概率论与数理统计教程课后复习题解答.docx
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概率论与数理统计教程课后复习题解答
第一章事件与概率
事件B表示被选学生是三年级
1.2在数学系的学生中任选一名学生，令事件A表示被选学生是男生,学生，事件C表示该生是运动员。
（1）叙述ABC的意义。
（2）在什么条件下ABCC成立？
（3）什么时候关系式CB是正确的?
⑷什么时候AB成立？
解
（1）事件ABC表示该是三年级男生，但不是运动员。
（2）ABCC等价于CAB，表示全系运动员都有是三年级的男生。
（3）当全系运动员都是三年级学生时。
（4）当全系女生都在三年级并且三年级学生都是女生时'。
1.3一个工人生产了
n个零件，以事件Ai表示他生产的第i个零件是合格品
（1
n）。
用Ai表
示下列事件:
（1）没有一个零件是不合格品；
（2）至少有一个零件是不合格品；
（3）仅仅只有一个零件是不合格品;
（4）至少有两个零件是不合格品。
nn
解
（1）Ai；
（2）A
i1i1
A；（3）
i1
[A（A）]；
i1j1
（4）原事件即“至少有两个零件是合格品”
n
，可表示为AiAj；
i,j1
ij
1.5在分别写有2、4、6、7、8、11、12、13的八卡片中任取两，把卡片上的两个数字组成一个分数,求所得分数为既约分数的概率。
解样本点总数为A
87。
所得分数为既约分数必须分子分母或为
7、11、13中的两个，或为2、
4、6、8、12中的一个和
7、11、13中的一个组合，所以事件
A“所得分数为既约分数”包含
A3"2A1a5236个样本点。
于是
14
P（A）
，求它们正好可以相互吃掉的概率。
1.8在中国象棋的棋盘上任意地放上一只红“车”及一只黑“车”
离开电梯，假设每位乘客在哪一层离开电梯是等可能的,
求没有两位及两位以上乘客在同一层离开的概率。
行或同列的9
817个位置之一时正好相互“吃掉”。
故所求概率为
P（A）
17
89
解任意固定红“车”的位置，黑“车”可处于
910189个不同位置，当它处于和红“车"同
1.9一幢10层楼的楼房中的一架电梯，在底层登上7位乘客。
电梯在每一层都停，乘客从第二层起
以包含aJ个样本点，于是p（a）
1.10某城市共有10000辆自行车，其牌照编号从
00001到10000。
问事件“偶然遇到一辆自行车,
其牌照中有数字8”的概率为多大?
解用A表示“牌照中有数字8”，显然P（A）
94
10000
4
9
，所以
10
P（A）1-P（A）1
94
10000
4
10
1.11任取一个正数，求下列事件的概率：
（2）该数的四次方的末位数字是1；
（3）
1，所以答案为—-
105
2
所以样本空间包含102个样本点。
该数的立方的最后两位数字都是1；
解
（2）当该数的末位数是1、3、7、9之一时，其四次方的末位数是
（3）一个正整数的立方的最后两位数字决定于该数的最后两位数字,
用事件A表示“该数的立方的最后两位数字都是1”，则该数的最后一位数字必须是1，设最后第二位数字
为a，则该数的立方的最后两位数字为1和3a的个位数，要使3a的个位数是1，必须a7，因此A所
包含的样本点只有71这一点，于是
