最新北师大 相似三角形基本知识点+经典例题.docx
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最新北师大相似三角形基本知识点+经典例题
最新北师大相似三角形_基本知识点+经典例题
相似三角形知识点
知识点1有关相似形的概念
（1）形状相同的图形叫相似图形，在相似多边形中，最简单的是相似三角形.
（2）如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，这两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边长度的比叫做相似比（相似系数）．
知识点2比例线段的相关概念
如果选用同一单位量得两条线段a,b的长度分别为m,n，那么就说这两条线段的比是
am，或写bn成a:
bm:
n．注：
在求线段比时，线段单位要统一。
在四条线段a,b,c,d中，如果a和b的比等于c和d的比，那么这四条线段a,b,c,d叫做成比例线段，简称比例线段．注：
①比例线段是有顺序的，如果说a是b,c,d的第四比例项，那么应得比例式为：
bcd．②aac（a：
bc：
d）中，a、d叫比例外项，b、c叫比例内项,a、c叫比例前项，b、d叫比例后bd2项，d叫第四比例项，如果b=c，即a：
bb：
d那么b叫做a、d的比例中项，此时有bad。
在比例式
黄金分割：
把线段AB分成两条线段AC,BC（ACBC），且使AC是AB和BC的比例中项，即
AC2ABBC，叫做把线段AB黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，其中AC．即
51AB≈2长短51ACBC51简记为：
＝＝ABAC2全长2
0
注：
黄金三角形：
顶角是36的等腰三角形。
黄金矩形：
宽与长的比等于黄金数的矩形
知识点3比例的性质
基本性质：
①a:
bc:
dadbc；②a:
bb:
cbac．
注：
一个比例式只可化成一个等积式，而一个等积式共可化成八个比例式，如adbc，除
了可化为a:
bc:
d，还可化为a:
cb:
d，c:
da:
b，b:
da:
c，b:
ad:
c，c:
ad:
b，d:
cb:
a，d:
bc:
a．
2更比性质（交换比例的内项或外项）：
acbd反比性质（把比的前项、后项交换）：
合、分比性质：
acbdab（交换内项）cd，dc，（交换外项）badb（同时交换内外项）ca．bd．
acacabcd．bdbd
注：
实际上，比例的合比性质可扩展为：
比例式中等号左右两个比的前项，后项之间
badcacac发生同样和差变化比例仍成立．如：
等等．
abcdbdabcd 等比性质：
如果
acemaacem．（bdfn0），那么
bdfnbbdfn注：
①此性质的证明运用了“设k法”这样可以减少未知数的个数，这种方法是有关比例计算变形中一种常用方法．②应用等比性质时，要考虑到分母是否为零．
③可利用分式性质将连等式的每一个比的前项与后项同时乘以一个数，再利用等比性质也成立．如：
acea2c3ea2c3ea；其中b2d3f0．bdfb2d3fb2d3fb知识点4 比例线段的有关定理
1.三角形中平行线分线段成比例定理:
平行于三角形一边的直线截其它两边（或两边的延长线）所得的对应
线段成比例. A
DE∥BC可得：
ADAEBDECADAE或或DBECADEAABACDE
CB注：
①重要结论：
平行于三角形的一边,并且和其它两边相交的直线,所截的三角形的三边与原三角形三边对应成比．．．．．．．．．．．．例.
②三角形中平行线分线段成比例定理的逆定理：
如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例.那么这条直线平行于三角形的第三边.
此定理给出了一种证明两直线平行方法,即：
利用比例式证平行线.
③平行线的应用：
在证明有关比例线段时，辅助线往往做平行线,但应遵循的原则是不要破坏条件中的两条线段的比及所求的两条线段的比.
