最新四年级数学A班奥数专题最大与最小问题.docx
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最新四年级数学A班奥数专题最大与最小问题
四年级数学A班奥数专题->“最大与最小”问题
在应用数学知识解决日常生活中的一些实际问题时，经常会出现解决方案不止一种，有时还会有无数种的情况。
在这种情况下，我们往往需要找最大量或最小量。
例1试求乘积为36，和为最小的两个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是36的两个自然数有以下五种情况：
1×36、2×18、3×12、4×9、6×6。
相应的两个乘数的和是：
1+36=37、2+18=20、3+12=15、4+9=13、6+6=12。
显然，乘积是36，和为最小的两个自然数是6与6。
例2试求乘积是80，和为最小的三个自然数。
分析与解不考虑因数顺序，乘积是80的三个自然数有以下八种情况：
1×2×40、1×4×20、1×5×16、1×8×10、2×2×20、2×4×10、2×5×8、4×4×5。
经过计算，容易得知，乘积是80，和为最小的三个自然数是4、4、5。
结论一：
从上述两例可见，m个自然数的乘积是一个常数，则当这m个乘数相等或最相近时，其和最小。
例3试求和为8，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为8的两个自然数有以下四种情况：
1+7、2+6、3+5、4+4。
相对应的两个加数的积是：
1×7=7、2×6=12、3×5=15、4×4=16。
显然，和为8，积为最大的两个自然数是4和4。
例4试求和为13，积为最大的两个自然数。
分析与解不考虑加数顺序，和为13的两个自然数有以下六种情况：
1+12、2+11、3+10、4+9、5+8、6+7。
经过计算，不难发现，和为13，积为最大的两个
结论二：
从上述两例可知，m个自然数的和是一个常数，则当这m个数相等或最相近时，其积最大。
例5砌一平方米的围墙要用砖50块，现有5600块砖，用来砌一个矩形晒谷场的围墙。
如果围墙高2米，则砌成的晒谷场的长和宽各是多少米时，晒的谷最多？
分析与解根据题意，首先可知5600块砖可砌围墙（5600÷50÷2=）56米，即长方形晒谷场的周长为56米。
要使晒谷场晒的谷最多，实际就是长方形晒谷场的面积（长×宽）要最大。
而长方形的周长56米一定，即长与宽的和（56÷2=）28米也一定，因此只有当长与宽相等（都是14米）时，面积才最大。
所以，晒谷场的长和宽都是14米时，晒的谷最多。
这时晒谷场的面积是：
14×14=196（平方米）
例6要用竹篱笆围一个面积为6400平方米的矩形养鸡场。
如果每米篱笆要用去30千克毛竹，那么该怎样围，才能使毛竹最省？
分析与解要使毛竹最省，就是养鸡场的周长要最小，而矩形养鸡场的面积6400平方米一定，即长与宽的积一定，因此，只有当长与宽相等（都是80米）时，周长才最小。
所以，只有当养鸡场的长和宽都为80米时，所用毛竹最省。
这时所需毛竹是：
30×〔（80+80）×2〕=30×320=9600（千克）
例7用2到9这八个数字分别组成两个四位数，使这两个四位数的乘积最大。
分析与解用2、3、4、5、6、7、8、9这八个数字组成两个四位数，使乘积最大，显然，9和8应分别作两个数的千位数，7和6应分别作百位数，但7和6分别放在9和8谁的后面呢？
因为：
97+86=183，96+87=183，它们的和相等。
又有：
97-86=11，96-87=9
显然，96与87之间比97与86之间相隔更少，更相近。
所以，96与87的乘积一定大于97与86的乘积。
所以，7应放在8后面，6应放在9后面。
同理，可安排后面两位数字，得到的两个四位数是9642和8753。
它们的积是
6、你购买DIY手工艺制品的目的有那些？
9642×8753=84396426
例8试比较下列两数的大小：
4．WWW。
google。
com。
cn。
