第06章MATLAB符号计算.docx
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第06章MATLAB符号计算
第六章MATLAB符号计算
MATLAB具有符号数学工具箱，可以对符号表达式进行运算和处理。
基本运算包括复合、化简、微分、积分,以及求解代数方程式、微分方程式等。
另外还可以求解线性代数题,如求解符号矩阵的逆、行列式的精确结果,找出符号矩阵的特征值。
符号运算不产生由数值运算产生的运算误差,可以在运算最后数字代入结果,避免了由于中间运算而产生的累积误差,因而能够得到指定精度的结果。
6.1、符号计算基础
1、建立符号变量和符号常数
MATLAB中提供了两个建立符号对象的函数或命令：
sym和syms。
（1）sym函数sym函数用来建立单个符号量,其调用格式为
符号变量名=sym（符号字符串）
其中：
符号字符串可以是常量、变量、函数或表达式。
例如,a=sym（‘a’）建立符号变量a,用户可以在表达式中使用变量a进行各种运算。
用sym函数还可以定义符号常量,使用符号常量进行运算所得的结果是精确的数学bda式,而数值计算则是将结果近似为一个有限小数。
⑵syms函数syms函数的一般调用格式为
symsvar1var2…varn
其中，var1,var2,…,varn是定义为符号变量的变量名。
用这种格式定义符号变量时,不要在变量名上加字符分界符（‘）,变量间用空格而不要用逗号分隔。
symsxbeta等同于
x=sym（‘x’）
beta=sym（‘beta’）
2、建立符号表达式
（1）用sym函数建立符号表达式
命令语旬
y1=sym（‘1/sqrt（2*x）’）
返回
y1=
1/sqrt（2*x）
命令语旬
M=sym（‘[a,b;c,d]’）
返回
M=
[a,b]
[c,d]
⑵使用已经定义的符号变量组成符号表达式
命令语旬
symsxy
v=3*x^2-5*y+2*x*y+6
返回
v=
3*x^2-5*y+2*x*y+6
3.findsym命令和默认符号变量
findsym命令可以用来找出存在于符号表达式中的符号变量,其格式为
findsym（s）或findsym（s,n）
findsym（s）命令显示存在于表达式s内的所有符号变量;findsym（s,n）命令以约定的顺显示存在于表达式s内的n个符号变量。
MATLAB将按照以下默认的顺序显示表达式s内n个符号变量:
从x开始,按照字母表上变量与x的接近程度排序,如果两个变量与x的距离相同,则按字母顺序,在x后面的变量优先。
例如：
symsxhwydt
s=h*x^2+d*y^2+t*w^2
findsym（s）
返回
ans=
d,h,t,w,x,y
命令
findsym（s,5）
返回
ans=
x,y,w,t,h
4.合并同幂次项、展开和因式分解运算
（1）collect命令合并表达式中同幂次的项,结果按照幂次递减的顺序排列,调用的格式为:
collect（s）
这里s是表达式,按MATLAB默认变量的顺序进行合并。
例如：
symsxy
s=（2*x^2+y^2）*（x+y^2+3）；
t=co11ect（s）
返回
t=
2*x^3+（2*y^2+6）*x^2+y^2*x+y^2*（y^2+3）
按MATLAB默认变量的顺序,x最优先,因此这里对x进行合并。
如果变量x用变量u代替,执行的结果就不同了:
symsuy
s=（2*u^2+y^2）*（u+y^2+3）;
t=collect（s）
t=
y^4+（2*u^2+u+3）*y^2+2*u^2*（u+3）
这是因为按MATLAB默认变量的顺序,y比u距x近,y比u优先,因此这里对进行合并。
如果要指定合并的变量，用下面的格式：
collect（s,var）
它将合并表达式中由var指定的变量的同幂次的项。
例如：
symsxy;
s=（2*x^2+y^2）*（x+y^2+3）;
u=collect（s,y）
返回
u=
y^4+（2*x^2+x+3）*y^2+2*x^2*（x+3）
（2）因式分解与展开
MATLAB中符号表达式的因式分解与展开的函数如下：
factor（s）,对s分解因式。
expand（s）,对s进行展开。
其中,s是符号表达式或符号矩阵。
例如命令语句
