学年人教A版必修2 第二章212空间中直线与直线之间的位置关系学案.docx

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学年人教A版必修2第二章212空间中直线与直线之间的位置关系学案

2.1.2　空间中直线与直线之间的位置关系

学习目标

　1.了解空间中两条直线的位置关系.2.理解异面直线的概念、画法.3.理解并掌握公理4及等角定理.4.了解异面直线所成角的概念，会求一些较特殊的异面直线所成的角．

知识点一　空间两直线的位置关系

思考　在同一平面内，两条直线有几种位置关系？

观察下面两个图形，你能找出既不平行又不相交的两条直线吗？

答案　平行与相交．

教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线；六角螺母中直线AB与CD.

梳理　异面直线的概念

（1）定义：

不同在任何一个平面内的两条直线．

（2）异面直线的画法（衬托平面法）

如图

（1）

（2）所示，为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面来衬托．

（3）判断两直线为异面直线的方法

①定义法；②两直线既不平行也不相交．

（4）空间两条直线的三种位置关系

①从是否有公共点的角度来分：

②从是否共面的角度来分：

知识点二　平行公理（公理4）

思考　在平面内，直线a，b，c，若a∥b，b∥c则a∥c.该结论在空间中是否成立？

答案　成立．

梳理　平行公理的内容

（1）文字表述：

平行于同一条直线的两条直线互相平行．

（2）符号表示：

⇒a∥c.

知识点三　等角定理

思考　观察图，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，∠ADC与∠A′D′C′，∠ADC与∠D′A′B′的两边分别对应平行，

这两组角的大小关系如何？

答案　从图中可以看出，∠ADC＝∠A′D′C′，∠ADC＋∠D′A′B′＝180°.

梳理　空间中如果两个角的两边分别对应平行，则这两个角相等或互补．

知识点四　异面直线所成的角

思考　在长方体A1B1C1D1—ABCD中，BC1∥AD1，则“直线BC1与直线BC所成的角”与“直线AD1与直线BC所成的角”是否相等？

答案　相等．

梳理

定义

前提

两条异面直线a，b

作法

经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b

结论

我们把a′与b′所成的锐角（或直角）叫做异面直线a与b所成的角（或夹角）

范围

记异面直线a与b所成的角为θ，则0°<θ≤90°

特殊情况

当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b

1．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线．（×）

2．两直线若不是异面直线，则必相交或平行．（√）

3．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，则∠BAC＝∠B′A′C′.（×）

类型一　空间两直线位置关系的判定

例1　如图所示，点P，Q，R，S分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ与RS是异面直线的是（　　）

考点　异面直线的判定

题点　异面直线的判定

答案　C

解析　不能严格根据异面直线的定义对两直线的位置关系作出正确判断，仅凭主观臆测和对图形的模糊认识作出选择．A，B中，PQ∥RS，D中，PQ和RS相交．故选C.

反思与感悟　

（1）判断空间中两条直线位置关系的关键点

①建立空间观念，全面考虑两条直线平行、相交和异面三种位置关系，特别关注异面直线．

②重视正方体等常见几何体模型的应用，会举例说明两条直线的位置关系．

（2）判定两条直线是异面直线的方法

①证明两条直线既不平行又不相交．

②重要结论：

连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线．用符号语言可表示为A∉α，B∈α，B∉l，l⊂α，则AB与l是异面直线（如图）．

跟踪训练1　

（1）若a和b是异面直线，b和c是异面直线，则a和c的位置关系是（　　）

A．平行B．异面

C．相交D．平行、相交或异面

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

答案　D

解析　可借助长方体来判断．

如图，在长方体ABCD－A′B′C′D′中，A′D′所在直线为a，AB所在直线为b，已知a和b是异面直线，b和c是异面直线，则c可以是长方体ABCD－A′B′C′D′中的B′C′，CC′，DD′.故a和c可以平行、相交或异面．

（2）如图为正方体表面的一种展开图，则图中的四条线段AB，CD，EF，GH在原正方体中互为异面的对数为（　　）

A．1B．2C．3D．4

考点　异面直线的判定

题点　异面直线的判定

答案　C

解析　还原的正方体如图所示．

是异面直线的共三对，分别为AB与CD，AB与GH，EF与GH.

类型二　平行公理和等角定理的应用

例2　在正方体ABCD－A′B′C′D′中，E，F，E′，F′分别是AB，BC，A′B′，B′C′的中点，求证：

EE′∥FF′.

考点　平行公理

题点　判断、证明线线平行

证明　因为E，E′分别是AB，A′B′的中点，

所以BE∥B′E′，且BE＝B′E′.

