平行四边形的性质与判定的综合应用.docx

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平行四边形的性质与判定的综合应用

平行四边形的性质和判定定理的

综合应用

一、目标导航：

理解平行四边形的概念，掌握平行四边形的性质和判定定理及其综合应用．

二、要点梳理：

平行四边形的定义以及平行四边形的性质定理和判定定理的内容；

三、学生知识状况分析

学生的知识技能基础：

学生在前面的学习中已经掌握了全等三角形的性质和判定，在本章前几节课中，又对平行四边形的判定、性质做了进一步学习，通过一定题量的练习，学生已经对有关内容得以掌握。

在本章后面几节课中，又学习了三角形中位线的定义和性质，并探索了连接四边形各边中点所成的四边形的形状等结论，学生在初一时已经掌握了三角形内角和定理，本章学生也掌握了多边形的内角和、外角和公式，对如何探究内角和、外角和的问题有了一定的认识。

学生的能力基础：

在相关知识的学习过程中，学生对推理证明的基本要求、基本步骤和基本方法已经掌握，已经能利用平行四边形的判定和性质解决特殊四边形的有关命题，并且也能利用有关知识对探究型题目加以分析和证明。

学生活动经验基础：

在相关知识的学习过程中，已经经历了“探索——发现——猜想——证明”的过程，体会了合情推理与演绎推理在获得结论中各自发挥的作用。

掌握了简单证明的方法，解决了简单的现实问题，同时在以前的数学学习中学生已经经历很多合作学习的过程，具有一定的合作学习经验和合作与交流的能力。

四、教学任务分析

本章的定理较多，在系统掌握平行四边形的性质及判定等的基础上，学生还学习了三角形的中位线定理、多边形的内角和、外角和公式，为了让学生进一步掌握这些定理，并能熟练应用，为此，本节课的教学目标是：

（1）能够熟练掌握平行四边形的判定和性质定理，并能够应用数学符号语言表述证明过程。

（2）掌握三角形中位线的定义和性质，明确三角形中位线与中线的不同并能运用它进行有关的论证和计算。

（3）掌握多边形内角和、外角和定理，进一步了解转化的数学思想。

（4）会熟练应用所学定理进行证明。

体会证明中所运用的归类、类比、转化等数学思想，通过复习课对证明的必要性有进一步的认识。

（5）学会对证明方法的总结。

（6）通过讨论交流，进一步发展学生的合作交流意识。

五、教学过程分析

本节课设计了五个教学环节：

第一环节：

教师和学生一起回顾本章的主要内容；第二环节：

随堂练习，巩固提高；第三环节：

回顾小结，共同提升；第四环节：

分层作业，拓展延伸；第五环节：

课后反思。

一、“平行四边形性质、平行四边形的判定定理”

内容：

从边、角、对角线三个角度对平行四边形的性质、判定进行复习回顾。

边

角

对角线

平行四边形的性质

对边平行，对边相等

对角相等

对角线互相平分

平行四边形的判定

（1）两组对边平行

（2）两组对边相等（3）一组对边平行且相等

（4）两组对角相等

（5）对角线互相平分

学生用“问答”的形式带领其他学生将表格完成。

应用性质和判定完成例题：

【例题讲解】

例1如图，□ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，∠ADC＝60º，AD＝6，BE＝2，

例2

求△DEC的面积，并判断△AEG的形状．

例2如图,已知在△ABC中,D是AB的中点,E是AC上的点,且EF∥AB,DF∥BE,

求证:

AE与DF互相平分．

例3如图，E、F、G、H分别是BD、BC、

AC、AD的中点，又AB＝DC，

求证：

HF平分∠EHG．

例4．如图，过□ABCD的顶点B作高BE、BF，已知BF＝

BE，BC＝16，∠EBF＝60°，

则AE＝．

【课堂练习】

1．下列命题中真命题有（填序号）．

①相邻两个角都互补的四边形是平行四边形．②对角线相等的四边形是平行四边形．

③两组对角分别相等的四边形是平行四边形．④一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

⑤一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形．⑥对角线互相平分的四边形是平行四边形．

2．如图，在□ABCD中，AE⊥BD于E，∠EAD＝600，AE＝2，AC＋BD＝16，则△BOC的周长为．

3．在□ABCD中，AB＝6，AD＝8，∠B是锐角，将△ACD沿对角线AC折叠，点D落在△ABC所在平面内的点E处，如果AE过BC的中点O，则□ABCD的面积等于．

