9.解：
（1）如答案图（a）所示，M下降到最底端时速度为零，此时两m速度也为零，M损失的重力势能等于两m增加的重力势能（机械能守恒）
解得
（2）如答案图（b）所示，当M处于平衡位置时，合力为零，T=mg，
则Mg-2mgsinα=0
10．
（1）风力场强度：
风对小球的作用力与对小球最大截面积之比，
即E＝F/S＝k
（2）距P为x处，EP＝Fx＝kSxU＝EP/S＝kS
（4）2ρrv12/3+kx1＝2ρrv22/3+kx2
功和能
典型例题
【例题1】如图1所示，轻绳下悬挂一小球，在小球沿水平面作半径为R的匀速圆周运动转过半圈的过程中，下列关于绳对小球做功情况的叙述中正确的是（）
A.绳对小球没有力的作用，所以绳对小球没做功；
B.绳对小球有拉力作用,但小球没发生位移，所以绳对小球没做功；
C.绳对小球有沿绳方向的拉力，小球在转过半圈的过程中的位移为水平方向的2R，所以绳对小球做了功；
D.以上说法均不对.
【分析与解】从表面上看似乎选项Ｃ说得有道理，但事实上由于绳对小球的拉力是方向不断变化的变力，而变力做功与否的判断应该这样来进行：
在小球转过半圆周的过程中任取一小段圆弧，经考察发现小球在通过这一小段圆弧时所受拉力方向与这一小段位移垂直，因此可以断定在小球通过每一小段圆弧时绳均不对小球做功，由此可知此例应选D.
【例题2】把两个大小相同的实心铝球和实心铁球放在同一水平面上，它们的重力势能分别为和．若把它们移至另一个较低的水平面上时，它们的重力势能减少量分别为和则必有（）
Ａ.＜Ｂ.＞
Ｃ.＜Ｄ.＞
【分析与解】如果重力势能的零势面比两球所处的水平面较低，则显然由于铁的密度较大，同体积的铁球质量较大而使＜；但如就取两球心所在的水平面为重力势能零势面，则又有＝＝0；当然若两球所在的水平面在重力势能的零势面下方，甚至可以有＜＜0.考虑到重力势能的“相对性”，选项Ａ、Ｂ均不应选.但无论重力势能的零势面如何选取，在两球下降相同高度的过程中，质量较大的铁球所减少的重力势能都是较多的，所以此例应选择Ｃ.
【例题3】如图10－2所示，质量分别为、的小球、分别固定在长为的轻杆两端，轻杆可绕过中点的水平轴在竖直平面内无摩擦转动，当杆处于水平时静止释放，直至杆转到竖直位置的过程中，杆对小球所做的功为.杆对小球所做的功为．
【分析与解】在此过程中由于、构成的系统的机械能守恒，因此系统减少的重力势能应与系统增加的动能相等．即
由此解得、两球转到杆处于竖直位置时的速度大小为
而在此过程中、两球的机械能的增加量分别为
所以，此过程中轻杆对Ａ、Ｂ两小球所做的功分别为
【例题4】放在光滑水平面上的长木板，右端用细线系在墙上，如图3所示，左端固定一个轻弹簧，质量为的小球，以某一初速度在光滑木板上表面向左运动，且压缩弹簧，当球的速度减小为初速的一半时，弹簧势能为，这时细线被拉断，为使木板获得的动能最大，木板的质量应等于多少？
其最大动能为多少？
【分析与解】先进行状态分析，当小球碰到弹簧后，小球将减速，当球的速度减小为初速的一半时，弹簧势能为，即表示：
细线断后，小球继续减速，木板加速，且弹簧不断伸长，以整体来看，系统的机械能守恒，若小球的速度减小为0时，弹簧恰好变成原长状态，则全部的机械能就是木板的动能，此时木板获得的动能最大．
系统所受的合外力为0，故动量守恒，
且
解得，．