所以四边形EBB′E′是平行四边形，

所以EE′∥BB′，同理可证FF′∥BB′.

所以EE′∥FF′.

引申探究

1．在本例中，若M，N分别是A′D′，C′D′的中点，求证：

四边形ACNM是梯形．

证明　在正方体中，MN∥A′C′，且MN＝

A′C′，因为A′C′∥AC，且A′C′＝AC，

所以MN∥AC，且MN＝

AC.

又AM与CN不平行，故四边形ACNM是梯形．

2．若将本例变为已知E，E′分别是正方体ABCD－A′B′C′D′的棱AD，A′D′的中点．求证：

∠BEC＝∠B′E′C′.

证明　如图所示，连接EE′.

因为E，E′分别是AD，A′D′的中点，

所以AE∥A′E′，且AE＝A′E′.

所以四边形AEE′A′是平行四边形．

所以AA′∥EE′，且AA′＝EE′.

又因为AA′∥BB′，且AA′＝BB′，

所以EE′∥BB′，且EE′＝BB′，

所以四边形BEE′B′是平行四边形，所以BE∥B′E′.

同理可证CE∥C′E′.

又∠BEC与∠B′E′C′的两边方向相同，所以∠BEC＝∠B′E′C′.

反思与感悟　

（1）空间两直线平行的证明方法

证明空间两条直线平行的方法有两个：

一是利用平面几何知识（三角形、梯形的中位线，平行四边形性质，平行线分线段成比例定理等）证明；二是利用公理4，就是需要找到第三条直线c，使a∥c，b∥c，由公理4得到a∥b.

（2）空间角相等的证明方法

①等角定理是较常用的方法．

②转化为平面图形中的三角形全等或相似来证明．

跟踪训练2　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是AB，BB1，BC的中点．求证：

△EFG∽△C1DA1.

考点　平行公理

题点　判断、证明线线平行

证明　如图，连接B1C.

因为G，F分别为BC，BB1的中点，

所以GF∥B1C且GF＝

B1C.

又ABCD—A1B1C1D1为正方体，

所以CD∥AB且CD＝AB，

A1B1∥AB且A1B1＝AB，

由公理4知CD∥A1B1且CD＝A1B1，

所以四边形A1B1CD为平行四边形，

所以A1D∥B1C且A1D＝B1C.又B1C∥FG，

由公理4知A1D∥FG.

同理可证：

A1C1∥EG，DC1∥EF.

又∠DA1C1与∠EGF，∠A1DC1与∠EFG，∠DC1A1与∠GEF的两边分别对应平行且均为锐角，

所以∠DA1C1＝∠EGF，∠A1DC1＝∠EFG，∠DC1A1＝∠GEF.

所以△EFG∽△C1DA1.

类型三　求异面直线所成的角

例3　在空间四边形ABCD中，AB＝CD，且AB与CD所成锐角为30°，E，F分别为BC，AD的中点，求EF与AB所成角的大小．

考点　异面直线所成的角

题点　求异面直线所成的角

解　如图所示，取AC的中点G，连接EG，FG，

则EG∥AB且EG＝

AB，

GF∥CD且GF＝

CD，

由AB＝CD知EG＝FG，

从而可知∠GEF为EF与AB所成角，∠EGF或其补角为AB与CD所成角．

∵AB与CD所成角为30°，

∴∠EGF＝30°或150°，

由EG＝FG知△EFG为等腰三角形，

当∠EGF＝30°时，∠GEF＝75°，

当∠EGF＝150°时，∠GEF＝15°，

故EF与AB所成角的大小为15°或75°.

反思与感悟　求两条异面直线所成的角的一般步骤

（1）构造角：

根据异面直线的定义，通过作平行线或平移平行线，作出异面直线夹角的相关角．

（2）计算角：

求角度，常利用三角形．

（3）确定角：

若求出的角是锐角或是直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角．

跟踪训练3　在正方体AC1中，E，F分别是A1B1，B1C1的中点，求异面直线DB1与EF所成角的大小．

考点　异面直线所成的角

题点　求异面直线所成的角

解　如图①，连接A1C1，B1D1，并设它们相交于点O，取DD1的中点G，连接OG，A1G，C1G.

则OG∥B1D，EF∥A1C1.

∴∠GOA1为异面直线DB1与EF所成的角或其补角．

∵GA1＝GC1，O为A1C1的中点，∴GO⊥A1C1.

∴异面直线DB1与EF所成的角为90°.

