排列组合问题常用的解题方法含答案.docx
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排列组合问题常用的解题方法含答案
高中数学排列组合问题常用的解题方法
一、相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列.
例1:
五人并排站成一排,如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法种数有种。
二、相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.
例2:
七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数是。
三、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法.
例3:
A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站A的右边(A、B可不相邻),那么不同的排法种数有。
四、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4:
将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
五、有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法。
例5:
有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法总数有。
六、多元问题分类法
元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最后总计。
例6:
由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有个。
例7:
从1,2,3,…100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
例8:
从1,2,…100这100个数中,任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
七、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
。
例9:
从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同参赛方法?
八、定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素。
例10:
1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的排法有________种。
九、多排问题单排法
把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理。
例11:
6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是。
例12:
8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素要排在后排,有多少种排法?
十、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便。
例13:
从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有种。
十一、选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法。
例14:
四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有________种
例15:
9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同分组法?
十二、部分合条件问题排除法
在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为所求。
例16:
以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个。
例17:
四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共
有种。
十三、复杂排列组合问题构造模型法
例18:
马路上有编号为1,2,3…9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
十四、利用对应思想转化法
例19:
圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?
高中数学排列组合问题常用的解题方法
一、相邻问题捆绑法
题目中规定相邻的几个元素并为一个组(当作一个元素)参与排列.
例1:
五人并排站成一排,如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边,那么不同的排法种数有种。
分析:
把甲、乙视为一人,并且乙固定在甲的右边,则本题相当于4人的全排列,
种。
二、相离问题插空法
元素相离(即不相邻)问题,可先把无位置要求的几个元素全排列,再把规定相离的几个元素插入上述几个元素间的空位和两端.
例2:
七个人并排站成一行,如果甲乙两个必须不相邻,那么不同排法的种数是。
分析:
除甲乙外,其余5个排列数为
种,再用甲乙去插6个空位有
种,不同的排法种数是
种。
三、定序问题缩倍法
在排列问题中限制某几个元素必须保持一定顺序,可用缩小倍数的方法.
例3:
A、B、C、D、E五个人并排站成一排,如果B必须站A的右边(A、B可不相邻),那么不同的排法种数有。
分析:
在
的右边与
在
的左边排法数相同,所以题设的排法只是5个元素全排列数的一半,即
种。
四、标号排位问题分步法
把元素排到指定号码的位置上,可先把某个元素按规定排入,第二步再排另一个元素,如此继续下去,依次即可完成.
例4:
将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里,每格填一个数,则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有。
分析:
先把1填入方格中,符合条件的有3种方法,第二步把被填入方格的对应数字填入其它三个方格,又有三种方法;第三步填余下的两个数字,只有一种填法,共有3×3×1=9种填法。
五、有序分配问题逐分法
有序分配问题是指把元素按要求分成若干组,可用逐步下量分组法。
例5:
有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙丙各需1人承担,从10人中选出4人承担这三项任务,不同的选法总数有。
分析:
先从10人中选出2人承担甲项任务,再从剩下的8人中选1人承担乙项任务,第三步从另外的7人中选1人承担丙项任务,不同的选法共有
种。
六、多元问题分类法
元素多,取出的情况也有多种,可按结果要求,分成不相容的几类情况分别计算,最后总计。
例6:
由数字0,1,2,3,4,5组成且没有重复数字的六位数,其中个位数字小于十位数字的共有个。
分析:
按题意,个位数字只可能是0,1,2,3,4共5种情况,分别有
个,
个,合并总计300个。
例7:
从1,2,3,…100这100个数中,任取两个数,使它们的乘积能被7整除,这两个数的取法(不计顺序)共有多少种?
分析:
被取的两个数中至少有一个能被7整除时,他们的乘积就能被7整除,将这100个数组成的集合视为全集I,能被7整除的数的集合记做
共有14个元素,不能被7整除的数组成的集合记做
共有86个元素;由此可知,从
中任取2个元素的取法有
,从
中任取一个,又从
中任取一个共有
,两种情形共符合要求的取法有
种。
例8:
从1,2,…100这100个数中,任取两个数,使其和能被4整除的取法(不计顺序)有多少种?