4．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AB

AC，

DAC＝45

，AC＝2，

则BD长为．

5．一个平行四边形的两条对角线的长度分别为5和7，则它的一条边长

的取值范围是．

6．若平行四边形ABCD的一边AB＝8cm，一条对角线AC＝6cm，那么另一条对角线BD的取值范围是____________．

【课后巩固】

1．在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点为A（2，4），B（－1，1），C（3，1），则第四个顶点D的坐标是．

2．□ABCD的周长是30，AC、BD相交于点O，△OAB的周长比△OBC的周长大3，则AB＝．

3．如图，在

ABCD中，EF∥AB，HG∥AD，EF与GH相交于点O，则该图中平行四边形的个数共有（）

A．7个B．8个

C．9个D．11个

4.如图，在

ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F是对角线AC上的两点，当E、F满足下列哪个条件时，四边形DEBF不一定是平行四边形（）

A．AE＝CFB．DE＝BF

C．∠ADE＝∠CBFD．∠AED＝∠CFB

5．如图，平行四边形ABCD的对角线交于O，AE

BD于E，CF

BD于F，则图中全等三角形共有（）

A．5对B．6对C．7对D．8

6．已知：

如图，过

ABCD的对角线的交点O作直线EF，分别交AD于E，

交AD于F，G、H分别为OD、OB的中点．

求证：

四边形EHFG为平行四边形．

7．已知：

如图，

ABCD的对角线交于点O，点E、F、P分别是

OB、OC、AD的中点，若AC＝2AB．

求证：

EP＝EF．

8．如图，在

ABCD中，∠A＝60°，E、F分别为AB、CD的中点，AB＝2AD．

求证：

BD＝

EF．

9．已知四边形ABCD，从

（1）AB∥DC；

（2）AB＝DC；（3）AD∥BC；（4）AD＝BC：

（5）∠A＝∠C；（6）∠B＝∠D中取两个条件加以组合，推出四边形ABCD是平行四边形的有哪几种情形？

请具体写出这些组合．

【作业】

1．《作业本》第32课

2．《作业本》单元测评《平行四边形

【例题讲解】

例1答案四边形ABCD是平行四边形，

∴∠B=∠D=60°，AB=CD，AD=BC．

∵AE⊥BC，

∴在Rt△ABE中，BE=2，AB=4，AE=

，

∴CD=AB=4，

∵AD=6，∴DF=3，

∵AF⊥DC，∠D=60°

∴在Rt△ADC中，AD=6

∴EC=BC-BE=AD-BE=6-2=4．

S△DEC=

EC×AE=

×4×

=

．

△AEG的是等边三角形

例2答案解：

（1）DF与AE互相平分

（2）∵EF∥AB，DF∥BE

∴四边形BDFE是平行四边形

∴BD=EF

∵D是AB的中点

∴AD=BD，

∴EF=AD

∵EF∥AB

∴∠ADO=∠EFO，∠DAO=∠FEO

∴△ADO≌△EFO

∴OD=OF，OA=OE

即AE与DF互相平分．

例3答案解：

∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，

∴FG∥AB，HE∥AB，FH∥CD，GE∥DC，

∴GE∥FH，GF∥EH（平行于同一条直线的两直线平行）；

∴四边形ABCD是平行四边形，

∵四边形ABCD中，点E、F、G、H分别是BC、AD、BD、AC的中点，

∴GF=

AB，GE=

CD，

∵AB=CD，

∴AB=GE，

∴四边形EHFG是菱形．HF平分∠EHG

例4答案

【课堂练习】

1.答案①③④⑥

2.答案解：

∵ABCD是平行四边形，

∴AD=2AE，BO=OD，AO=OC，

又∵AC+BD=16，

∴BO+OC=8，

∴△BOC的周长为8+4=12．

3.答案解：

设AE与BC交于O点，O点是BC的中点，

△ABO和△CEO中，AB=CD=CE，BO=CO，有一组对顶角，∠B=∠D=∠E．