大学生政策2004年3月23日 a=8753689×7963845
据介绍，经常光顾“碧芝”的都是些希望得到世界上“独一无二”饰品的年轻人，他们在琳琅满目的货架上挑选，然后亲手串连，他们就是偏爱这种ＤＩＹ的方式，完全自助。
b=8753688×7963846
分析与解此题若采用转化法或设置中间数法都能比较出结果，但过程复杂。
仔细观察两数会发现，a中两个因数的和与b中两个因数的和相等。
因此，要比较a与b谁大，只要看a与b哪一个数中的两个因数之间相隔更少，更相近。
很容易看出8753688与7963846之间比8753689与7963845之间相隔更少，更相近，所以，可得出b＞a。
专题训练（十二）
上述所示的上海经济发展的数据说明：
人们收入水平的增加，生活水平的提高，给上海的饰品业带来前所未有的发展空间，为造就了一个消费额巨大的饰品时尚市场提供了经济基础。
使大学生对DIY手工艺品的时尚性消费，新潮性消费，体验性消费成为可能。
1、用四张纸片：
1、9、9和5，可组成的四位数中，则最小的数与最大的数之和是。
2、把47个苹果分放在盘内，要求每个盘子都有苹果，且个数不相同，这些苹果最多可放多少盘？
3、七人参加数学竞赛，共得110分，但每人得分都不相等，最高分是20分，得分最低的至少是多少分？
4、小明看一本90页的童话故事，每天看的页数不同，而且一天中最少看3次，那么小明看完这本书最多需要几天？
5、把自然数1、2、3、4、……、39、40依次排列，1234567891011……3940，划去65个数字得到的多位数最大是多少？
（四）DIY手工艺品的“个性化” 6、a、b是两个自然数，a+b=16，那么a×b最大是多少？
（二）创业弱势分析 7、a、b是两个自然数，a×b=49，那么a+b最小是多少？
8、用40厘米长的铁丝围成的长方形中，最大一个面积是多少？
9、教室一个窗户的面积是225平方分米，怎样设计窗户的形状和尺寸最省材料？
10把16拆成若干个自然数的和，要求这些自然数的积尽量大，应如何拆？
50呢？
11、在下面的一排数字之间添上五个加号，组成一个连加算式，求这个连加算式的结果的最小值。
（1）位置的优越性 123456789
12、三个两位的连续偶数，它们的个位数字的和是7的倍数，这三个数的和最少是多少？
“抽屉原理”教学设计
1、DIY手工艺市场状况分析 【教学内容】
《义务教育课程标准实验教科书·数学》六年级下册第68页。
【教学目标】
1.经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”,会用“抽屉原理”解决简单的实际问题。
2.通过操作发展学生的类推能力,形成比较抽象的数学思维。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用感受数学的魅力。
【教学重点】
经历“抽屉原理”的探究过程,初步了解“抽屉原理”。
【教学难点】
理解“抽屉原理”,并对一些简单实际问题加以“模型化”。
【教具、学具准备】
每组都有相应数量的盒子、铅笔、书。
【教学过程】
一、课前游戏引入。
师:
同学们在我们上课之前,先做个小游戏:
老师这里准备了4把椅子,请5个同学上来,谁愿来?
（学生上来后）
师:
听清要求,老师说开始以后,请你们5个都坐在椅子上,每个人必须都坐下,好吗?
（好）。
这时教师面向全体,背对那5个人。
师:
开始。
师:
都坐下了吗?
生:
坐下了。
师:
我没有看到他们坐的情况,但是我敢肯定地说:
“不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学”我说得对吗?
生:
对!
师:
老师为什么能做出准确的判断呢?
道理是什么?
这其中蕴含着一个有趣的数学原理,这节课我们就一起来研究这个原理。
下面我们开始上课,可以吗?
二、通过操作,探究新知
（一）教学例1
1.出示题目:
有3枝铅笔,2个盒子,把3枝铅笔放进2个盒子里,怎么放?
有几种不同的放法?
师:
请同学们实际放放看,谁来展示一下你摆放的情况?
