初中数学定义定理公理公式汇编 完整版.docx

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初中数学定义定理公理公式汇编完整版

初中数学定义、定理、公理、公式汇编

一、空间与图形

（一）图形的认识

★

（1）直线、线段、射线、角

1.过两点有且只有一条直线.

（简：

两点确定一直线）

2.两点之间线段最短

垂线的性质：

1.过一点有且只有一条直线和已知直线垂直

2.直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短.（简：

垂线段最短）

线段垂直平分线的性质、判定

1.定理：

线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等.

2.逆定理：

和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.

3.线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合.

角

1.同角或等角的补角相等.

2.同角或等角的余角相等.

3.对顶角的性质：

对顶角相等

角的平分线的性质、判定

性质：

在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等.

判定：

到一个角的两边的距离相同的点，在这个角的平分线上.

★

（2）相交线与平行线

平行线的判断

1.平行公理经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行.

2.如果两条直线都和第三条直线平行，这两条直线也互相平行（简：

平行于同一直线的两直线平行）

3.同位角相等，两直线平行.

4.内错角相等，两直线平行.

5.同旁内角互补，两直线平行.

平行线的性质

1.两直线平行，同位角相等.

2.两直线平行，内错角相等.

3.两直线平行，同旁内角互补.

★（3）三角形

三角形三边的关系

三角形两边的和大于第三边、三角形两边的差小于第三边.

三角形角的关系

1.三角形内角和定理三角形三个内角的和等于180°.

2.直角三角形的两个锐角互余.

3.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

4.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.

全等三角形的性质、判定（至少要找一条边）

1.全等三角形的对应边、对应角相等.

2.边角边公理（SAS）

3.角边角公理（ASA）

4.推论（AAS）

5.边边边公理（SSS）

6.斜边、直角边公理（HL）.

等腰三角形的性质

①等腰三角形的两个底角相等；

②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）

③推论3：

等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于60°.

等腰三角形判定

1.等腰三角形的判定定理如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（等角对等边）

2.三个角都相等的三角形是等边三角形.

3.有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形.

直角三角形的性质：

①直角三角形的两个锐角互为余角；

②直角三角形斜边上中线等于斜边的一半；

③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；

④直角三角形中

角所对的直角边等于斜边的一半；

直角三角形的判定：

①有两个角互余的三角形是直角三角形；

②如果三角形的三边长a、b、c有下面关系

，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的逆定理）。

★（4）四边形

n边形、四边形的内角和、外角和

1.四边形的内角和等于360°.

2.四边形的外角和等于360°

3.多边形内角和定理：

n边形的内角的和等于（n-2）180°.

４.推论任意多边的外角和等于360°.

平行四边形性质

1.平行四边形的对角相等.

2.平行四边形的对边平行且相等.

3.夹在两条平行线间的平行线段相等.

4.平行四边形的对角线互相平分.

平行四边形判定

1.两组对边分别平行的四边形

2.两组对角分别相等的四边形

3.两组对边分别相等的四边形

4.对角线互相平分的四边形

5.一组对边平行相等的四边形

矩形性质

1.矩形的四个角都是直角.

2.矩形的对角线相等.

矩形判定

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形.

2.有三个角是直角的四边形是矩形.

3.对角线相等的平行四边形是矩形.

菱形性质

1、菱形的四条边都相等.

2.菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角.

3、菱形面积=对角线乘积的一半，即

菱形判定

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形

2.四边都相等的四边形是菱形

3.对角线互相垂直的平行四边形是菱形.

正方形性质

1.正方形的四个角都是直角，四条边都相等.

2.正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每条对角线平分一组对角.

正方形判定

1.四个角都是直角，四条边都相等的四边形是正方形

2.①有一组邻边相等的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形

三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半.

平面图形的镶嵌：

任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面（密铺）

★（5）圆

1.点与圆的位置关系（设圆的半径为r，点P到圆心O的距离为d）：

①点P在圆上，则d=r，反之也成立；

②点P在圆内，则dr，反之也成立；

圆的确定：

不在一直线上的三点确定一个圆

2.垂径定理

垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧.

推论①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.

3.圆是以圆心为对称中心的中心对称图形.

4.圆心角、弦和弧关系定理：

在同圆或等圆中，圆心角、弦和弧三者之间只要有一组相等，可以得到另外两组也相等.

5.圆周角定理：

一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.

推论：

①同弧或等弧所对的圆周角相等；

②半圆（或直径）所对的圆周角是直角；

90°的圆周角所对的弦是直径.

③如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.

6.三角形的外心，三角形外接圆的圆心，它是三边的中垂线的交点，到三个顶点的距离相等.

7.三角形的内心，三角形内切圆的圆心，它是三个内角的平分线的交点，到三边的距离相等.

*直角三角形三边为a、b、c，c为斜边，

则外接圆的半径

；

内切圆的半径

8.直线和圆的位置关系

①直线l和⊙O相交d＜r

②直线l和⊙O相切d=r

③直线l和⊙O相离d＞r

切线的判定：

经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线

切线的性质：

圆的切线垂直于经过切点的半径

切线长定理.从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.

