数学《完全平方公式》教案.docx
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数学《完全平方公式》教案
数学《完全平方公式》教案
数学《完全平方公式》教案1
一、学习目标
1.会运用完全平方公式进行一些数的简便运算
二、学习重点
运用完全平方公式进行一些数的简便运算
三、学习难点
灵活运用平方差和完全平方公式进行整式的简便运算
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书p26-27
（2）思考:
如何更简单迅捷地进行各种乘法公式的运算?
[
（3）预习作业：
1.利用完全平方公式计算
（1）
（2）（3）（4）
2.计算：
（1）
（2）
（二）学习过程
平方差公式和完全平方公式的逆运用
由反之
反之
1、填空：
（1）
（2）（3）
（4）（5）
（6）
（7）若，则k=
（8）若是完全平方式，则k=
例1计算：
1.2.
现在我们从几何角度去解释完全平方公式：
从图
（1）中可以看出大正方形的边长是a+b，
它是由两个小正方形和两个矩形组成，所以
大正方形的面积等于这四个图形的面积之和.
则S==
即：
如图
（2）中，大正方形的边长是a，它的面积是;矩形DCGE与矩形BCHF是全等图形，长都是，宽都是，所以它们的面积都是;正方形HCGM的边长是b，其面积就是;正方形AFME的边长是，所以它的面积是.从图中可以看出正方形AEMF的面积等于正方形ABCD的面积减去两个矩形DCGE和BCHF的面积再加上正方形HCGM的面积.也就是：
（a-b）2=.这也正好符合完全平方公式.
例2.计算:
（1）
（2）
变式训练：
（1）
（2）
（3）（4）（x+5）2–（x-2）（x-3）
（5）（x-2）（x+2）-（x+1）（x-3）（6）（2x-y）2-4（x-y）（x+2y）
拓展：
1、
（1）已知，则=
（2）已知，求________，________
（3）不论为任意有理数，的值总是（）
A.负数B.零C.正数D.不小于2
2、
（1）已知，求和的值。
（2）已知，求的值。
（3）.已知，求的值
回顾小结
1.完全平方公式的使用：
在做题过程中一定要注意符号问题和正确认识a、b表示的意义，它们可以是数、也可以是单项式，还可以是多项式，所以要记得添括号。
2.解题技巧：
在解题之前应注意观察思考，选择不同的方法会有不同的效果，要学会优化选择。
数学《完全平方公式》教案2
教学过程
一、议一议
探索单项式除以单项式法则（出示投影1）计算下列各题，并说说你的理由1.xyx,（8mn）（2mn）,（abc）（3ab）.师生共同分析:
此题是做除法运算，可以从两方面思考:
根据除法是乘法的逆运算，将除法问题转化为乘法问题去解决，即（）x=xy，由单项式乘以单项式法则可得（xy）x=xy，因此，xyx=xy.另外，根据同底数幂的除法法则，由约分也可得=xy.学生动笔:
写出
（2）（3）题的结果.教师板书:
xyx=xy,（8mn）（2mn）=4n,（abc）（3ab）=abc师:
以上运算是单项式除以单项式的运算，你能说说如何进行单项式除以单项式的运算?
学生活动:
小组讨论，教师引导学生从系数、同底数幂、只在被除式含有的字母三方面思考，讨论充分后，由一名同学叙述，其余同学补充纠正.出示单项式除法法则（投影显示）单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式;对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
二、做一做
巩固新知例1计算1.（-xy）（3xy）2.（10abc）（5abc）3.（2xy）（-7xy）（14xy）4.（2a+b）（2a+b）学生活动:
在练习本上计算.教师引导学生按法则进行运算，首先确定它们的系数，把系数的商作为商的系数，其次确定相同的字母，在被除式中出现的字母作为商中可能含有的字母，相同字母的指数之差作为商式中对应字母的指数，只在被除式中含有的字母指数不变，最后化简.第
（1）
（2）题对照法则进行，第（3）题要按运算顺序进行.第（4）题先把（2a+b）看作一个整体（一个字母）相除，后用完全平方公式计算.教师板书如下:
解:
1.（-xy）（3xy）2.（10abc）（5abc）=（-3）xy=（105）abc=-y=2abc3.（2xy）（-7xy）（14xy）4.（2a+b）（2a+b）=8xy（-7xy）（14xy）=（2a+b）=-56xy（14xy）=（2a+b）=-4xy=4a+4ab+b
三、随堂练习
P401学生活动:
让四名同学到黑板板演，其余同学在练习本上计算，同伴可交流，互相订正.教师巡回检查，对存在问题及时更正.待四名板演同学完成后，师生共同订正.