分析:
将
分成四个不相交的子集,能被4整除的数集
;能被4除余1的数集
,能被4除余2的数集
,能被4除余3的数集
,易见这四个集合中每一个有25个元素;从
中任取两个数符合要;从
中各取一个数也符合要求;从
中任取两个数也符合要求;此外其它取法都不符合要求;所以符合要求的取法共有
种。
七、交叉问题集合法
某些排列组合问题几部分之间有交集,可用集合中求元素个数公式
。
例9:
从6名运动员中选出4个参加4×100m接力赛,如果甲不跑第一棒,乙不跑第四棒,共有多少种不同参赛方法?
分析:
设全集Ⅰ={6人中任取4人参赛的排列},A={甲第一棒的排列},
B={乙跑第四棒的排列},根据求集合元素个数的公式得参赛方法共有:
八、定位问题优先法
某个(或几个)元素要排在指定位置,可先排这个(几个)元素,再排其他元素。
例10:
1名老师和4名获奖同学排成一排照像留念,若老师不在两端,则有不同的排法有________种。
分析:
老师在中间三个位置上选一个有
种,4名同学在其余4个位置上有
种方法;所以共有
种。
九、多排问题单排法
把元素排成几排的问题,可归结为一排考虑,再分段处理。
例11:
6个不同的元素排成前后两排,每排3个元素,那么不同的排法种数是。
分析:
前后两排可看成一排的两段,因此本题可看成6个不同的元素排成一排,共
种。
例12:
8个不同的元素排成前后两排,每排4个元素,其中某2个元素要排在前排,某1个元素要排在后排,有多少种排法?
分析:
看成一排,某2个元素在前半段四个位置中选排2个,有
种,某1个元素排在后半段的四个位置中选一个有
种,其余5个元素任排5个位置上有
种,故共有
种排法。
十、“至少”问题间接法
关于“至少”类型组合问题,用间接法较方便。
例13:
从4台甲型和5台乙型电视机中任取出3台,其中至少要甲型和乙型电视机各一台,则不同取法共有种。
分析1:
逆向思考,至少各一台的反面就是分别只取一种型号,不取另一种型号的电视机,故不同的取法共有
种。
分析2:
至少要甲型和乙型电视机各一台可分两种情况:
甲型1台乙型2台;甲型2台乙型1台;故不同的取法有
种。
十一、选排问题先取后排法
从几类元素中取出符合题意的几个元素,再安排到一定位置上,可用先取后排法。
例14:
四个不同的球放入编号为1,2,3,4的四个盒中,则恰有一个空盒的放法共有________种
分析:
先取四个球中二个为一组,另二组各一个球的方法有
种,再排:
在四个盒中每次排3个有
种,故共有
种。
例15:
9名乒乓球运动员,其中男5名,女4名,现在要进行混合双打训练,有多少种不同分组法?
分析:
先取男女运动员各2名,有
种,这四名运动员混和双打练习有
中排法,故共有
种。
十二、部分合条件问题排除法
在选取总数中,只有一部分合条件,可从总数中减去不合条件数,即为所求。
例16:
以一个正方体顶点为顶点的四面体共有个。
分析:
正方体8个顶点从中每次取四点,理论上可构成
四面体,但6个表面和6个对角面的四个顶点共面都不能构成四面体,所以四面体实际共有
个。
例17:
四面体的顶点和各棱中点共10点,在其中取4个不共面的点,不同的取法共
有种。
分析:
10个点中任取4个点共有
种,其中四点共面的有三种情况:
①在四面体的四个面上,每面内四点共面的情况为
,四个面共有
个;②过空间四边形各边中点的平行四边形共3个;③过棱上三点与对棱中点的三角形共6个;所以四点不共面的情况的种数是
种。
十三、复杂排列组合问题构造模型法
例18:
马路上有编号为1,2,3…9九只路灯,现要关掉其中的三盏,但不能关掉相邻的二盏或三盏,也不能关掉两端的两盏,求满足条件的关灯方案有多少种?
分析:
把此问题当作一个排对模型,在6盏亮灯的5个空隙中插入3盏不亮的灯
种方法。
所以满足条件的关灯方案有10种。
十四、利用对应思想转化法
例19:
圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有多少个?
分析:
因为圆的一个内接四边形的两条对角线相交于圆内一点,一个圆的内接四边形就对应着两条弦相交于圆内的一个交点,于是问题就转化为圆周上的10个点可以确定多少个不同的四边形,显然有
个,所以圆周上有10点,以这些点为端点的弦相交于圆内的交点有
个。