f=factor（123）
返回
f=
341
命令语句
expand（（x-2）*（x-4））
返回
x^2-6*x+8
命令语句
expand（cos（x+y））
返回
cos（x）*cos（y）-sin（x）*sin（y）
命令语句
expand（exp（（a+b）^2））
返回
expand（a^2）*expand（a*b）^2*exp（b^/2）
命令语句
symst
expand（[sin（2*t）,cos（2*t）]）
返回
[2*sin（t）*cos（t）,2*cos（t）^2-1]
5.表达式化简
MATLAB提供的对符号表达式化简的函数如下:
simp1ify（s）,应用函数规则对s进行化简。
simp1e（s）,调用MATLAB的其他函数对表达式进行综合化简。
例如命令语句
simp1ify（sin（x）^2+cos（x）^2）
返回
1
命令语句
simplify（exp（c*log（sqrt（a+b））））
返回
（a+b）^（c/2）
命令语句
S=[（x^2+5*x+6）/（x+2）,sqrt（16）]
R=simp1ify（S）
返回
R=[x+3,4]
6.符号表达式与数值表达式之间的转换
利用函数sym可以将数值表达式变换成它的符号表达式。
例如命令语句
sym（1.5）
返回
ans=
3/2
命令语句
sym（3.14）
返回
ans=
157/50
函数numeric或eva1可以将符号表达式变换成数值表达式。
例如语句命令
numeric（‘1+2^2’）
返回
ans=
5
命令语句
f=sym（‘1+x^2’）;
x=sym（‘2’）;
p=eval（f）
返回
p=
5
6.2、符号函数的极限、导数和积分
1、符号函数的极限
MATLAB中求函数极限的函数是1imit,调用格式如下:
1imit（f,var,a）,计算当变量var趋近于常数a时,函数f的极限值。
1imit（f,var,a,‘right’）,计算变量var从右边趋近于a时，符号函数f的极限值。
1imit（f,var,a,‘left’）,计算变量var从左边趋近于a时,符号函数f的极限值。
例如:
命令语句
symsxath;
1imit（sin（x）/x,x,0）
返回
ans=
1
命令语句
1imit（（sin（x+h）-sin（x））/h,h,0）
返回
ans=
cos（x）
命令语句
1imit（（sin（x+h）-sin（x））/h,x,0）
返回
ans=
0
2、符号函数的导数
MATLAB中求导的函数为
diff（f,var,n）
表示求函数函数f对变量var的n阶导数。
当n=1时可以省略。
若不指定求到变量，则由默认规则确定。
例:
求下列函数的导数。
（1）
，求y’,y”,y”’。
（2）
，求
和
。
求解程序及结果如下:
命令语句
symsabtxyz;
f1=x*cos（x）;
d1=diff（f1,x）%求x的1阶导数
d2=diff（f1,x,2）%求x的2阶导数
d1=diff（f1,x,3）%求x的3阶导数
返回
d1=
cos（x）-x*sin（x）
d2=
-2*sin（x）-x*cos（x）
d3=
-3cos（x）+x*sin（x）
命令语句
f2=x*exp（y）/y^2;
zx=diff（f2,x）
zy=diff（f2,y）
返回
zx=
exp（y）/y^2
zy=
x*exp（y）/y^2-2*x*exp（y）/y^3
3.符号函数的积分
在MATLAB中,求积分的函数是int,其调用格式如下：
int（f,v）,以v为自变量,对被积函数符号表达式f求不定积分。
int（f,v,a,b）,求被积函数f在区间[a、b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数,也可以是一个符号表达式。
例如命令语句
symx
int（-2*x/（1+x^2）^2,x）
返回
ans=
x*atan（x）
命令语句
int（x*log（1+x）,x,0,1）
返回
ans=
1/4
例：
求椭球
的体积。
用平面
（
）去截取上述椭球,其相交线是一个椭圆,该椭圆在xy平面t投影的面积是
椭球的体积
。
MATLAB程序如下:
symsabcz;
f=pi*a*b*（c^2-z^2）/c^2;