四、小结
本节课主要学习了单项式除以单项式的运算.在运用法则计算时应注意以下几点:
1.系数相除与同底数幂相除的区别;
2.符号问题;
3.指数相同的同底数幂相除商为1而不是0;4.在混合运算中，要注意运算的顺序.五、作业课本习题1.15.P411、2.3
数学《完全平方公式》教案3
1．能根据多项式的乘法推导出完全平方公式；（重点）
2．理解并掌握完全平方公式，并能进行计算．（重点、难点）
一、情境导入
计算：
（1）（x＋1）2;
（2）（x－1）2；
（3）（a＋b）2;（4）（a－b）2.
由上述计算，你发现了什么结论？
二、合作探究
探究点：
完全平方公式
【类型一】直接运用完全平方公式进行计算
利用完全平方公式计算：
（1）（5－a）2；
（2）（－3－4n）2；
（3）（－3a＋b）2.
解析：
直接运用完全平方公式进行计算即可．
解：
（1）（5－a）2＝25－10a＋a2；
（2）（－3－4n）2＝92＋24n＋16n2；
（3）（－3a＋b）2＝9a2－6ab＋b2.
方法总结：
完全平方公式：
（a±b）2＝a2±2ab＋b2.可巧记为“首平方，末平方，首末两倍中间放”．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第12题
【类型二】构造完全平方式
如果36x2＋（＋1）x＋252是一个完全平方式，求的值．
解析：
先根据两平方项确定出这两个数，再根据完全平方公式确定的值．
解：
∵36x2＋（＋1）x＋252＝（6x）2＋（＋1）x＋（5）2，∴（＋1）x＝±26x5，∴＋1＝±60，∴＝59或－61.
方法总结：
两数的平方和加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第4题
【类型三】运用完全平方公式进行简便计算
利用完全平方公式计算：
（1）992;
（2）1022.
解析：
（1）把99写成（100－1）的形式，然后利用完全平方公式展开计算．
（2）可把102分成100＋2，然后根据完全平方公式计算．
解：
（1）992＝（100－1）2＝1002－2×100＋12＝10000－200＋1＝9801；
（2）1022＝（100＋2）2＝1002＋2×100×2＋4＝10404.
方法总结：
利用完全平方公式计算一个数的平方时，先把这个数写成整十或整百的数与另一个数的和或差，然后根据完全平方公式展开计算．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第13题
【类型四】灵活运用完全平方公式求代数式的值
若（x＋）2＝9，且（x－）2＝1.
（1）求1x2＋12的值；
（2）求（x2＋1）（2＋1）的值．
解析：
（1）先去括号，再整体代入即可求出答案；
（2）先变形，再整体代入，即可求出答案．
解：
（1）∵（x＋）2＝9，（x－）2＝1，∴x2＋2x＋2＝9，x2－2x＋2＝1，4x＝9－1＝8，∴x＝2，∴1x2＋12＝x2＋2x22＝（x＋）2－2__22＝9－2×222＝54；
（2）∵（x＋）2＝9，x＝2，∴（x2＋1）（2＋1）＝x22＋2＋x2＋1＝x22＋（x＋）2－2x＋1＝22＋9－2×2＋1＝10.
方法总结：
所求的展开式中都含有x或x＋时，我们可以把它们看作一个整体代入到需要求值的代数式中，整体求解．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题
【类型五】完全平方公式的几何背景
我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图甲可以用来解释（a＋b）2－（a－b）2＝4ab.那么通过图乙面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）
A．a2－b2＝（a＋b）（a－b）
B．（a－b）（a＋2b）＝a2＋ab－2b2
C．（a－b）2＝a2－2ab＋b2
D．（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2
解析：
空白部分的面积为（a－b）2，还可以表示为a2－2ab＋b2，所以，此等式是（a－b）2＝a2－2ab＋b2.故选C.
