与CC1不是异面直线，
则存在平面α，使D1B⊂平面α，CC1⊂平面α，
∴D1、B、C、C1∈α，与ABCD—A1B1C1D1是正方体矛盾．
∴假设不成立，即D1B与CC1是异面直线．
探究提高
（1）证明直线异面通常用反证法；
（2）证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等．
已知空间四边形ABCD中，E、H分别是边AB、AD的中点，F、G分别是边BC、CD的中点．
（1）求证：
BC与AD是异面直线；
（2）求证：
EG与FH相交．
证明
（1）假设BC与AD共面，不妨设它们所共平面为α，则B、C、A、D∈α.
∴四边形ABCD为平面图形，这与四边形ABCD为空间四边形相矛盾．
∴BC与AD是异面直线．
（2）如图，连结AC，BD，
则EF∥AC，HG∥AC，
因此EF∥HG；同理EH∥FG，
则EFGH为平行四边形．
又EG、FH是▱EFGH的对角线，
∴EG与FH相交．
题型三 异面直线所成的角
例3
正方体ABCD—A1B1C1D1中，
（1）求AC与A1D所成角的大小；
（2）若E、F分别为AB、AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．
思维启迪：
（1）平移A1D到B1C，找出AC与A1D所成的角，再计算．
（2）可证A1C1与EF
垂直．
解
（1）如图所示，连结B1C，由ABCD—A1B1C1D1是正方体，
易知A1D∥B1C，从而B1C与AC所成的角就是AC与A1D所成的角．
∵AB1＝AC＝B1C，
∴∠B1CA＝60°.
即A1D与AC所成的角为60°.
（2）如图所示，连结AC、BD，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，
AC⊥BD，AC∥A1C1，
∵E、F分别为AB、AD的中点，
∴EF∥BD，
∴EF⊥AC.
∴EF⊥A1C1.
即A1C1与EF所成的角为90°.
探究提高 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：
利用图中已有的平行线平移；利用特殊点（线段的端点或中点）作平行线平移；补形平移．计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.
直三棱柱ABC－A1B1C1中，若∠BAC＝90°，AB＝AC＝AA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于________．
答案 60°
解析 如图，可补成一个正方体，
∴AC1∥BD1.
∴BA1与AC1所成角的大小为∠A1BD1.
又易知△A1BD1为正三角形，
∴∠A1BD1＝60°.
即BA1与AC1成60°的角．
点、直线、平面位置关系考虑不全面致误
典例：
（5分）l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．（填序号）
①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3；
②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3；
③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面；
④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面．
易错分析 由于空间点、直线、平面的位置关系是在空间考虑，这与在平面上考虑点、线的位置关系相比复杂了很多，特别是当直线和平面的个数较多时，各种位置关系错综复杂、相互交织，如果考虑不全面就会导致一些错误的判断．
答案 ②
解析 当l1⊥l2，l2⊥l3时，l1与l3也可能相交或异面，故①不正确；当l1∥l2∥l3时，l1，l2，l3未必共面，如三棱柱的三
条侧棱，故③不正确；l1，l2，l3共点时，l1，l2，l3未必共面，如正方体中从同一顶点出发的三条棱，故④不正确．
温馨提醒
（1）平面几何中的一些定理和结论在空间中不一定成立，如“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”在空间中不成立，所以在用一些平面几何中的定理和结论时，必须说明涉及的元素都在某个平面内．
（2）解决点、线、面位置关系问题的基本思路：
一是逐个判断，利用空间线面关系证明正确的结论，寻找反例否定错误的结论；二是结合长方体模型或实际空间位置（如课桌、教室）作出判断，但要注意定理应用要准确、考虑问题要全面细致．
构造衬托平面研究直线相交问题
典例：
（5分）在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．
审题视角 找三条异面直线都相交的直线，可以转化成在一个平面内，作与三条直线都相交的直线．因而可考虑过一条直线及另外一条直线上的一点作平面．进而研究公共交线问题．
解析 方法一
在EF上任意取一点M，直线A1D1与M确定一
个平面，这个平面与CD有且仅有1个交点N，当M取不同的
位置时就确定不同的平面，从而与CD有不同的交点N，而直
线MN与这3条异面直线都有交点．如图所示．
方法二 在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因CD与平面α不平行，所以它们相交，设它们交于点Q，连结PQ，则PQ与EF必然相交，即PQ为所求直线．由点P的任意性，知有无数条直线与三条直线A1D1，EF，CD都相交．
答案 无数
温馨提醒
（1）本题难度不大，但比较灵活．对平面的基本性质、空间两条直线的位置关系的考查，难度一般都不会太大．
（2）误区警示：
本题解法较多，但关键在于构造平面，但不少学生不会构造平面，因此失分较多．这说明学生还是缺少空间想象能力，缺少对空间直线位置关系的理解．
方法与技巧
1．主要题型的解题方法
（1）要证明“线共面”或“点共面”可先由部分直线或点确定一个平面，再证其余直线或点也在这个平面内（即“纳入法”）．