1.12一个人把6根草掌握在手中，仅露出它们的头和尾。
然后请另一个人把6个头两两相接，6个
尾也两两相接。
求放开手以后6根草恰好连成一个环的概率。
并把上述结果推广到2n根草的情形。
解
（1）6根草的情形。
取定一个头，它可以与其它的5个头之一相接，再取另一头，它又可以与其它
未接过的3个之一相接，最后将剩下的两个头相接，故对头而言有531种接法，同样对尾也有531种
2
接法，所以样本点总数为（531）。
用A表示“6根草恰好连成一个环”，这种连接，对头而言仍有531
种连接法，而对尾而言，任取一尾，它只能和未与它的头连接的另4根草的尾连接。
再取另一尾，它只能
和未与它的头连接的另2根草的尾连接，最后再将其余的尾连接成环，故尾的连接法为42。
所以A包
含的样本点数为（531）（42），于是P（A）
（531）（42）
（531）2
8
15
⑵2n根草的情形和
（1）类似得
1.15在ABC中任取一点P，证明
1
解截取CDCD，当且仅当点
n
n11
ABP与ABC的面积之比大于的概率为一2。
nn
P落入CAB之时ABP与ABC的面积之比大于
丄」，因此所求概率为P（A）
n
ABC有面积
ABC的面积
2
CD
2
CD
gcD2
n
2
CD
1.16两艘轮船都要停靠同一个泊位，它们可能在一昼夜的任意时刻到达。
设两船停靠泊位的时间分别为1小时与两小时，求有一艘船停靠泊位时必须等待一段时间的概率。
解分别用x,y表示第一、二艘船到达泊位的时间。
一艘船到达泊位时必须等待当且仅当
2421232-222
22
0xy2,0yx1。
因此所求概率为P（A）22一20.121
242
1.17在线段AB上任取三点Xl,x2,X3，求:
（1）x2位于捲与x3之间的概率。
⑵Ax1,Ax2,Ax3能构成一个三角形的概率。
解
（1）P（A）1⑵
3
P（B）
解1表示白，
2表示黑白，
3表示黑黑白，…
b1表示黑
黑白，
则样本空间
{
1，
2，…
，b1}，并且
P（{
1}）
aa
b，
P（{
2}）
b
a
，P（{3}）
b
b1
a
ab
a
b1
a
ba
b
1ab2
P（{
i}）
b
b
1
b（i
2）
a
ab
a
b1
ab（i
2）
a
b（i
1）
P（{
b1}）
b!
a
（a
b）（a
1b
1）a
1.20甲、乙两人从装有a个白球与b个黑球的口袋中轮流摸取一球，甲先取，乙后取，每次取后都有不放回，直到两人中有一人取到白球时停止。
试描述这一随机现象的概率空间，并求甲或乙先取到白球的概率。
b个
甲取胜的概率为p（{1}）+p（{
3}）+P（{
5}）+…
乙取胜的概率为P（{2}）+P（{
4}）+P（{
6}）+…
1.21设事件A,B及AB的概率分别为p、q及r，求P（AB），P（AB），P（AB），P（AB）
解由P（AB）
P（A）P（B）P（AB）得
P（AB）
P（A）
P（B）
P（A
B）pqr
P（AB）
P（A
AB）
P（A）
P（AB）rq，P（AB）rp
P（AB）
P（A
B）1
P（A
B）1r
1.22设片、A2为两个随机事件，证明:
⑴P（AA）1P（Ai）P（A2）p（4A2）；
⑵1P（A1）P（A2）P（AiA2）
P（AiA2）P（Ai）P（A2）.