【例题5】一个竖直放置的光滑圆环，半径为，、、、分别是其水平直径和竖直直径的端点．圆环与一个光滑斜轨相接，如图4所示．一个小球从与点高度相等的点从斜轨上无初速下滑．试求：
（1）过点时，对轨道的压力多大？
（2）小球能否过点，如能，在点对轨道压力多大？
如不能，小球于何处离开圆环？
【分析与解】小球在运动的全过程中，始终只受重力和轨道的弹力．其中，是恒力，而是大小和方向都可以变化的变力．但是，不论小球是在斜轨上下滑还是在圆环内侧滑动，每时每刻所受弹力方向都与即时速度方向垂直．因此，小球在运动的全过程中弹力不做功，只有重力做功，小球机械能守恒．
从小球到达圆环最低点开始，小球就做竖直平面圆周运动．小球做圆周运动所需的向心力总是指向环心点，此向心力由小球的重力与弹力提供．
（1）因为小球从到机械能守恒，所以
①
②
③
解①②③得
（2）小球如能沿圆环内壁滑动到点，表明小球在点仍在做圆周运动，则，可见，是恒量，随着的减小减小；当已经减小到零（表示小球刚能到达）点，但球与环顶已是接触而无挤压，处于“若即若离”状态）时，小球的速度是能过点的最小速度．如小球速度低于这个速度就不可能沿圆环到达点．这就表明小球如能到达点，其机械能至少应是，但是小球在点出发的机械能仅有＜因此小球不可能到达点．
又由于，
即
因此，＞0，小球从到点时仍有沿切线向上的速度，所以小球一定是在、之间的某点离开圆环的．设半径与竖直方向夹角，则由图可见，小球高度
④
根据机械能守恒定律，小球到达点的速度应符合：
⑤
小球从点开始脱离圆环，所以圆环对小球已无弹力，仅由重力沿半径方向的分力提供向心力，即
⑥
解④⑤⑥得
故小球经过圆环最低点时，对环的压力为．小球到达高度为的点开始脱离圆环，做斜上抛运动．
【说明】
1．小球过竖直圆环最高点的最小速度称为“临界速度”．的大小可以由重力全部提供向心力求得，即小球到达点，当＞时，小球能过点，且对环有压力；当=时，小球刚能过点，且对环无压力；当＜时，小球到不了点就会离开圆环．
2．小球从点开始做斜上抛运动，其最大高度低于点，这可证明．
练习
1.关于摩擦力做功的下列说法中,正确的是（）
A.滑动摩擦力只能做负功;B.滑动摩擦力也可能做正功;
C.静摩擦力不可能做功;D.静摩擦力不可能做正功.
2.如图1所示,绳上系有A、B两小球,将绳拉直后静止释放,则在两球向下摆动过程中,下列做功情况的叙述,正确的是（）
A.绳OA对A球做正功B.绳AB对B球不做功
C.绳AB对A球做负功D.绳AB对B球做正功
3.正在粗糙水平面上滑动的物块，从时刻到时刻受到恒定的水平推力的作用，在这段时间内物块做直线运动，已知物块在时刻的速度与时刻的速度大小相等，则在此过程中（）
A.物块可能做匀速直线运动B.物块的位移可能为零
C.物块动量的变化一定为零D.一定对物块做正功
4．如图2所示，一磁铁在外力作用下由位置1沿直线以速度v匀速运动到位置2，在这个过程中磁铁穿过了闭合金属线圈，此过程外力对磁铁做功为．若调节线圈上的滑动变阻器使阻值增大些，将磁铁仍从位置1沿直线以速度匀速运动到位置2，此过程外力对磁铁做功为．则（）
A.B.＞
C.＜D.条件不足，无法比较
5.试在下列简化情况下从牛顿定律出发，导出动能定理的表达式：
物体为质点，作用力为恒力，运动轨迹为直线.要求写出每个符号以及所得结果中每项的意义.