1．若空间两条直线a和b没有公共点，则a与b的位置关系是（　　）

A．共面B．平行

C．异面D．平行或异面

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

答案　D

解析　若直线a和b共面，则由题意可知a∥b；若a和b不共面，则由题意可知a与b是异面直线．

2．若OA∥O′A′，OB∥O′B′，且∠AOB＝130°，则∠A′O′B′为（　　）

A．130°B．50°

C．130°或50°D．不能确定

考点　平行公理

题点　利用等角定理求角

答案　C

解析　根据定理，∠A′O′B′与∠AOB相等或互补，即∠A′O′B′＝130°或∠A′O′B′＝50°.

3．一条直线与两条异面直线中的一条平行，则它和另一条的位置关系是（　　）

A．平行或异面B．相交或异面

C．异面D．相交

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

答案　B

解析　如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AA1与BC是异面直线，又AA1∥BB1，AA1∥DD1，显然BB1∩BC＝B，DD1与BC是异面直线，故选B.

4．对角线互相垂直的空间四边形ABCD各边中点分别为M，N，P，Q，则四边形MNPQ是________．

考点　平行公理

题点　判断、证明线线平行

答案　矩形

解析　如图所示．

∵点M，N，P，Q分别是四条边的中点，

∴MN∥AC，且MN＝

AC，

PQ∥AC且PQ＝

AC，

即MN∥PQ且MN＝PQ，

∴四边形MNPQ是平行四边形．

又∵BD∥MQ，AC⊥BD，

∴MN⊥MQ，

∴平行四边形MNPQ是矩形．

5．如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中．

（1）求A1C1与B1C所成角的大小；

（2）若E，F分别为AB，AD的中点，求A1C1与EF所成角的大小．

考点　异面直线所成的角

题点　求异面直线所成的角

解　

（1）如图所示，连接AC，AB1.

由六面体ABCD－A1B1C1D1是正方体知，四边形AA1C1C为平行四边形，

∴AC∥A1C1，从而B1C与AC所成的角就是A1C1与B1C所成的角．

在△AB1C中，由AB1＝AC＝B1C，

可知∠B1CA＝60°，

即A1C1与B1C所成的角为60°.

（2）如图所示，连接BD.

由

（1）知AC∥A1C1，

∴AC与EF所成的角就是A1C1与EF所成的角．

∵EF是△ABD的中位线，∴EF∥BD.

又∵AC⊥BD，∴AC⊥EF，∴EF⊥A1C1，

即A1C1与EF所成的角为90°.

1．判定两直线的位置关系的依据就在于两直线平行、相交、异面的定义．很多情况下，定义就是一种常用的判定方法．

2．在研究异面直线所成角的大小时，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角．将空间问题向平面问题转化，这是我们学习立体几何的一条重要的思维途径．需要强调的是，两条异面直线所成角的范围为（0°，90°]，解题时经常结合这一点去求异面直线所成角的大小．

一、选择题

1．若空间三条直线a，b，c满足a⊥b，b∥c，则直线a与c（　　）

A．一定平行B．一定垂直

C．一定是异面直线D．一定相交

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

答案　B

解析　∵a⊥b，b∥c，∴a⊥c.

2．分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　）

A．一定平行B．一定相交C．一定异面D．相交或异面

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

答案　D

解析　可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）．

3．两等角的一组对应边平行，则（　　）

A．另一组对应边平行

B．另一组对应边不平行

C．另一组对应边不可能垂直

D．以上都不对

考点　平行公理

题点　利用等角定理求角

答案　D

解析　另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理（若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补）的区别．

4．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是（　　）

A．相交B．异面C．平行D．垂直

考点　平行公理

题点　判断、证明线线平行

答案　C

解析　如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH，故选C.

5．长方体的一条体对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（　　）

A．2对B．3对

C．6对D．12对

考点　异面直线的判定

题点　异面直线的判定

答案　C

解析　如图所示，在长方体中没有与体对角线平行的棱，要求与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线，只要去掉与AC1相交的六条棱，其余的都与体对角线异面，∴与AC1异面的棱有BB1，A1D1，A1B1，BC，CD，DD1，∴长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有6对，故选C.

6．已知直线a，b，c，下列三个命题：

①若a与b异面，b与c异面，则a与c异面；

②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；

③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.