证明（i）p（aa2）p（aa2）
1P（Ai"）=1P（Ai）P（A2）
P（AiA2）
（2）由
（1）和P（aA2）0得第一个不等式，由概率的单调性和半可加性分别得第二、三个不等式。
1.24在某城市中共发行三种报纸：
甲、乙、丙。
在这个城市的居民中，订甲报的有45%订乙报的
有35%,订丙报的有30%,同时订甲、乙两报的有10%同时订甲、丙两报的有8%同时订乙、丙两报的有5%同时订三种报纸的有3%求下述百分比：
（1）只订甲报的；
（2）只订甲、乙两报的；
（3）只订一种报纸的；
（4）正好订两种报纸的；
（5）至少订一种报纸的；
（6）不订任何报纸的。
（5）
P（AB
C）90%
（6）
P（ABC）
1P（ABC）
90%10%
1.26某班有n个学生参加口试，考签共一考没有被抽到的概率是多少？
N，
每人抽到的考签用后即放回，在考试结束后，问至少有
解用A表示“第i考签没有被抽到”，
1,2,,N。
要求
P（
i
N
Ai）。
1
P（AAj）
P（A
An）
P（ABC）
P（A
（ABAC））=P（A）
P（AB
AC）=30%
p（abc）
P（AB
ABC）
7%
P（BAC）
P（B）
[P（AB）P（BC）
P（ABC）]
23%
p（cab）
P（C）
[P（AC）
P（BC）
P（ABC）]
20%
p（aBC
+BAC+
cab）=
P（ABC）+P（BAC）+P（CAB）=73%
p（abc
ACB
BCA）
p（abc）
P（ACB）
P（BCA）
解事件A表示订甲报，事件B表示订乙报，事件C表示订丙报。
（1）
⑵
⑷
14%
N
P（A）
i1
所以
P（AAj）
iN
1）2
N
P（A）
i1
1）i
已知一个家庭中有三个小孩，且其中一个是女孩，男孩或是女孩是等可能的）。
1.29
求至少有一个男孩的概率（假设一个小孩是
解用b,g分别表示男孩和女孩。
则样本空间为:
{（b,b,b）,（b,b,g）,（b,g,b）（g,b,b）,（b,g,g）g,b,g}（g,g,b）（g,g,g）}
其中样本点依年龄大小的性别排列。
A表示“有女孩”，B表示“有男孩”，则
P（B|A）鸣6Z86
P（A）7/87
1.30设M件产品中有m件是不合格品，从中任取两件，
（1）在所取产品中有一件是不合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
（2）在所取产品中有一件是合格品的条件下，求另一件也是不合格品的概率。
解
（1）设A表示“所取产品中至少有一件是不合格品”，B表示“所取产品都是不合格品”，则
m
2P（A）
P（B）
P（B|A）
P（AB）
P（A）
P（B）m1
P（A）2Mm1
（2）设C表示“所取产品中至少有一件合格品”则
D表示“所取产品中有一件合格品，一件不合格品”
mMm
P（C）
P（D）
11
P（D|C）鸣血
P（C）P（C）
2m
Mm1
1.31n个人用摸彩的方式决定谁得一电影票，他们依次摸彩，求:
（1）已知前k1（kn）个人都没摸到，求第k个人摸到的概率;
⑵第k（kn）个人摸到的概率。
解设A表示“第i个人摸到”，i1,2,,n
（1）
p（ajAAki）
n（k1）
⑵P（Ak）P（A1Ak1Ak）
k
1.32已知一个母鸡生k个蛋的概率为——e（k!
0），而每一个蛋能孵化成小鸡的概率为p，证
明：
一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为
p）r
r!
解用Ak表示“母鸡生k个蛋”，
B表示“母鸡恰有
r个下一代”，则
P（B）P（Ak）P（B|Ak）
kr
k!
pr（1
k
p）
（p）rc[（1p）]kr
r!
kr（kr）!
（p）r
r!
e（1
p）
p）r
r!
1.35某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:
321，它们在一定时间需要修理的概率之
比为1:
2:
3:
1。
当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？
解则P（A,）
9
15，
PS）13，p（A3）
21
，P（A4）
15
15
P（B|A）
1
7
P（B|A2）-，P（B|A3）
31
，P（B|A4）-
77
由贝时叶斯公式得
―P（A）P（B|A）
9
P（A|B）4
P（Ak）P（B|Ak）
22
k1
1.36有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、0.2、0.1、0.4。
如果
111
他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、丄、，而乘飞机不会迟到。
结果他迟到了，试
4312
问他是乘火车来的概率是多少？
解用A1表示“朋友乘火车来”，A?
