搅拌车前悬架钢板弹簧的计算分析及试验研究911用于合并.docx
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搅拌车前悬架钢板弹簧的计算分析及试验研究911用于合并
摘要
随着我国基础设施建设的快速发展，混凝土搅拌运输车作为一种运输混凝土的专用车被广泛应用。
其施工过程一般由满载运料和空载返回两种状态组成，在整个过程中满载和空载的时间各占50%。
目前混凝土搅拌运输车的前悬架设计指标一般只考虑满载舒适安全的要求，而不考虑空载状态，导致空载时有明显的共振现象，严重影响搅拌车的舒适性。
在悬架装置中，钢板弹簧起传递车轮与车架之间的力和力矩,缓和路面不平引起振动和冲击的作用，是车辆设计优劣的关键之一，因此优化其结构和性能参数对车辆安全性和舒适性具有重要意义。
在各类钢板弹簧中，变刚度少片簧因结构简单，成本低，质量轻，适应性好等优点，已成为悬架装置研究的重点，是未来高性能搅拌车前悬架装置的发展趋势。
本文通过前期大量的调查和研究，拟设计一种搅拌车专用前悬架变刚度少片簧，使其既能保证搅拌车满载时的行驶安全，又能大大提高空载时的乘坐舒适性能。
首先，对比分析各类钢板弹簧的特性，选择变刚度钢板簧作为研究目标；其次，根据多种理论方法，建立钢板弹簧的数学模型，并进行应力和模态分析，得到一种满足要求的变刚度少片簧；最后通过台架试验和道路试验，验证仿真分析结论。
本研究既解决了搅拌车使用中遇到的现实问题，同时也促进了专用车设计水平的发展，在理论应用方面有积极意义。
关键词：
混凝土搅拌运输车钢板弹簧仿真应用
Abstract
目录
摘要1
Abstract2
目录3
第一章绪论5
1.1研究目的和意义5
1.2．载货汽车用钢板弹簧的概况5
1.3、钢板弹簧的特性6
1.3.1多片钢板弹簧的特性6
1.3.2少片变截面钢板弹簧的特性8
1.4、钢板弹簧的功能结构8
1.5、钢板弹簧应用中存在的舒适性问题10
1.6本课题研究内容和意义11
第二章钢板弹簧的计算模型分析13
2.1钢板弹簧的力学模型概况13
2.2钢板弹簧计算的材料力学基础13
2.2.1等截面简支梁和悬臂梁13
2.2.2梯形简支梁和梯形悬臂梁15
2.3共同曲率法17
2.3.1板片厚度相同的多板弹簧的计算17
2.3.2板厚不同的多板簧计算18
2.4集中载荷法20
2.5综合法22
2.6有限元分析法24
2.6.1什么是有限元24
2.6.2有限元法的发展概况25
2.6.3通用有限元软件ANSYS的介绍26
2.6.4结构分析在ANSYS的实现26
2.7多片钢板弹簧有限元模型的建立27
2.7.1多片钢板弹簧强度和刚度分析27
2.7.2多片钢板弹簧模态分析32
2.7.3多片钢板弹簧有限元计算结果分析34
2.7.4本章小结35
第三章钢板弹簧的试验研究与分析36
3.1试验项目及其方法36
3.1.1弹簧特性试验36
3.1.2台架疲劳试验36
3.2试验验证37
3.2.1试验对象37
3.2.2试验条件38
3.3试验过程简介38
3.4样车的试验分析38
3.4.1激励源识别38
3.4.2悬架参数的影响分析40
3.4.3悬架参数调整的测试验证41
3.4.4样车改善对策41
3.4.5结论42
3.5改进前少片簧应力道路试验43
3.5.1试验用少片钢板弹簧43
3.5.2试验状态43
3.5.3试验结果44
3.6改进后少片簧应力台架试验45
3.6.1试验用少片钢板弹簧45
3.6.2测试状态46
3.6.3试验结果46
3.6.4试验分析47
3.7改进后少片簧整车道路试验48
3.7.1试验用少片钢板弹簧49
3.7.2台架试验49
3.7.3道路试验49
3.8本章小结49
3.9整车振动对比试验50