6.如图3所示，竖直平面内固定一个半径为的光滑圆形轨道，底端切线方向连接光滑水平面，处固定竖直档板，间的水平距离为，质量为的物块从点由静止释放沿轨道滑动，设物块每次与档板碰后速度大小都是碰前的，碰撞时间忽略不计，则：
⑴物块第二次与档板碰后沿圆形轨道上升的最大高度为多少？
⑵物块第二次与档板碰撞到第四次与档板碰撞间隔的时间？
7.如图4所示，倾角为的斜面上，有一质量为的滑块距档板为处以初速度沿斜面上滑，滑块与斜面间动摩擦因数为，<,若滑块每次与档板碰撞时没有机械能损失，求滑块在整个运动过程中通过的总路程．
8.一个质量=0.2kg的小球系于轻质弹簧的一端，且套在光滑竖立的圆环上，弹簧的上端固定于环的最高点，环的半径=0.5ｍ，弹簧的原长=0.50ｍ，劲度系数为4.8Ｎ/ｍ.如图5所示.若小球从图5中所示位置点由静止开始滑动到最低点时，弹簧的弹性势能=0.60Ｊ.求：
（1）小球到点时的速度的大小；
（2）小球在点对环的作用力.（取10ｍ/ｓ2）
9.如图6所示，和为两个对称斜面，其上部足够长，下部分分别与一个光滑的圆弧面的两端相切，圆弧圆心角为120°，半径＝2.0ｍ，一个质量为＝1ｋｇ的物体在离弧高度为＝3.0ｍ处，以初速度4.0ｍ／ｓ沿斜面运动，若物体与两斜面间的动摩擦因数＝0.2，重力加速度＝10ｍ／ｓ2，则
（1）物体在斜面上（不包括圆弧部分）走过路程的最大值为多少？
（2）试描述物体最终的运动情况．（3）物体对圆弧最低点的最大压力和最小压力分别为多少？
10.如图7所示，质量为的滑块套在光滑的水平杆上可自由滑动，质量为的小球用一长为的轻杆与上的点相连接，轻杆处于水平位置，可绕点在竖直平面内自由转动．
（1）固定滑块，给小球一竖直向上的初速度,使轻杆绕点转过900，则小球初速度的最小值是多少?
（2）若，不固定滑块且给小球一竖直向上的初速度，则当轻杆绕点转过900，球运动至最高点时，的速度多大?
练习答案
1.B2.C、D3.D4．B
5.（略）
6.解：
⑴物块在光滑轨道上滑动过程机械能守恒，第一次下滑到底端时的动能为
①
由于每次与档板碰后速度大小都是碰前的，故每次与档板碰后动能都是碰前的，物块经过两次与档板碰后动能为，根据机械能守恒定律有
②
由①、②得③
⑵物块第二次与档板碰后沿圆形轨道上升的最大高度远小于，此后物块在圆形轨道上的运动都可看成简谐运动，周期④
第二次与档板碰后速度：
⑤
则第二次与档板碰撞到第三次与档板碰撞间隔的时间为：
⑥
第三次与档板碰后速度：
⑦
则第三次与档板碰撞到第四次与档板碰撞间隔的时间为：
⑧
因此第二次与档板碰撞到第四次与档板碰撞间隔的时间为：
⑨
7.解：
由于滑动摩擦力
<
所以物体最终必定停在P点处，由功能关系有
8.解：
（1）由机械能守恒
得:
m/s
（2）在最低点
得:
N
9.解：
（1）物体在两斜面上来回运动时，克服摩擦力所做的功
物体从开始直到不再在斜面上运动的过程中
解得ｍ
（2）物体最终是在、之间的圆弧上来回做变速圆周运动，且在、点时速度为零．
（3）物体第一次通过圆弧最低点时，圆弧所受压力最大．由动能定理得
由牛顿第二定律得
解得N．
物体最终在圆弧上运动时，圆弧所受压力最小．由动能定理得
由牛顿第二定律得
解得N．
10.解：
（1）小球在竖直方向速度为时运动到最高点速度刚好为零，由机械能守恒有
解得：
（2）当球运动到最高点速度为，此时球速度为，且
水平方向动量守恒有
根据能量关系
解得：
带电粒子在电场中的运动
例1、（01全国高考）如图，虚线a、b和c是静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb、和φc，φa﹥φb﹥φc。
一带电的粒子射入电场中，其运动轨迹如实线KLMN所示，由图可知（）
A、粒子从K到L的过程中，电场力做负功
B、粒子从L到M的过程中，电场力做负功
C、粒子从K到L的过程中，静电势能增加
D、粒子从L到M的过程中，动能减少
例2、如图所示，有三个质量相等，分别带正电，负电和不带电的小球，从上、下带电平行金属板间的P点.以相同速率垂直电场方向射入电场，它们分别落到A、B、C三点，则 （）
（A）
A带正电、B不带电、C带负电
（B）三小球在电场中运动时间相等
（C）在电场中加速度的关系是aC>aB>aA
（D）到达正极板时动能关系EA>EB>EC
例3、如图所示，带负电的小球静止在水平放置的平行板电容器两板间，距下板0.8cm，两板间的电势差为300V.如果两板间电势差减小到60V，则带电小球运动到极板上需多长时间?