（2）要证明“点共线”可将线看作两个平面的交线，只要证明这些点都是这两个平面的公共点，根据公理2可知这些点在交线上，因此共线．
2．判定空间两条直线是异面直线的方法
（1）判定定理：
平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线．
（2）反证法：
证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．
3．求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决．根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上（线面的端点或中点）利用三角形求解．
失误与防范
1．全面考虑点、线、面位置关系的情形，可以借助常见几何模型．
2．异面直线所成的角范围是（0°，90°]．
A组 专项基础训练
（时间：
35分钟，满分：
62分）
一、填空题（每小题5分，共35分）
1．若空间中有两条直线，则“这两条直线为异面直线”是“这两条直线没有公共点”的______________条件．
答案 充分不必要
解析 若两条直线无公共点，则两条直线可能异面，也可能平行．若两条直线是异面直线，则两条直线必无公共点．
2．下列命题正确的个数为________．
①经过三点确定一个平面
②梯形可以确定一个平面
③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面
④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．
答案 2
解析 经过不共线的三点可以确定一个平面，∴①不正确；
两条平行线可以确定一个平面，∴②正确；
两两相交的三条直线可以确定一个或三个平面，∴③正确；
命题④中没有说清三个点是否共线，∴④不正确．
3．设P表示一个点，a、b表示两条直线，α、β表示两个平面，给出下列四个命题，其中正确的命题是________．（填序号）
①P∈a，P∈α⇒a⊂α
②a∩b＝P，b⊂β⇒a⊂β
③a∥b，a⊂α，P∈b，P∈α⇒b⊂α
④α∩β＝b，P∈α，P∈β⇒P∈b
答案 ③④
解析 当a∩α＝P时，P∈a，P∈α，但a⊄α，∴①错；a∩β＝P时，②错；
如图，∵a∥b，P∈b，∴P∉a，
∴由直线a与点P确定唯一平面α，
又a∥b，由a与b确定唯一平面β，但β经过直线a与点P，
∴β与α重合，∴b⊂α，故③正确；
两个平面的公共点必在其交线上，故④正确．
4.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，过顶点A1与正方体其他顶点的连线与直线BC1成60°角的条数为________．
答案 2
解析 有2条：
A1B和A1C1.
5．平面α、β相交，在α、β内各取两点，这四点都不在交线上，这四点能确定________个平面．
答案 1或4
解析 若过四点中任意两点的连线与另外两点的连线相交或平行，则确定一个平面；否则确定四个平面．
6．下列命题中不正确的是________．（填序号）
①没有公共点的两条直线是异面直线；
②分别和两条异面直线都相交的两直线异面；
③一条直线和两条异面直线中的一条平行，则它和另一条直线不可能平行；
④一条直线和两条异面直线都相交，则它们可以确定两个平面．
答案 ①②
解析 没有公共点的两直线平行或异面，故①错；命题②错，此时两直线有可能相交；命题③正确，因为若直线a和b异面，c∥a，则c与b不可能平行，用反证法证明如下：
若c∥b，又c∥a，则a∥b，这与a，b异面矛盾，故cD∥\b；命题④也正确，若c与两异面直线a，b都相交，由公理3可知，a，c可确定一个平面，b，c也可确定一个平面，这样，a，b，c共确定两个平面．
7．（2011·大纲全国）已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为C1D1的中点，则异面直线AE与BC所成角的余弦值为______．
答案
解析 取A1B1的中点F，连结EF，AF.
∵在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
EF∥B1C1，B1C1∥BC，
∴EF∥BC，∴∠AEF即为异面直线
AE与BC所成的角．
设正方体的棱长为a，
则AF＝
＝
a，EF＝a.
∵EF⊥平面ABB1A1，∴EF⊥AF，
∴AE＝
＝
a.
∴cos∠AEF＝
＝
＝
.
二、解答题（共27分）
8．（13分）如图所示，四边形ABEF和ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC綊
AD，BE綊
FA，G、H分别为FA、FD的中点．
（1）证明：
四边形BCHG是平行四边形；
（2）C、D、F、E四点是否共面？
为什么？
（1）证明 由已知FG＝GA，FH＝HD，
可得GH綊
AD.又BC綊
AD，∴GH綊BC，
∴四边形BCHG为平行四边形．
（2）解 方法一 由BE綊
AF，G为FA的中点知，
BE綊FG，∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.
由
（1）知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．
又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．
方法二 如图所示，延长FE，DC分别与AB交于点M，M′，
∵BE綊
AF，∴B为MA的中点．
∵BC綊
AD，
∴B为M′A的中点，
∴M与M′重合，即FE与DC交于点M（M′），
∴C、D、F、E四点共面．
9．（14分）如图，在四棱锥O—ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA＝2，M为OA的中点．
（1）求四棱锥O—ABCD的体积；
（2）求异面直线OC与MD所成角的正切值的大小．
解
（1）由已知可求得，正方形ABCD的面积S＝4，
所以，四棱锥O—ABCD的体积V＝
×4×2＝
.