3.9.1试验测试基本情况及环境状况50
3.9.2试验测试51
3.9.3本章小结54
四总结55
4.1研究的主要内容55
4.2研究展望56
第一章绪论
1.1研究背景及意义
安全、节能、环保、舒适性和耐久性是衡量现代载货汽车性能的五大指标，其中与顾客使用感受最密切的是车辆的乘坐舒适性，目前已受到各研究机构的广泛重视。
其中对于载货汽车行驶平顺性、操作稳定性、横向稳定性及纵向稳定性、通行性、燃油经济性以及噪音和隔振性影响比较重要的载货汽车总成，就是汽车悬架。
悬架通常由弹性元件、导向机构及避震机构组成，其中弹性元件是最重要的。
钢板弹簧是载货汽车悬架中最早采用的弹性元件。
由于其具有：
（1）结构简单，制造、维修方便、价格经济；
（2）除了垂向载荷外，还能将侧向力、纵向力及其力矩从车轮传递到车架或车身；（3）能使上述作用力合理地分布到车架或车身上；（4）可实现悬架弹性特性的渐变性等优点，从而获得了广泛的应用。
随着在结构形式、设计方法及材料性能、加工工艺方面的不断发展，钢板弹簧能够更好地满足整车性能、疲劳寿命以及轻量化设计的要求。
直到现在钢板弹簧仍是载货汽车和部分客车的非独立悬架中主要采用元件。
目前混凝土搅拌运输车（以下简称搅拌车）采用的都是通用的载货汽车底盘背一个搅拌筒上装，搅拌车与普通的载货汽车相比，在运输方面有其特殊性，始终处于满载送料与空车返回循环中，空载和满载运输时间各占50%。
目前大量搅拌车司机反馈空车回程车辆振动大，极不舒适。
在通常的载货车板簧设计舒适性指标方面，大多数只考虑满载舒适安全要求，牺牲了空载舒适要求，但针对搅拌车的特殊工况要求，必须考虑空车舒适安全要求【1-3】。
该研究的目的，是研究设计开发一款搅拌车专用前悬架钢板弹簧，既能满足满载送料安全，又能满足空车回程舒适。
1.2．载货汽车用钢板弹簧的概况
从汽车诞生到现在，钢板弹簧一直是汽车悬挂弹簧的主要形式，汽车钢板弹簧不仅起着弹性元件的作用，而且也能起导向元件的作用，并且能够传递各种力和扭矩，其中片间的摩擦还可以部分衰减振动，更重要的钢板弹簧具有结构简单，可靠性高和加工方便的优点所以汽车发展到今天，钢板弹簧始终没有被淘汰，它广泛的应用在除轿车外的各种载货汽车中。
常见的汽车钢板弹簧有多片等截面式、主副复合式、少片变截面式、渐变刚度式等几种，如图1-1中（a）、（b）、（c）、（d）所示。
其中多片等截面式和少片变截面属于定刚度簧，主副复合式和渐变刚度式簧属于变刚度簧【4】。
（a）多片等截面式
（b）主副簧复合式
（c）少片变截面式
（d）渐变刚度式
图1-1常见的车用钢板弹簧
在采用传统弹簧的吸震式悬架设计上，弹簧起支持车身以及吸收不平路面和其他施力对轮胎所造成的冲击的作用，而这里所谓的其他施力包含加速、减速、制动、转弯等对弹簧造成的施力。
更重要的是在消除振动的过程中要保持轮胎与路面的持续接触，维持车辆的循迹性。
如果弹簧很软，则很容易出现"坐底"的情况，即将悬架的行程用尽。
假如在转弯时发生坐底情况，则可视为弹簧的弹力系数变成无限大（已无压缩的空间），车身会立即产生质量转移，使循迹性丧失。
如果这辆车有着很长的避振行程，那么或许可以避免"坐底"，但相对的车身也会变得很高，而很高的车身意味着很高的车身重心，车身重心的高低对操控表现有决定性的影响，所以，太软的弹簧会导致操控上的障碍。
如果路面的崎岖度较大，那就需要比较软的弹簧才能确保轮胎与路面接触，同时弹簧的行程也必须增加。
弹簧的硬度选择要由路面的崎岖程度来决定，越崎岖要越软的弹簧，但要多软则是个关键的问题，通常这需要经验的累积。
一般来说，软的弹簧可以提供较佳的舒适性以及行经较崎岖的路面时可保持比较好的循迹性；但是，在行经一般路面时，却会造成悬架系统较大的上下摆动，影响操控。