方法总结：
通过几何图形面积之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第7题
【类型六】与完全平方公式有关的探究问题
下表为杨辉三角系数表，它的作用是指导读者按规律写出形如（a＋b）n（n为正整数）展开式的系数，请你仔细观察下表中的规律，填出（a＋b）6展开式中所缺的系数．
（a＋b）1＝a＋b，
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，
（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3，
则（a＋b）6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋________a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6.
解析：
由（a＋b）1＝a＋b，（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2，（a＋b）3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3可得（a＋b）n的各项展开式的系数除首尾两项都是1外，其余各项系数都等于（a＋b）n－1的相邻两个系数的和，由此可得（a＋b）4的各项系数依次为1、4、6、4、1；（a＋b）5的各项系数依次为1、5、10、10、5、1；因此（a＋b）6的系数分别为1、6、15、20、15、6、1，故填20.
方法总结：
对于规律探究题，读懂题意并根据所给的式子寻找规律，是快速解题的关键．
变式训练：
见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第10题
三、板书设计
1．完全平方公式
两个数的和（或差）的平方，等于这两个数的平方和加（或减）这两个数乘积的2倍．
（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2；（a－b）2＝a2－2ab＋b2.
2．完全平方公式的运用
本节课通过多项式乘法推导出完全平方公式，让学生自己总结出完全平方公式的特征，注意不要出现如下错误：
（a＋b）2＝a2＋b2，（a－b）2＝a2－b2.为帮助学生记忆完全平方公式，可采用如下口诀：
首平方，尾平方，乘积两倍在中央．教学中，教师可通过判断正误等习题强化学生对完全平方公式的理解记忆。
数学《完全平方公式》教案4
学习目标：
1、会推导完全平方公式，并能用几何图形解释公式;
2、利用公式进行熟练地计算;
3、经历探索完全平方公式的推导过程，发展符号感，体会特殊一般特殊的认知规律。
学习过程：
（一）自主探索
1、计算：
（1）（a+b）2
（2）（a-b）2
2、你能用文字叙述以上的结论吗?
（二）合作交流：
你能利用下图的面积关系解释公式（a+b）2=a2+2ab+b2吗?
与同学交流。
（三）试一试，我能行。
1、利用完全平方公式计算：
（1）（x+6）2
（2）（a+2b）2（3）（3s-t）2[中.考.资.源.]
（四）巩固练习
利用完全平方公式计算：
A组：
（1）（x+y）2
（2）（-2m+5n）2
（3）（2a+5b）2（4）（4p-2q）2
B组：
（1）（x-y2）2
（2）（1.2m-3n）2
（3）（-a+5b）2（4）（-x-y）2
C组：
（1）1012
（2）542（3）9972
（五）小结与反思
我的收获：
我的疑惑：
（六）达标检测
1、（a-b）2=a2+b2+.
2、（a+2b）2=.
3、如果（x+4）2=x2+kx+16，那么k=.
4、计算：
（1）（3m-）2
（2）（x2-1）2
（2）（-a-b）2（4）（s+t）2
数学《完全平方公式》教案5
教学目标：
1、经历探索完全平方公式的过程，并从完全平方公式的推导过程中，培养学生观察、发现、归纳、概括、猜想等探究创新能力，发展逻辑推理能力和有条理的表达能力。
2、体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，从不同的层次上理解完全平方公式，并会运用公式进行简单的计算。
3、了解完全平方公式的几何背景，培养学生的数形结合意识。
4、在学习中使学生体会学习数学的乐趣，培养学习数学的信心，感爱数学的内在美。
教学重点：
1、弄清完全平方公式的________及其结构特点，用自己的语言说明公式及其特点；
2、会用完全平方公式进行运算。
教学难点：
会用完全平方公式进行运算
教学方法：
探索讨论、归纳总结。
教学过程：
一、回顾与思考
活动内容：
复习已学过的平方差公式
1、平方差公式：
（a+b）（a—b）=a2—b2；
公式的结构特点：
左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。
右边是两数的平方差。