其中，正确命题的个数是（　　）

A．0B．1C．2D．3

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定的应用

答案　A

解析　①不正确，如图；②不正确，有可能相交，也有可能异面；③不正确，可能平行，可能相交，也可能异面．

7．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则（　　）

A．1＜MN＜5B．2＜MN＜10

C．1≤MN≤5D．2＜MN＜5

考点　平行公理

题点　判断、证明线线平行

答案　A

解析　取AD的中点H，连接MH，NH，则MH∥BD，且MH＝

BD，NH∥AC，且NH＝

AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH

8．已知ABCD－A1B1C1D1是正方体，则异面直线A1C1与B1C所成角的大小为（　　）

A．30°B．45°

C．60°D．90°

考点　异面直线所成的角

题点　求异面直线所成的角

答案　C

二、填空题

9．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有________．（填上所有正确答案的序号）

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定

答案　②④

解析　在图①中，直线GH∥MN；

在图②中，G，H，N三点共面，

但M∉平面GHN，N∉GH，

因此直线GH与MN异面；

在图③中，连接GM，GM∥HN，因此GH与MN共面；

在图④中，G，M，N共面，但H∉平面GMN，G∉MN，

因此GH与MN异面．

所以在图②④中GH与MN异面．

10．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.

考点　异面直线所成的角

题点　异面直线所成角的应用

答案　5

解析　取AD的中点P，连接PM，PN，

则BD∥PM，AC∥PN，

∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，

∴∠MPN＝90°，PN＝

AC＝4，PM＝

BD＝3，

∴MN＝5.

11.如图是正四面体（各面均为正三角形）的平面展开图，G，H，M，N分别为DE，BE，EF，EC的中点，在这个正四面体中：

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

考点　空间中直线与直线的位置关系

题点　空间中直线与直线的位置关系判定的应用

答案　②③④

解析　把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

三、解答题

12．如图所示，E，F分别是长方体A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中点．求证：

四边形B1EDF是平行四边形．

考点　平行公理

题点　判断、证明线线平行

证明　设Q是DD1的中点，连接EQ，QC1.

∵E是AA1的中点，

∴EQ∥A1D1且EQ＝A1D1.

又在矩形A1B1C1D1中，

A1D1∥B1C1且A1D1＝B1C1，

∴EQ∥B1C1且EQ＝B1C1.

∴四边形EQC1B1为平行四边形，

∴B1E∥C1Q且B1E＝C1Q.

又∵Q，F是DD1，C1C两边的中点，

∴QD∥C1F且QD＝C1F，

∴四边形QDFC1为平行四边形．

∴C1Q∥DF且C1Q＝DF，

∴B1E∥DF且B1E＝DF，

∴四边形B1EDF为平行四边形．

13．如图，平面SAB为圆锥的轴截面，O为底面圆的圆心，M为母线SB的中点，N为底面圆周上的一点，AB＝4，SO＝6.

（1）求该圆锥的侧面积；

（2）若直线SO与MN所成的角为30°，求MN的长．

考点　异面直线所成的角

题点　异面直线所成角的应用

解　

（1）由题意知SO⊥底面ABN，

在Rt△SOB中，OB＝

AB＝2，SO＝6，

所以SB＝

＝2

.

所以该圆锥的侧面积S＝π·OB·SB＝4

π.

（2）取OB的中点C，连接MC，NC，

因为M为SB的中点，所以MC为△SOB的中位线，

所以MC∥SO，MC＝

SO＝3.

又因为SO⊥底面ABN，

所以MC⊥底面ABN，

因为NC⊂底面ABN，所以MC⊥NC.

因为直线SO与MN所成的角为30°，

所以∠NMC＝30°，

在Rt△MCN中，

＝cos30°，

所以MN＝

＝

＝2

.

四、探究与拓展

14．设P是直线l外一定点，过点P且与l成30°角的异面直线（　　）

A．有无数条

B．有两条

C．至多有两条

D．有一条

考点　异面直线所成的角

题点　异面直线所成角的应用

答案　A

解析　如图所示，过点P作直线l′∥l，以l′为轴，与l′成30°角的圆锥面的所有母线都与l成30°角．

15．如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1与AC，AB所成的角均为60°，∠BAC＝90°，且AB＝AC＝AA1，求异面直线A1B与AC1所成角的余弦值．

考点　异面直线所成的角

题点　求异面直线所成的角

解　如图所示，把三棱柱补为四棱柱ABDC－A1B1D1C1，

连接BD1，A1D1，AD，

由四棱柱的性质知BD1∥AC1，

则∠A1BD1就是异面直线A1B与AC1所成的角．

设AB＝a，

∵AA1与AC，AB所成的角均为60°，

且AB＝AC＝AA1，

∴A1B＝a，BD1＝AC1＝2AA1·cos30°＝

a.

又∠BAC＝90°，

∴在矩形ABDC中，AD＝

a，

∴A1D1＝

a，

∴A1D

＋A1B2＝BD

，

∴∠BA1D1＝90°，

∴在Rt△BA1D1中，cos∠A1BD1＝

＝

＝

.