而在配备有良好空气动力学组件的车辆上，软的弹簧在速度提高时会使车高发生变化，造成低速和高速时不同的操控特性。
一般载货汽车均采用钢板弹簧作为弹性元件的非独立悬架，因钢板弹簧既有缓冲、减振的功能，又起传力和导向的作用，使得悬架结构大为简化。
为了充分利用材料，钢板弹簧做成接近于等应力粱的形式，分为2种类型：
一种是等厚度，宽度呈现两端狭，中间宽，即多片钢板弹簧，传统的钢板弹簧就是这一类型。
这种钢板弹簧由多片长度不等、宽度一样的钢片迭成，现在多数大客车、货车都使用这种钢板弹簧。
另一种是等宽度、两端薄、中间厚的。
常见的少片钢板弹簧就是这一类型，多用于轻中型汽车。
多片钢板弹簧的各片钢板叠加成倒三角形状，钢板的片数与支承汽车的质量和减振效果相关，钢板越多越厚越短，弹簧刚性就越大；但是，当钢板弹簧挠曲时，各片之间就会互相滑动摩擦产生噪声，摩擦还会引起弹簧变形，造成行驶不平顺，因此，在承载量不是很大的汽车上，就出现了少片钢板弹簧，以消除多片钢板弹簧的缺陷。
少片钢板弹簧的钢板截面变化大，从中间到两端的截面是逐渐不同，因此轧制工艺比较复杂。
为了减轻质量和轧制工艺难度，目前出现了一种纤维增强塑料（FRP）代替钢板，质量可减少1/2以上【5】。
钢板弹簧的中部一般固定在车桥上。
主片卷耳受力严重、是薄弱处，为改善主片卷耳的受力情况，常将第二片末端也弯成卷耳，包在主片卷耳的外面（亦称包耳）。
为了使得在弹簧变形时各片有相对滑动的可能，在主片卷耳与第二片包耳之间留有较大的空隙。
有些悬架中的钢板弹簧两端不做成卷耳，而采用其他的支承连接方式（如非独立悬架）。
中心螺栓用来连接各种弹簧片，并保证各片装配时的相对位置。
中心螺栓到两端卷耳中心的距离可以相等，也可不相等者。
钢板弹簧端部有三种结构型式：
端部为矩形的钢板，其制造简单，广泛应用在载货汽车上；端部为梯形的钢板，其质量小、节省钢材，较多的用在载货汽车上；端部为椭圆形的钢板，这种结构改善了应力分布状况，片端弹性好，片间摩擦小，重量也较轻，但制造工艺复杂，成本较高，一般在轿车上应用较多。
钢板弹簧将车桥与车身连接起来，起到缓冲、减振和传力的作用。
由于载货汽车后悬架载质量变化较大，为了保持悬架的频率不变或变化不大，广泛地在后悬架中采用副钢板弹簧总成。
副钢板弹簧总成一般装在主钢板弹簧总成上方，当后悬架负荷较小时，仅由主钢板弹簧起作用。
在负荷增加到一定程度时，副钢板弹簧总成与车架上的支架接触，开始起作用。
此时，主、副钢板弹簧一起工作，一起承受载荷而使悬架刚度增大，保证车身振动频率不至因载荷增加而变化过大。
为了进一步改善钢板弹簧的受力状况，可采用不同形状的断面。
矩形断面钢板弹簧结构简单，但受拉应力一面的棱角处易产生疲劳裂纹；采用上下不对称的横断面，由于断面抗弯的中性轴线上移，不但可减小拉应力，而且节省了材料。
在车架加载弹簧变形时，钢板弹簧各片之间产生相对滑动进而产生摩擦，此时钢板弹簧本身具有一定的减振作用。
如果钢板弹簧各片之间产生干摩擦时，轮胎所受到的冲击要直接传给车架，并直接使钢板弹簧各片磨损，故安装钢板弹簧时，应在各片之间涂上适量的石墨润滑剂。
钢板弹簧各片之间有相对滑动而产生摩擦，可以促进车架振动的衰减，即起减振作用。
除此外，钢板弹簧本身还兼起导向机构的作用，控制车轮相对车身按规定轨迹进行运动，以获得较好的操纵稳定性。
另外钢板弹簧还在车轮与车架间起传递各个方向力矩的作用。
导向机构的断裂将直接危及整车安全性，对于独立悬架应尤为注意。
钢板弹簧多用于厢式车及卡车，由若干片长度不同的细长弹簧片组合而成。
它比螺旋弹簧结构简单,成本低,可紧凑地装配于车身底部，工作时各片间产生摩擦，因此本身具有衰减效果。
但如果产生严重的干摩擦,就会影响吸收冲击的能力。
重视乘坐舒适性的现代轿车很少使用。