2、应用平方差公式的注意事项：
弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
二、情境引入
活动内容：
提出问题：
一块边长为a米的正方形实验田，由于效益比较高，所以要扩大农田，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）。
用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。
三、初识完全平方公式
活动内容：
1、通过多项式的乘法法则来验证（a+b）2=a2+2ab+b2的正确性。
并利用两数和的完全平方公式推导出两数差的完全平方公式：
（a—b）2=a2—2ab+b2。
2、引导学生利用几何图形来验证两数差的完全平方公式。
3、分析完全平方公式的结构特点，并用语言来描述完全平方公式。
结构特点：
左边是二项式（两数和（差））的平方；
右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。
语言描述：
两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍。
四、再识完全平方公式
活动内容：
例1用完全平方公式计算：
（1）（2x？
3）2
（2）（4x+5y）2（3）（mn？
a）2（4）（—1—2x）2（5）（—2x+1）2
2、总结口诀：
首平方，尾平方，两倍乘积放中央，加减看前方，同加异减。
五、巩固练习：
1、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算。
1、6完全平方公式：
一、学习目标
1、会推导完全平方公式，并能运用公式进行简单的计算。
2、了解完全平方公式的几何背景
二、学习重点：
会用完全平方公式进行运算。
三、学习难点：
理解完全平方公式的结构特征并能灵活应用公式进行计算。
四、学习设计
（一）预习准备
（1）预习书p23—26
（2）思考：
和的平方等于平方的和吗？
1、6《完全平方公式》习题
1、已知实数x、y都大于2，试比较这两个数的积与这两个数的和的大小，并说明理由。
2、已知（a+b）2=24，（a—b）2=20，求：
（1）ab的值是多少？
（2）a2+b2的值是多少？
3、已知2（x+y）=—6，xy=1，求代数式（x+2）—（3xy—y）的值。
《1、6完全平方公式》课时练习
1、（5—x2）2等于；
答案：
25—10x2+x4
解析：
解答：
（5—x2）2=25—10x2+x4
分析：
根据完全平方公式与幂的乘方法则可完成此题。
2、（x—2y）2等于；
答案：
x2—8xy+4y2
解析：
解答：
（x—2y）2=x2—8xy+4y2
分析：
根据完全平方公式与积的乘方法则可完成此题。
3、（3a—4b）2等于；
答案：
9a2—24ab+16b2
解析：
解答：
（3a—4b）2=9a2—24ab+16b2
分析：
根据完全平方公式可完成此题。
数学《完全平方公式》教案6
总体说明:
完全平方公式则是对多项式乘法中出现的较为特殊的算式的一种归纳、总结.同时，完全平方公式的推导是初中数学中运用推理方法进行代数式恒等变形的开端，通过完全平方公式的学习对简化某些整式的运算、培养学生的求简意识有较大好处.而且完全平方公式是后继学习的必备基础，不仅对学生提高运算速度、准确率有较大作用，更是以后学习分解因式、分式运算、解一元二次方程以及二次函数的恒等变形的重要基础，同时也具有培养学生逐渐养成严密的逻辑推理能力的作用.因此学好完全平方公式对于代数知识的后继学习具有相当重要的意义.
本节是北师大版七年级数学下册第一章《整式的运算》的第8小节，占两个课时，这是第一课时，它主要让学生经历探索与推导完全平方公式的过程，培养学生的符号感与推理能力，让学生进一步体会数形结合的思想在数学中的作用.
一、学生学情分析
学生的技能基础：
学生通过对__前几节课的学习，已经学习了整式的概念、整式的加减、幂的运算、整式的乘法、平方差公式，这些基础知识的学习为本节课的学习奠定了基础.
学生活动经验基础：
在平方差公式一节的学习中，学生已经经历了探索和应用的过程，获得了一些数学活动的经验，培养了一定的符号感和推理能力;同时在相关知识的学习过程中，学生经历了很多探究学习的过程，具有了一定的独立探究意识以及与同伴合作交流的能力.
二、教学目标
知识与技能：
（1）让学生会推导完全平方公式，并能进行简单的应用.
（2）了解完全平方公式的几何背景.
数学能力：
（1）由学生经历探索完全平方公式的过程，进一步发展学生的符号感与推理能力.
（2）发展学生的数形结合的数学思想.
情感与态度：
将学生头脑中的前概念暴露出来进行分析，避免形成教学上的“相异构想”.
三、教学重难点
教学重点：
1、完全平方公式的推导;
2、完全平方公式的应用;
教学难点：
1、消除学生头脑中的前概念，避免形成“相异构想”;
2、完全平方公式结构的认知及正确应用.