表示“朋友乘轮船来”，A表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋
友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了
则P（A|B）4P（A）P（B|A1）
P（Ak）P（B|Ak）
k1
1.41一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人,
求下列事件的概率
（I）两个人为0型，其它三个人分别为其它三种血型;
⑵三个人为o型，两个人为A型；
（3）没有一人为AB。
解
（1）从5个人任选2人为O型，共有5
2
种可能，在其余3人中任选一人为A型，共有三种可能,
在余下的2
人中任选一人为B型，共有
2种可能，另一人为AB型，顺此所求概率为：
1.43
（1
0.462
0.462
0.03）5
0.400.110.13
0.4020.1557
0.8587
0.0168
做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为
解用A表示“在成功n次之前已失败了
C表示“第n
m次”，
p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。
B表示“在前nm1次试验中失败了m次”，
m次试验成功”
则P（A）
P（BC）P（B）P（C）
1
n1m
p（1p）p
1S、m
P（1P）
1.45某数学家有两盒火柴，每盒都有求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴
n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。
1rn）的概率。
解用A表示“甲盒余i根火柴”，
用Bj表示“乙盒余j根火柴”，C,D分别表示“第2nr次
在甲盒取”，“第2nr次在乙盒取”
A。
BrC表示取了
2nr次火柴，且第2nr次是从甲盒中取
的，即在前2nr
中取了
其余在乙盒中取。
所以
P（A0BrC）2nr
由对称性知P（ArB0C）
P（AjBrD），所求概率为:
P（A°BrCArB°D）
2P（ABrC）
2nr
2nr1
1
第二章离散型随机变量
2.3解设随机变量的分布列为P（
i
i）C-,i1,2,3。
求C的值。
3
27
38
2.4随机变量只取正整数N，且P（N）与N2成反比，求的分布列。
解根据题意知
P（
N）
話，其中常数C待定。
由于
c二1，所以C2，即
6
的分布列为P（
N）
，N取正整数。
2.5一个口袋中装有
个白球、nm个黑球，不返回地连续从袋中取球，直到取岀黑球时停止。
设此时取出了
个白球,
的分布列。
解设“k”表示前k次取出白球，第ki次取出黑球，则的分布列为:
m（m1）（mk1）（nm）P（k）,k0,1,,m.
n（n1）（nk）
31
2.6设某批电子管的合格品率为，不合格品率为—，现在对该批电子管进行测试，设第次为首
44
次测到合格品，求的分布列
解P（
k）
k1,2,
2.9两名篮球队员轮流投篮，直到某人投中时为止，如果第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中的
概率为0.6，求每名队员投篮次数的分布列。
解设，表示第二名队员的投篮次数，则
k1k1kk1
P（k）0.60.40.4+0.60.40.60.760.24,k1,2,;
P（k）0.6k0.4k10.60.6k0.4k0.40.760.6k0.4k1,k1,2,。
2.10设随机变
量服从普哇松分布，且P（
1）P
（2），求P（4）。
k
2
解P（k）
e（
0）k0,1,2,。
由于ee,得12,20（不
k!
2
24
222
合要求）。
所以P（
4）
ee。
4!
3
2.11设某商店中每月销售某种商品的数量服从参数为7的普哇松分布，问在月初进货时应进多少件此
种商品，才能保证当月不脱销的概率为0.999
的数值表，得x16。
2.12如果在时间t（分钟），通过某交叉路口的汽车数量服从参数与t成正比的普哇松分布。
已知在一
分钟没有汽车通过的概率为0.2，求在2分钟有多于一辆汽车通过的概率。
解设为时间t通过交叉路口的汽车数，则
500
在指定的一页上岀现某一个错误的概率
500
，因而,
至少岀现三个错误的概率为
5001k
499
500
2500
500k
499
k500
500
500
500
利用普哇松定理求近似值，取
np
500500
于是上式右端等于
11
e
ok!
2e
0.080301
2.14某厂产品的不合格品率为0.03，现在要把产品装箱，若要以不小于0.9的概率保证每箱中至
少有100个合格品，那么每箱至少应装多少个产品？
解设每箱至少装100x个产品，其中有k个次品，则要求X,使
0.9100%0.03k0.97100xk
k0k
利用普哇松分布定理求近似值，取
X3k3
（100x）0.033，于是上式相当于0.9e,查
k0k!