（2）连结AC，设线段AC的中点为E，连结ME，DE，
则∠EMD为异面直线OC与MD所成的角（或其补角），
由已知，可得DE＝
，EM＝
，
MD＝
，
∵（
）2＋（
）2＝（
）2，
∴△DEM为直角三角形，
∴tan∠EMD＝
＝
＝
.
B组 专项能力提升
（时间：
35分钟，满分：
58分）
一、填空题（每小题5分，共30分）
1.如图，α∩β＝l，A、B∈α，C∈β，且C∉l，直线AB∩l＝M，过A，B，C三点的平面记作γ，则γ与β的交线必通过点________．
答案 C、M
解析 ∵AB⊂γ，M∈AB，∴M∈γ.
又α∩β＝l，M∈l，∴M∈β.
根据公理2可知，M在γ与β的交线上．
同理可知，点C也在γ与β的交线上．
2.如图为棱长是1的正方体的表面展开图，在原正方体中，给出下列三个命题：
①点M到AB的距离为
；
②三棱锥C—DNE的体积是
；
③AB与EF所成的角是
.
其中正确命题的序号是__________．
答案 ①②③
解析 依题意可作出正方体的直观图，显然M到AB的距离为
MC＝
，
∴①正确，而VC—DNE＝
×
×1×1×1＝
，∴②正确，
AB与EF所成角为AB与MC所成的角，即为
.
3．以下四个命题中
①不共面的四点中，其中任意三点不共线；
②若点A、B、C、D共面，点A、B、C、E共面，则点A、B、C、D、E共面；
③若直线a、b共面，直线a、c共面，则直线b、c共面；
④依次首尾相接的四条线段必共面．
正确命题的个数是________．
答案 1
解析 ①假设其中有三点共线，则该直线和直线外的另一点确定一个平面．这与四点不共面矛盾，故其中任意三点不共线，所以①正确．②从条件看出两平面有三个公共点A、B、C，但是若A、B、C共线，则结论不正确；③不正确；④不正确，因为此时所得的四边形的四条边可以不在一个平面上，如空间四边形．
4．在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）
答案 ②④
解析 图①中，直线GH∥MN；
图②中，G、H、N三点共面，但M∉面GHN，
因此直线GH与MN异面；
图③中，连结MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；
图④中，G、M、N共面，但H∉面GMN，
因此GH与MN异面．
所以图②、④中GH与MN异面．
5.如图是正四面体的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，
①GH与EF平行；
②BD与MN为异面直线；
③GH与MN成60°角；
④DE与MN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是________．
答案 ②③④
解析 还原成正四面体知GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.
6．（2012·四川）如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是棱CD、CC1的中点，则异面直线A1M与DN所成的角的大小是________．
答案 90°
解析 如图，取CN的中点K，连结MK，则MK为△CDN的中位线，所以MK∥DN.
所以∠A1MK为异面直线A1M与DN所成的角．
连结A1C1，AM.设正方体棱长为4，
则A1K＝
＝
，
MK＝
DN＝
＝
，
A1M＝
＝6，
∴A1M2＋MK2＝A1K2，∴∠A1MK＝90°.
二、解答题（共28分）
7．（14分）A是△BCD平面外的一点，E，F分别是BC，AD的中点．
（1）求证：
直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC＝BD，求EF与BD所成的角．
（1）证明 假设EF与BD不是异面直线，则EF与BD共面，从而DF与BE共面，即AD与BC共面，所以A、B、C、D在同一平面内，这与A是△BCD平面外的一点相矛盾．
故直线EF与BD是异面直线．
（2）解 如图，取CD的中点G，连结EG、FG，则EG∥BD，所以
相交直线EF与EG所成的角，即为异面直线EF与BD所成的角．
在Rt△EGF中，由EG＝FG＝
AC，求得∠FEG＝45°，即异面直
线EF与BD所成的角为45°.
8．（14分）如图，三棱锥P—ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°，PA
＝AB＝AC＝2，E是PC的中点．
（1）求异面直线AE和PB所成的角的余弦值；
（2）求三棱锥A—EBC的体积．
解
（1）取BC的中点F，连结EF，AF，则EF∥PB，
所以∠AEF就是异面直线AE和PB所成角或其补角．
∵∠BAC＝60°，PA＝AB＝AC＝2，
PA⊥平面ABC，
∴AF＝
，AE＝
，EF＝
，
cos∠AEF＝
＝
.
即异面直线AE和PB所成的角的余弦值为
.
（2）因为E是PC中点，所以E到平面ABC的距离为
PA＝1，VA—EBC＝VE—ABC＝
×
×4×1＝
.
升级会员 