四、教学设计分析
本节课设计了十一个教学环节：
学生练习、暴露问题——验证——推广到一般情况，形成公式——数形结合——进一步拓广——总结口诀——公式应用——学生反馈——学生PK——学生反思——巩固练习.
第一环节：
学生练习、暴露问题
活动内容：
计算：
（a+2）2
设想学生的做法有以下几种可能：
①（a+2）2=a2+22
②（a+2）2=a2+2a+22
③正确做法;
针对这几种结果都将a=1代入计算，得出①②都是错误的，但③的做法是否一定正确呢?
怎么验证?
活动目的：
在很多学生的头脑中，认为两数和的完全平方与两数的平方和等同，即：
（a+2）2=a2+22，如果不将这种定式思维_就很难建立起一个正确的概念;这一环节的目的就是让学生的这种错误或其它错误充分暴露出来，并让学生充分认识到自己原有的定式思维是错误的，为下一步构建新的思维模式埋下伏笔.
第二环节：
验证（a+2）2=a2–4a+22
活动内容：
（a+2）2=（a+2）?
（a+2）=a2+2a+2a+22
活动目的：
在前一环节已经打破了学生的原有的思维定式的基础上，给学生建立正确的思维方法，避免形成“相异构想”.
第三环节：
推广到一般情况，形成公式
活动内容：
（a+b）2=（a+b）（a+b）=a2+ab+ab+b2=a2+2ab+b2
活动目的：
让学生经历从特殊到一般的探究过程，体验到发现的快乐.
第四环节：
数形结合
活动内容：
设问：
在多项式的乘法中，很多公式都都可以用几何图形进行解释，那么完全平方公式怎样用几何图形解释呢?
展示动画，用几何图形诠释完全平方公式的几何意义.
学生思考：
还有没有其它的方法来诠释完全平方公式?
（课后思考）
活动目的：
让学生进一步认识到数与形都不是孤立存在的，数与形是可以有机地结合在一起，从而发展学生的数形结合的数学思想.
第五环节：
进一步拓广
活动内容：
推导两数差的完全平方公式：
（a–b）2=a2–2ab+b2
方法1：
（a–b）2=（a–b）（a–b）=a2–ab–ab+b2=a2–2ab+b2
方法2：
（a–b）2=[a+（–b）]2=a2+2a（–b）+（–b）2=a2–2ab+b2
活动目的：
让学生经历由两数和的完全平方公式拓广到两数差的完全平方公式的过程，体会到符号差异带来的结果差异，由第二种推导方法体会到两数差的完全平方公式是两数和的完全平方公式的应用.
第六环节：
总结口诀、认识特征
活动内容：
比较两个公式的共同点与不同点：
（a+b）2=a2+2ab+b2
（a–b）2=a2–2ab+b2
特征：
①左边都是一个二项式的完全平方，两者仅有一个符号不同;右边都是二次三项式，其中第一、三项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的两倍，两者也仅一个符号不同;
②公式中的a、b可以是任意一个代数式（数、字母、单项式、多项式）
口诀：
首平方，尾平方，首尾相乘的两倍在中央.
活动目的：
认识完全平方公式的特征，总结出完全平方公式的口诀，便于学生理解与记忆，避免学生在应用该公式中出现错误.
第七环节：
公式应用
活动内容：
例：
计算：
①（2x–3）2;②（4x+）2
解：
①（2x–3）2=（2x）2–2?
（2x）?
3+32=4x2–12x+9
②（4x+）2=（4x）2+2?
?
?
?
?
（4x）（）+（）2=16x2+2xy+
活动目的：
在前几个环节中，学生对完全平方公式已经有了感性认识，通过本环节的讲解以及下一环节的练习，使学生逐步经历认识——模仿——再认识.从而上升到理性认识的阶段.
第八环节：
随堂练习
活动内容：
计算：
①;②;③（n+1）2–n2
活动目的：
通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对完全平方公式的理解是否到位，完全平方公式的应用是否得当，以便教师能及时地进行查缺补漏.
第九环节：
学生PK
活动内容：
每个学生各出五道完全平方公式的计算题给自己的同桌解答，比一比谁的准确性率高，速度快.
活动目的：
活跃课堂气氛，激起学生的好胜心，进一步巩固学生对完全平方公式的理解与应用.
第十环节：
学生反思
活动内容：
通过今天这堂课的学习，你有哪些收获?
收获1：
认识了完全平方公式，
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