1.3钢板弹簧的特性
1.3.1多片钢板弹簧的特性
多片钢板弹簧的各片钢板迭加成倒三角形状，最上端的钢板最长，最下端的
钢板最短。
钢板弹簧主体的中间部位由通过骑马螺栓（又称U型螺栓）固定在车
桥上，两端的卷耳用销子铰接在车架的支架上。
这样，通过钢板弹簧将车桥与车
身连接起来，起到缓冲、减振、传力的作用。
钢板的片数与支承汽车的重量和减
震效果相关，钢板越多越厚越短，弹簧刚性就越大。
但是，当钢板弹簧挠曲时，
各片之间就会互相滑动摩擦产生噪声。
另外，摩擦还会引起弹簧变形，造成行驶
不平顺。
因此，在承载量不是很大的汽车上，就出现了少片钢板弹簧，以消除多
片钢板弹簧的缺陷。
但是由于多片钢板弹簧生产与加工的方便，仍然得到极大程
度的使用。
多片钢板弹簧的结构形式、材料、加工制造手段和设计方法一直在进步和发
展。
近年来，已经开发出中、低碳系列弹簧钢代替原先一直采用的高碳弹簧钢以
提高可加工性，还有的采用复合材料以减轻自重。
在加工手段上，则普遍采用了
预压和应力喷丸等措施提高板弹簧的疲劳寿命。
钢板弹簧的设计也从传统的"初
选参数→试制→试验→修改设计"的模式逐步转向经验设计与优化设计相结合以
缩短开发周期，减少浪费。
在汽车的悬架设计中，弹性元件的设计是一个重要组
成部分。
常用的弹性元件有钢板弹簧、螺旋弹簧、空气弹簧及油气弹簧等。
由于
钢板弹簧在悬架中兼作导向机构用，可使悬架结构简化，且保养维修方便、制造
成本低，所以还在中低档汽车的悬架中广泛采用。
多片钢板弹簧最常用的材料为热轧弹簧扁钢，其截面形状为上下表面平坦（允许稍向内凹），两侧为圆边，圆边半径为厚度的0.65~0.85倍。
由于板簧的疲劳破坏总是始于受拉伸的上表面，故下表面常采用抛物线侧边或单面单槽、单面双槽形状以使截面的中性轴向上移动，减小拉伸应力。
通常认为许用压应力可大于许用拉应力，其比值达1.27~1.30。
经验表明，采用此类截面的板簧与采用传统截面的板簧相比可节约10%~14%的钢材，疲劳寿命约可提高30%。
叶片的端部可以按其形状和加工方式分为矩形、梯形（片端切角）、椭圆形（片端压延）和片端压延切断等四种。
其中矩形为制造成本最低的一种（由于对片端不做任何加工），但同时也是效果最差的一种。
与压延过的片端相比，在片端的接触区域内，传递的压力更大也更集中，导致片间摩擦和磨损加剧。
同时也使板簧的作用机理与"等应力"方式相去甚远，导致了板簧质量的增大。
梯形结构比矩形结构有所改善，制造成本略有增加。
片端压延的椭圆形端部更接近于理想的"等应力"形状，并且在接触区内压力分布更均匀，片间摩擦磨损都有所减少，但需要专门的压延设备。
压延后再切断的端部结构成本最高，效果也最好。
以板簧端部的支承形式而言，可以大致分为卷耳和滑板两大类。
滑板形式多见于两级式主副簧悬架中副簧的支承和平衡悬架中板簧的支承。
卷耳根据其相对板簧上平面的位置可分为上卷耳、平卷耳和下卷耳三类。
其中平卷耳的纵向作用力可以直接传递给主片，减少了附加的对主片的卷曲力矩，下卷耳可用于对板簧的安装位置或角度有特殊要求的情况（比如使轴转向趋于不足转向），但采用下卷耳方式时无法像上卷耳和平卷耳那样可以在必要时用第二片加强卷耳。
1.3.2少片变截面钢板弹簧的特性
少片变截面钢板弹簧是六十年代开始逐渐发展应用，到现今已广泛应用与各种中小型车辆上。
少片钢板弹簧的结构与传统多片簧有所不同，少片簧各片有大致相同的工作长度，其个单片厚度沿片长按一定规律变化以使叶片中应力趋于均匀分布，近似于"等应力梁"，从而优化了受力情况，提高了弹簧的材料利用，减轻了板簧的自重。
同时由于片数减少和各片仅在骑马螺栓夹紧的中部和端部接触，大大减少了片间摩擦，从而加强了簧片的抗疲劳性，并且有利于提高整车的平顺性。