圆和圆的位置关系

如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上

①两圆外离d＞R+r

②两圆外切d=R+r

③两圆相交R-r＜d＜R+r（R＞r）

④两圆内切d=R-r（R＞r）

⑤两圆内含d＜R-r（R＞r）

关注：

相切（外切、内切）相离（外离、内含）

正多边形和圆

①依次连结各等分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形n（n≥3）:

②经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形.

定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆.

正n边形的每个内角都等于

或等于

定理正n边形的半径和边心距把正n边形分成2n个全等的直角三角形.

正三角形面积

，a表示边长.

扇形弧长：

扇形面积：

圆拄的侧面积

圆拄的表面积

圆锥的侧面积

（a为母线）

圆锥的表面积

（二）图形的变换

★

（1）图形的轴对称

轴对称的基本性质：

对应点所连的线段被对称轴平分；（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形）

★

（2）图形的平移

平移的基本性质：

对应点的连线平行且相等或在同一直线上.

★（3）图形的旋转

图形旋转的基本性质：

对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等；

平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形；

轴对称、平移或旋转变换前后的图形是不变的.中心对称是旋转的特殊形式。

★（4）图形的相似

比例的基本性质如果a:

b=c:

dad=bc

平行线分线段成比例定理：

（1）平行线分线段成比例定理：

三条平行线截两条直线，所得的对应线段的比相等

（2）推论：

平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。

相似三角形判定

1.定理：

平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.

2.两角对应相等，两三角形相似.

3.两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似

4.三边对应成比例，两三角形相似

5.如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似.

相似三角形性质

1.相似三角形对应高的比，对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比.

2.相似三角形周长的比等于相似比.

3.相似三角形面积的比等于相似比的平方.

4.位似图形是相似图形的特殊形式。

位似比等于相似比。

中心对称图形可看作特殊的位似图形

二、数与代数（常用公式定理）

★1.绝对值：

a≥0

丨a丨＝a；

a≤0

丨a丨＝－a．如：

丨－

丨＝

；丨－π丨＝π－．

★2.一个近似数，从左边笫一个不是0的数字起，到最末一个数字止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字

★3.把一个数写成±a×10n的形式（其中1≤a＜10，n是整数），这种记数法叫做科学记数法．

★4.乘法公式（反过来就是因式分解的公式）：

①平方差：

（a＋b）（a－b）＝a2－b2．

②完全平方：

（a±b）2＝a2±2ab＋b2．

③推广应用：

a2＋b2＝（a＋b）2－2ab，

（a－b）2＝（a＋b）2－4ab．

★5.幂的运算性质：

（m、n为正整数）

①am×an＝am＋n．②am÷an＝am－n．

③（am）n＝amn．④（ab）n＝anbn．⑤（

）n＝

．

⑥

，特别：

⑦a0＝1（a≠0）．

★6.二次根式：

①（

）2＝a（a≥0），

②

＝丨a丨，③

＝

×

，

④

＝

（a＞0，b≥0）．

★7.一元二次方程ax2+bx+c=0（b2-4ac≥0）根为（求根公式与韦达定理）

★8.一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式（△）

=0

方程有两个相等的实数根

>0

方程有两个不相等的实数根

0，y随x的增大而增大,直线y=kx经过

（0，0），（1，k）,经过第一、三象限

②k

0，双曲线在第一、三象限，在每个象限内，随x的增大而减少.

②k<0，双曲线在第二、四象限，在每个象限内，随x的增大而增大.

★15.锐角三角函数：

（工具性知识）

1设∠A是Rt△ABC的任一锐角，

则∠A的正弦：

sinA＝

，

∠A的余弦：

cosA＝

，

∠A的正切：

tanA＝

．

特殊角的三角函数值：

sin30º＝cos60º＝

，sin45º＝cos45º＝

，sin60º＝cos30º＝

，

tan30º＝

，tan45º＝1，tan60º＝

．

②斜坡的坡度：

i＝

＝

．

设坡角为α，则i＝tanα＝

．

三、概率与统计（部分易混知识）

1.概念：

①所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体．从总体中抽取的一部份个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样本容量．

②在一组数据中，出现次数最多的数（有时不止一个），叫做这组数据的众数．

③将一组数据按大小顺序排列，把处在最中间的一个数（或两个数的平均数）叫做这组数据的中位数．

2.公式：

设有n个数x1，x2，…，xn，那么：

①平均数为：

；

②极差=最大值-最小值

③方差公式：

．

五个连续整数的方差是2，标准差为

.

一组数据的方差越大，这组数据的波动越大，越不稳定

3.频率与概率：

（1）频率=

，各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1，频率分布直方图中各个小长方形的面积为各组频率。

（2）概率

①如果用P表示一个事件A发生的概率，则0≤P（A）≤1；P（必然事件）=1；

P（不可能事件）=0；

②大量的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值；

★★★★★作为计算或证明的依据需要掌握的公理、定理，请关注《广州中考指导书》P10-11（望同学们在理解的基础上记忆，重在运用）