普哇松分布数值表，得x5
2.15设二维随机变量（，）的联合分布列为
P（
nmnm
p（1p）e（
n,m）
e（
m!
（nm!
）
求边际分布列。
n
解P（n）P（n,m）
m0
0,0
p1）m0,1,
nn0,1,2
nen
n!
m/A
p（1
nm
p）
n!
m
0m!
（n
m）!
n!
n0,1,2,
P（
k）
（t）k!
k
t
-e
（
0）,k
0,1,2,
t1时，
P（
0）
e
0.2
，所以
ln5;t2时，t2ln5,因而
P
（1）
1
P（
0）
P（
1）
（24ln25）/250.83。
2.13
一本
500页的书共有
500个错误，
每个错误等可能地岀现在每一页上（每一页的印刷符号超过
500个）。
试求指定的一页上至少有三个错误的概率。
m
P（m）P（n,
n0
Pen!
mnm
m）p（1p）
m!
nmm!
（nm）!
（p）mep
——m0,1,2,m!
二等品占30%三等品占20%从中任取4件，设一、二、三等品
2.17在一批产品中一等品占50%
解P（
m,
n,
k）
4!
0.5m0.3n0.2k，m,n,k0,1,2,3,4mnk4
m!
n!
k!
P（
m）
4
0.5m0.54
m，m
0,1,2,3,4；
m
P（
n）
4
n4
0.30.7
n，n
0,1,2,3,4；
n
P（
k）
4
k4
0.20.8
k，k
0,1,2,3,4。
k
的件数分别为
，求（，，）的联合分布列与各自的边际分布列
2.18抛掷三次均匀的硬币，以
表示岀现正面的次数，以
表示正面岀现次数与反面岀现次数之差
1）P0，
1）P（
的绝对值，求（，）的联合分布列及边际分布列
又P（0）
P（
0）1
p
0，定义1若
0若
为偶数
为奇数
问p取什么值时与
独立？
解P
（1）
P（
0）P（
0）
P（
1）P（
1）
=（1p）2
2
p
P（0）P（
0）P（
1）
P（
0）P（
1）
2p（1p）
而P（1,1）
P（
1,1）
2
p，
由P（
1,1）
P
（1）P（
1）得
1
p2
2.22设随机变量
与
独立，且P（
1）
P（
1）
1，定义
2
，证明，，两
两独立，但不相互独立。
证明P
（1）
P（
1）P（
1）
P（
1）P（
1）1
P
（1）
P（
1）P（
1）
P（
1）P（
1）1
2.21设随机变量与独立，且P（
因为P（1,1）P（1,1）1P
（1）P
4
P（
1,
1）
P（
1,1）
1
4P（
1）P1）
P（
1,
1）
P（
1,1）
1P（
1）P
（1）
P（
1,
1）
P（
1,1）
1P（
1）P
（1）
所以，
相互独立。
同理
与相互独立。
但是P（
1,
1,
1）P（
1）P（
1）P（
1），因而，，不相互独立。
2.23设随机变量
与独立，，且只取值1、2、3、4、5、6，证明
不服从均匀分（即不可能有
P（k）吕，k2,3,,12。
p1。
同理q6q1。
因此
11
证明设P（
k）Pk
P（
k）qk,k
1,2,
6。
若P（
k）
-,k
2,3,,12，
则
11
P（
2）
PG
1
11
（1）
P（
7）
Pg
P2q5
P6q1
右⑵
11
P（
12）
P6q6
1
（3）
11
式，得：
（P6
pM
0，
将
（2）式减去
于是
P6
（1）
1
眄6
PG，与
11
（3）式矛盾。
2.24
已知随机变量
的分布列为
0-
2
11
42
解
分布列为P（
2）
1
4
P（
的分布列为P（
1）
1
4
P（
2.25
已知离散型随机变量
的分布列为
解P（0）1,
5
P（
1）
7
30,
2.26设离散型随机变量与的分布列为
，求
1
2
3
2与
cos的分布列。
4
2
-）
1
，P（
2
2
）1;
3
2
3
4
0）
1
，P（
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