所以△ABO≌△CEO，所以AO=EO．

因为BC=AD=AE，所以AO=EO=BO=CO，所以∠B=∠BAO=∠E=∠ECO，

所以AB∥CE，即DCE三点共线．

因为∠ACD=∠ACE，所以CD⊥AC，

在直角△ACD中，AC=

=

．

平行四边形ABCD的面积=AC×CD=

．

4.答案解：

∵AB⊥AC，∠DAC=45°，

∴AB=AC=2，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=

AC=1，

在直角三角形AOB中，根据勾股定理得OB=

，

∴BD=2BO=2

．

5.答案解：

如图，∵四边形ABCD是平行四边形，AC=5，BD=7，

∴OC=2.5，OB=3.5，

在△BOC中，设BC=a，

则OB-OC＜a＜OB+OC，即3.5-2.5＜a＜3.5+2.5

故1＜a＜6．

∴它的一条边长a的取值范围是1＜a＜6．

故答案为1＜a＜6．

6.答案6＜BD＜18

【课后巩固】

1.答案解：

①平行四边形的一组对边平行于x轴时，（-1，-1）和（3，-1）两点之间的距离为：

3-（-1）=4，

∴第四个顶点的纵坐标为3，横坐标为-2+4=2，或-2-4=-6；

②平行于x轴的一边为平行四边形的对角线时，从（-2，3）到（-1，-1），是横坐标加1，纵坐标减4，∴第四个顶点的横坐标为3+1=4，纵坐标为-1-4=-5；

∴第四个顶点的坐标为（2，3）或（-6，3）或（4，-5）．

故答案为（2，3）或（-6，3）或（4，-5）．

2.答案解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，BC=AD，OA=OC，OB=OD；

又∵△OAB的周长比△OBC的周长大3，

∴AB+OA+OB-（BC+OB+OC）=3

∴AB-BC=3，

又∵▱ABCD的周长是30，

∴AB+BC=15，

∴AB=9．

故答案为9．

3.答案解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC∥EF，AB∥GH∥CD；

所以是平行四边形的有：

▱AEOG、▱EOHB、▱OFCH、▱GDFO；

▱ADFE、▱EFCB、▱AGHB、▱GDCH；▱ABCD；共9个．

故答案为9．

4.答案解：

A、∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OD=OB，

又∵OE=OF

∴四边形DEBF是平行四边形．能判定是平行四边形．

B、DE=BF，OD=OB，缺少夹角相等．不能利用全等判断出OE=OF

∴DE=BF

∴四边形DEBF不一定是平行四边形．

C、D均能证明四边形DEBF是平行四边形．故选B．

5.答案解：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，DC=AB，∠DCA=∠BAC，∠DAE=∠BCF，

∵AE=CF，

∴本题全等三角形共6对，分别是：

△ADE≌△CBF（SAS），△CDE≌△ABF（SAS），

△ADC≌△CBA（SSS或SAS或ASA或AAS）．△ABE≌△DFC，△AED≌△BCF，△AEO≌△FCO，

故选B．

6.答案解：

四边形GEHF是平行四边形；理由如下：

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴BO=DO，AD=BC且AD∥BC．

∴∠ADO=∠CBO．

又∵∠FOD=∠EOB，

∴△FOD≌△EOB（ASA）．

∴EO=FO．

又∵G、H分别为OB、OD的中点，

∴GO=HO．

∴四边形GEHF为平行四边形．

7.答案：

题目可能有问题

8.答案连接DE，可知△DEF是等边三角形，且四边形DEBF是菱形，对角线BD与EF垂直平分，∴可以证明BD

EF

9.答案

（1）（3）,

（2）（4）,

（1）

（2）,（3）（4）,（5）（6）