（指名摆）根据学生摆的情况,师板书各种情况（3,0）（2,1）
师:
5个人坐在4把椅子上,不管怎么坐,总有一把椅子上至少坐两个同学。
3支笔放进2个盒子里呢?
生:
不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝笔?
是:
是这样吗?
谁还有这样的发现,再说一说。
师:
那么,把4枝铅笔放进3个盒子里,怎么放?
有几种不同的放法?
请同学们实际放放看。
（师巡视,了解情况,个别指导）
师:
谁来展示一下你摆放的情况?
（指名摆）根据学生摆的情况,师板书各种情况。
（4,0,0）
（3,1,0）
（2,2,0）
（2,1,1）,
师:
还有不同的放法吗?
生:
没有了。
师:
你能发现什么?
生:
不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
“总有”是什么意思?
生:
一定有
师:
“至少”有2枝什么意思?
生:
不少于两只,可能是2枝,也可能是多于2枝?
师:
就是不能少于2枝。
（通过操作让学生充分体验感受）
师:
把3枝笔放进2个盒子里,和把4枝笔饭放进3个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
这是我们通过实际操作现了这个结论。
那么,我们能不能找到一种更为直接的方法,只摆一种情况,也能得到这个结论呢?
学生思考——组内交流——汇报
师:
哪一组同学能把你们的想法汇报一下?
组1生:
我们发现如果每个盒子里放1枝铅笔,最多放3枝,剩下的1枝不管放进哪一个盒子里,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
你能结合操作给大家演示一遍吗?
（学生操作演示）
师:
同学们自己说说看,同位之间边演示边说一说好吗?
师:
这种分法,实际就是先怎么分的?
生众:
平均分
师:
为什么要先平均分?
（组织学生讨论）
生1:
要想发现存在着“总有一个盒子里一定至少有2枝”,先平均分,余下1枝,不管放在那个盒子里,一定会出现“总有一个盒子里一定至少有2枝”。
生2:
这样分,只分一次就能确定总有一个盒子至少有几枝笔了?
师:
同意吗?
那么把5枝笔放进4个盒子里呢?
（可以结合操作,说一说）
师:
哪位同学能把你的想法汇报一下,
生:
（一边演示一边说）5枝铅笔放在4个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
把6枝笔放进5个盒子里呢?
还用摆吗?
生:
6枝铅笔放在5个盒子里,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
把7枝笔放进6个盒子里呢?
把8枝笔放进7个盒子里呢?
把9枝笔放进8个盒子里呢?
……
:
你发现什么?
生1:
笔的枝数比盒子数多1,不管怎么放,总有一个盒子里至少有2枝铅笔。
师:
你的发现和他一样吗?
（一样）你们太了不起了!
同桌互相说一遍。
2.解决问题。
（1）课件出示:
5只鸽子飞回4个鸽笼,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里,为什么?
（学生活动—独立思考自主探究）
（2）交流、说理活动。
师:
谁能说说为什么?
生1:
如果一个鸽笼里飞进一只鸽子,最多飞进4只鸽子,还剩一只,要飞进其中的一个鸽笼里。
不管怎么飞,至少有2只鸽子要飞进同一个鸽笼里。
生2:
我们也是这样想的。
生3:
把5只鸽子平均分到4个笼子里,每个笼子1只,剩下1只,放到任何一个笼子里,就能保证至少有2只鸽子飞进同一个笼里。
生4:
可以用5÷4=1……1,余下的1只,飞到任何一个鸽笼里都能保证至少有2只鸽子飞进一个个笼里,所以,“至少有2只鸽子飞进同一个笼里”的结论是正确的。
师:
许多同学没有再摆学具,证明这个结论是正确的,用的什么方法?
生:
用平均分的方法,就能说明存在“总有一个鸽笼至少有2只鸽子飞进一个个笼里”。
师:
同意吗?