例4、绝缘的半径为R的光滑圆环，放在竖直平面内，环上套有一个质量为m，带电量为+q的小环，它们处在水平向右的匀强电场中，电场强度为E（如图所示），小环从最高点A由静止开始滑动，当小环通过
（1）与大环圆心等高的B点与
（2）最低点C时，大环对它的弹力多大？
方向如何？
例5、如图4所示，质量为、带电量为的小球从距地面高处以一定的初速度水平抛出，在距抛出水平距离为L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，管的上口距地面，为使小球能无碰撞地通过管子可在管口上方整个区域里加一场强方向向左的匀强电场。
求：
（1）小球的初速度；
（2）电场强度E的大小；（3）小球落地时的动能。
练习
1、如图所示,有一质量为m、带电量为q的油滴,被置于竖直放置的两平行金属板间的匀强电场中,设油滴是从两板中间位置,并以初速度为零进入电场的,可以判定（）.
（A）油滴在电场中做抛物线运动
（B）油滴在电场中做匀加速直线运动
（C）油滴打在极板上的运动时间只决定于电场强度和两板间距离
（D）油滴打在极板上的运动时间不仅决定于电场强度和两板间距离,还决定于油滴的荷质比
2、（01全国理科综合）图中所示是一个平行板电容器，其电容为C，带电量为Q，上极板带正电。
现将一个试探电荷q由两极板间的A点移动到B点，如图所示。
A、B两点间的距离为s，连线AB与极板间的夹角为30°，则电场力对试探电荷q所做的功等于（C）
A．B．C．D．
3、（01上海）A、B两点各放有电量为+Q和+2Q的点电荷，A、B、C、D四点在同一直线上，且AC=CD=DB。
将一正电荷从C点沿直线移到D点，则（B）
A、电场力一直做正功
B、
电场力先做正功再做负功
C、电场力一直做负功
D、电场力先做负功再做正功
4、如图所示，在光滑的水平面上有一个绝缘弹簧振子，小球带负电，在振动过程中，当弹簧压缩到最短时，突然加上一个水平向左的匀强电场，
A．振子振幅增大
B．振子振幅减小
C．振子的平衡位置不变
D．振子的周期增大
5、若带正电荷的小球只受到电场力作用，则它在任意一段时间内
A．一定沿电场线由高电势处向低电势处运动
B．一定沿电场线由低电势处向高电势处运动
C．不一定沿电场线运动，但一定由高电势处向低电势处运动
D．不一定沿电场线运动，也不一定由高电势处向低电势处运动
6、如图所示，两平行金属板a板对b板的电压随时间变化图像如
静止释放，已知在一个周
期内电子没有到达c面和d面，则以后到达c面或d面可能是：
A．向右运动时通过c面
B．向左运动时通过c面
C．向右运动时通过d面
D．向左运动时通过d面
7、质量为m、带电量为+q的小球，用一绝缘细线悬挂于O点，开始时它在A、B之间来回摆动，OA、OB与竖直方向OC的夹角均为如图1所示。
求
（1）如果当它摆到B点时突然施加一竖直向上的、大小为的匀强电场，则此时线中拉力
（2）如果这一电场是在小球从A点摆到最低点C时突然加上去的，则当小球运动到B点时线中的拉力
8、一个
升级会员 