V=int（f,z,-c,c）
程序运行结果如下:
V=
4/3*pi*a*b*c
4.符号方程求解
（1）符号代数方程求解
代数方程是指未涉及微积分运算的方程,相对比较简单,可用函数so1ve求其解,格式如下：
solve（eq,v）,求解符号表达式eq表示的代数方程eq=0的解，求解变量为v。
solve（eq1,eq2,…,eqn,v1,v2,…,vn）,求解符号表达式eq1、eq2、
eqn组成的代数方程组,求解变量分别v1,v2,…,vn。
若不指定求解变量，则由默认规则确定。
例如命令语句
solve（‘a*x^2+b*x+c’,x）
返回
ans=
[1/2/a*（-b+（b^2-4*a*c）^（1/2））]
[1/2/a*（-b-（b^2-4*a*c）^（1/2））]
命令语句
so1ve（‘a*x^2+b*x+c’,‘b’）
返回
ans=
-（a*x^2+c）/x
命令语句
S=solve（‘x+y=1’,‘x-11*y=5’）
返回
S.y=-1/3,S.x=4/3%构体变量
命令语句
A=so1ve（‘a*u^2+v^2’,‘u-v=1’,‘a^2-5*a+6’）
返回
A=
a:
[4x1sym]
u:
[4x1sym]
v:
[4x1sym]
（2）符号微分方程求解
MATLAB中用大写字母D表示导数。
例如Dy表示y’,D2y表示y”,Dy（0）=5表示y’（0）=5,D3y+D2y+Dy-x+5=0表示微分方程y’”+y”+y’-x+5=0。
求解常微分方程的函数是dso1ve，调用的格式为
dsolve（‘eqn1’,‘cond’,‘var’）
该函数求解微分方程eqn1在初值条件cond下的特解。
参数var描述方程中的变量符号,省略时按默认原则处理;若没有给出初值条件cond,则求方程的通解。
dsolve在求微分方程组时的调用格式为:
dsolve（‘eqn1’,‘eqn2’,…,’eqn’,‘cond1’,‘cond2’,…,’condn’,‘var1’,…,‘varN’）
函数求解微分方程组eqn1,…,eqn在初值条件cond1,…,condn的特解,若不给出初值条件,则求方程组的通解,var1,…,varn给出求解变量。
例求下列微分方程的解。
⑴求
的通解；⑵求
的特解，
；
（3）求
的通解。
MATLAB程序如下:
y=dsolve（‘Dy-（x^2+y^2）/x^2/2’,‘x’）
y=dsolve（（Dy-x^2/（1+y^2）’,‘y
（2）=1’）
[x,y]=dsolve（‘Dx=4*x-2*y’,‘Dy=2*x―y’,‘t’）
5.级数
（1）级数求和
级数的求和使用符号表达式求和函数symsum,调用格式如下：
symsum（s,v）,s表示一个级数的通项,是一个符号表达式,v是求和变量,从0至v-1。
symsum（s,v,a,b）,s表示一个级数的通项,是一个符号表达式,v是求和变量,a和b分别是开始项和结束项。
v省略时使用系统的默认变量。
例如：
求级数之和：
（1）
；
（2）
MATLAB程序如下:
symsknx
symsum（k^2〉
返回
ans=
1/3*k^3-1/2*k^2+1/6*k
命令
symsum（k^2`0`10）
返回
ans=
385
命令
symsum（sin（k*pi）/k,k,0,n）
返回
ans=
-1/2*sin（k*（n+1））/k+1/2*sin（k）/k/（cos（k）-1）*cos（k*（n+1））-1/2*sin（k）/k/（cos（k）-1）
（2）函数的泰勒级数
MATLAB中提供了将函数展开为幂级数的函数tay1or,其调用格式为
tay1or（f，v，n，a）
将函数f按变量v在v=a处展开为泰勒级数,展开到第n项（即变量v的n-1次幂）为止。
的默认值是0。
例：
求函数
在x=0处的5阶泰勒展开式。
MATLAB程序如下:
x=sym（‘x’）;
f2=sqrt（1-2*x+x^3）-（1-3*x+x^2）^（1/3）;
taylor（f2,x,5,0）
程序运行结果如下:
ans=
1/6*x^2+x^3+119/72*x^4
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