在少片簧的设计方面，由于继承了多片簧的概念，并且由于少片簧各片仅在骑马螺栓夹紧的中部和两端接触，在一定载荷状况下片间的载荷分布可以计算的比较准确，即在很大程度上克服了多片簧设计时片间作用力难于确定带来的缺陷。
由于工作应力可以估计的比较准确，因而可以提高簧片的许用应力，有利于设计重量的降低。
1.4、钢板弹簧应用中存在的舒适性问题
作者以一台使用6缸日野发动机，整车整备质量14460Kg，满载质量达38050Kg的混凝土搅拌运输样车为研究对象。
结合客户反馈及实车主观评价，总结车辆共振特征为：
（1）车辆以48Km/h车速在平直良好路面匀速行驶时，稍微维持一段时间后，驾驶室出现强烈上下抖动；若避开该车速，则共振迅速消失。
（2）上述现象只在空载状态下发生，乘员感觉到抖动具有明显周期性，且很不舒服。
（3）该抖动现象并非混凝土搅拌运输车所特有。
作者随机调查了不同品牌商用车驾驶员，均反映该现象的存在，但程度不同，且未有良好解决办法。
图1-2驾驶员座椅滑轨的垂向振动频谱
为客观上反映该现象，在严格按照出厂标准对车辆进行调试的前提下，对驾驶员座椅滑轨处进行垂向振动测试，其频谱曲线如图1-2所示。
测试表明：
车辆处于48Km/h匀速行驶时，在4.1Hz处驾驶室发生剧烈抖动，振动幅值达到1.29m/s2，频带很窄，明显由共振引起。
共振问题对人体带来了很大的不舒适性，甚至引起更大的问题。
对于共振的引起。
钢板弹簧作为汽车当中重要的弹性减振组件，有一定的影响，后续将对其进行详细分析，找出问题所在，得出优化得结论。
1.5本文的主要研究内容
本课题将针对混凝土搅拌运输车中的一个重要组成部分--钢板弹簧深入的进行计算机辅助建模、优化设计、分析和试验研究。
以优化设计理论为基础，利用ANSYS软件建立模板非线性有限元分析模型，分析计算钢板弹簧的强度与模态；找出钢板弹簧的可以承载的应力强度和共振的频段。
进行钢板弹簧的台架试验研究，对某一前弹簧进行特性试验和台架疲劳试验，确定其弹性变形量和刚度值，检测该板簧的疲劳寿命，并在台架试验后进行实际的道路试验，以验证其最终的结果和实际应用的效果。
因此，本课题的研究具有一定的应用研究价值，同时也可为混凝土搅拌运输车前悬架钢板弹簧的分析和设计水平的提高进行有益的探讨。
第二章钢板弹簧的数学建模与分析
长期以来，人们总结了不少的钢板弹簧的计算方法【16-27】，在这方面主要有三种具有代表性的模型：
（1）共同曲率法，
（2）集中载荷法，（3）综合法。
共同曲率法是二十世纪40年代由前苏联的帕尔希洛夫斯基给出了求解刚度的精确公式后被广泛使用的，其主要思路是：
假设板簧受载变形后，各叶片具有共同的曲率，即弹簧的各叶片沿全程接触。
用共同曲率法计算的刚度是偏大的，而计算的最大的工作应力时偏小的。
集中载荷法时解多片簧另一种经典的线性模型，至今仍在设计中广泛应用。
其基本假设为：
弹簧各相邻叶片之间仅在端部相互接触并受集中载荷，各片之间没有摩擦力。
用集中载荷法计算的刚度时偏小的，而计算的最大的工作应力时偏大的。
综合法是结合上两种方法的优点，其基本思路为：
假设弹簧各片分为下一片夹持的"约束段"与不受下一片约束的"自由段"，并认为在约束段符合共同曲率假设，而在自由段则符合集中载荷假设。
用综合法计算的刚度是偏小的。
从以上的分析来看，以上三种方法都有不足。
在确定叶片间作用力时，必须考虑到钢板弹簧在结构型式、装配及受载方式上的特殊性。
具体而言，这些片间作用力必须同时满足以下两个条件：
（1）变形协调条件：
叶片在这些力的作用下变形后不发生相互干涉；
（2）力的边界条件：
这些力必须是叶片间所可能存在的相互作用。
只有满足以上两个条件才可能计算出精确的解，故以上条件可称之为钢板弹簧的定解条件。
2.1钢板弹簧计算的材料力学基础