（生:
同意）老师把这位同学说的算式写下来,（板书:
5÷4=1……1）
师:
同位之间再说一说,对这种方法的理解。
师:
现在谁能说说你对“总有一个鸽笼里至少飞进2只鸽子的理解”
生:
我们发现这是必然存在的一个现象,不管鸽子怎样飞回鸽笼,一定会有一个鸽笼里至少有2只鸽子。
师:
同学们都有这个发现吗?
生众:
发现了。
师:
同学们非常了不起,善于运用观察、分析、思考、推理、证明的方法研究问题,得出结论。
同学们的思维也在不知不觉中提升了许多,那么让我们再来看这样一组问题。
（二）教学例2
1.出示题目:
把5本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把7本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
把9本书放进2个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
（留给学生思考的空间,师巡视了解各种情况）
2.学生汇报。
生1:
把5本书放进2个抽屉里,如果每个抽屉里先放2本,还剩1本,这本书不管放到哪个抽屉里,总有一个抽屉里至少有3本书。
板书:
5本2个2本……余1本（总有一个抽屉里至有3本书）
7本2个3本……余1本（总有一个抽屉里至有4本书）
9本2个4本……余1本（总有一个抽屉里至有5本书）
师:
2本、3本、4本是怎么得到的?
生答完成除法算式。
5÷2=2本……1本（商加1）
7÷2=3本……1本（商加1）
9÷2=4本……1本（商加1）
师:
观察板书你能发现什么?
生1:
“总有一个抽屉里的至少有2本”只要用“商+1”就可以得到。
师:
如果把5本书放进3个抽屉里,不管怎么放,总有一个抽屉里至少有几本书?
生:
“总有一个抽屉里的至少有3本”只要用5÷3=1本……2本,用“商+2”就可以了。
生:
不同意!
先把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,还剩2本,这2本书再平均分,不管分到哪两个抽屉里,总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
师:
到底是“商+1”还是“商+余数”呢?
谁的结论对呢?
在小组里进行研究、讨论。
交流、说理活动:
生1:
我们组通过讨论并且实际分了分,结论是总有一个抽屉里至少有2本书,不是3本书。
生2:
把5本书平均分放到3个抽屉里,每个抽屉里先放1本,余下的2本可以在2个抽屉里再各放1本,结论是“总有一个抽屉里至少有2本书”。
生3∶我们组的结论是5本书平均分放到3个抽屉里,“总有一个抽屉里至少有2本书”用“商加1”就可以了,不是“商加2”。
师:
现在大家都明白了吧?
那么怎样才能够确定总有一个抽屉里至少有几个物体呢?
生4:
如果书的本数是奇数,用书的本数除以抽屉数,再用所得的商加1,就会发现“总有一个抽屉里至少有商加1本书”了。
师:
同学们同意吧?
师:
同学们的这一发现,称为“抽屉原理”,“抽屉原理”又称“鸽笼原理”,最先是由19世纪的德国数学家狄利克雷提出来的,所以又称“狄里克雷原理”,也称为“鸽巢原理”。
这一原理在解决实际问题中有着广泛的应用。
“抽屉原理”的应用是千变万化的,用它可以解决许多有趣的问题,并且常常能得到一些令人惊异的结果。
下面我们应用这一原理解决问题。
3.解决问题。
71页第3题。
（独立完成,交流反馈）
小结:
经过刚才的探索研究,我们经历了一个很不简单的思维过程,我们获得了解决这类问题的好办法,下面让我们轻松一下做个小游戏。
三、应用原理解决问题
师:
我这里有一副扑克牌,去掉了两张王牌,还剩52张,我请五位同学每人任意抽1张,听清要求,不要让别人看到你抽的是什么牌。
请大家猜测一下,同种花色的至少有几张?
为什么?
生:
2张/因为5÷4=1…1
师:
先验证一下你们的猜测:
举牌验证。
师:
如有3张同花色的,符合你们的猜测吗?
师:
如果9个人每一个人抽一张呢?
生:
至少有3张牌是同一花色,因为9÷4=2…1
四、全课小结
（四）大学生对手工艺制品消费的要求
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