2.1.1等截面简支梁和悬臂梁
根据材料力学，等截面直梁弯曲后的曲率由下式给出：
（2-1）
式中，M为作用在梁上的弯矩，E为材料的弹性模量，I为截面惯性矩。
图2-1坐标系和弯矩的正负图2-2简直梁
如图2-1所示，任一平面曲线的曲率都可以写成为：
（2-2）
因为挠度远小于跨度，所以挠曲线通常为一平坦的曲线，很小，因此化简上式得，代入（2-1）式得
（2-3）
这就是直梁挠度计算的基础公式。
当取y轴向上为正方向时，式（2-3）应写成。
图2-2为等截面的跨距2l的简直梁，距离左支撑x处作用的弯矩为M=-Px，代入式（2-3）得
由边界条件x=l处的斜率和支撑处的挠度都为0，可求得两个积分常数。
因此，上式积分可得
（2-4）
在x=l处，即载荷作用点处的挠度f为
则弹簧刚度为
（2-5）
钢板弹簧用马骑螺栓紧固后，可视为图2-3所示的悬臂梁。
在自由段作用垂直载荷P时，距自由端x处的弯矩为M=Px，代入（2-3）式，注意到固定的斜率挠度均为零，两次积分得x处的挠度为
图2-3悬臂梁
载荷作用处x=0，其挠度为
有（2-6）
弹簧刚度为
（2-7）
式（2-4）和式（2-6）具有完全相同的形式，即图2-2和图2-3的梁的挠度曲线是一样的。
因此，对中央作用垂直载荷，两端简支撑的情况，可用跨距取半、载荷取半的悬臂梁代替。
2.1.2梯形简支梁和梯形悬臂梁
图2-4所示跨距为2l、中央作用垂直载荷为2P的梯形简支梁。
如前所述，它也可以用图2-5所示的跨距为l，自由端载荷为P的梯形悬臂梁来代替。
图2-4梯形简支梁图2-5梯形悬臂梁
距自由端x处的板簧宽b可用下式表示，因此x处截面惯性矩I为
以固定端截面惯性矩和代入上式得
（2-8）
距自由端x处受到的弯矩为，整个梁储存的弯曲谈性能U为
（2-9）
根据卡斯蒂里亚诺（Castigliano）定理，载荷作用点处的挠度为
（2-10）
由式（2-8）、（2-9）、（2-10）可导出
（2-11）
式中，是相当于梯形悬臂梁挠度和板宽为的矩形悬臂梁挠度之比值的形状系数，由下式给出：
（2-12）
图2-4所示梯形简支梁的弹簧刚度为
（2-13）
2.2共同曲率法
共同曲率法由前苏联的帕尔希洛夫斯基提出，也称为展成法，是将多板簧在长度上作两等分后，如图2-6（a）所示，再将各簧板排列在同一片面上构成一片簧板，如同中的（b）所示，该板簧的特性等同于原多板簧之半的特性的一种计算方法。
共同曲率假设板簧在长度方向上相互是完全贴合接触的，因而各板在同一位置上的曲率相同。
图2-6共同曲率法模型
2.2.1板片厚度相同的多板弹簧的计算
若按图2-6所示图形展开计算，叶片截面为矩形截面形状，设总片数为，全长片数为，板宽为，则，,弹簧刚度可由下式得到
（2-14）
式中，为单各板片的截面惯性矩，为全部的惯性矩，的值根据式（2-12）求得，其中。
最大弯曲应力出现在板簧中央，为
（2-15）
式中，为单片截面系数，设加在板簧中央的载荷为2P。
图2-7共同曲率法模型
若按图2-7所示的阶梯状展开图计算，多板弹簧自由端的挠度为
（2-16）
式中，为形状系数，其值为
其中，为第i片簧板长度的一半，为主片长度的一半。
因此，跨距为2的多板簧刚度为
（2-18）
最大应力可用式（2-15）计算。
2.2.2板厚不同的多板簧计算
采用阶梯状展开图。
若板簧截面为矩形截面，设第i片簧板的惯性矩为，以表示主片的截面惯性矩，令。
在自由端承受载荷P的阶梯悬臂梁自由端的挠度为
=（2-19）
式中系数为
；。
（2-20）
从而得弹簧刚度为
（2-21）
多板簧中央作用弯矩时，基于共同曲率假设，第i片簧板所受的弯矩可用下式表示：
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