A2.平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所截得的对应线段成比例. D已知AD∥BE∥CF,
BE
可得
ABDEABDEBCEFBCEFABBC或或或或等. BCEFACDFABDEACDFDEEFCF
注：
平行线分线段成比例定理的推论：
平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行线所截，如果在其中一条上截得的线段相等，那么在另一条上截得的线段也相等。
知识点5 相似三角形的概念
对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形．相似用符号“∽”表示，读作“相似于”．相似三角形对应边的比叫做相似比（或相似系数）．相似三角形对应角相等，对应边成比例．注：
①对应性：
即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边．②顺序性：
相似三角形的相似比是有顺序的．
③两个三角形形状一样，但大小不一定一样．④全等三角形是相似比为1的相似三角形．二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例．
知识点6三角形相似的等价关系与三角形相似的判定定理的预备定理
（1）相似三角形的等价关系：
①反身性：
对于任一ABC有ABC∽ABC．
②对称性：
若ABC∽A'B'C'，则A'B'C'∽ABC．
③传递性：
若ABC∽A'B'C，且A'B'C∽ABC，则ABC∽ABC
（2）三角形相似的判定定理的预备定理：
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
定理的基本图形：
ADEA
BADEBC
（1）CDE
（2）B（3）C用数学语言表述是：
DE//BC，∴ADE∽ABC．
知识点7 三角形相似的判定方法
1、定义法：
三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．
2、平行法：
平行于三角形一边的直线和其它两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似．
3、判定定理1：
如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两角对应相等，两三角形相似．
4、判定定理2：
如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：
两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理3：
如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：
三边对应成比例，两三角形相似．
6、判定直角三角形相似的方法：
（1）以上各种判定均适用．
（2）如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似．
（3）直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．
知识点8 相似三角形常见的图形
1、下面我们来看一看相似三角形的几种基本图形：
如图：
称为“平行线型”的相似三角形
BAAEDEDABC
（1）CDE
（2）B（3）C
（2）如图：
其中∠1=∠2，则△ADE∽△ABC称为“斜交型”的相似三角形。
B2E1DC2BAA4D1E1DC2ABCE如图：
称为“垂直型””“三垂直型”）
BEDCAAEBEABC（D）CDAD2EBC1（4）如图：
∠1=∠2，∠B=∠D，则△ADE∽△ABC，称为“旋转型”的相似三角形。
2、几种基本图形的具体应用：
若DE∥BC则△ADE∽△ABC
射影定理若CD为Rt△ABC斜边上的高
222
则Rt△ABC∽Rt△ACD∽Rt△CBD且AC=AD·AB，CD=AD·BD，BC=BD·AB；
ADBECEABDC
满足1、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B，3、∠ACB=∠ADC，都可判定△ADC∽△ACB．
2
CADB当
ADAE或AD·AB=AC·AE时，△ADE∽△ACB．ACABADBCADEBC
知识点9：
全等与相似的比较：
三角形全等两角夹一边对应相等（ASA）两角一对边对应相等（AAS）两边及夹角对应相等（SAS）三边对应相等（SSS）直角三角形中一直角边与斜边对应相等（HL）三角形相似相似判定的预备定理两角对应相等两边对应成比例，且夹角相等三边对应成比例直角三角形中斜边与一直角边对应成比例
知识点10 相似三角形的性质
（1）相似三角形对应角相等，对应边成比例．
（2）相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．（3）相似三角形周长的比等于相似比．
（4）相似三角形面积的比等于相似比的平方．
注：
相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．
知识点11相似三角形中有关证题规律与辅助线作法
1、证明四条线段成比例的常用方法：
（1）线段成比例的定义
（2）三角形相似的预备定理（3）利用相似三角形的性质（4）利用中间比等量代换（5）利用面积关系
知识点12相似多边形的性质
（1）相似多边形周长比，对应对角线的比都等于相似比．
（2）相似多边形中对应三角形相似，相似比等于相似多边形的相似比．（3）相似多边形面积比等于相似比的平方．
注意：
相似多边形问题往往要转化成相似三角形问题去解决，因此，熟练掌握相似三角形知识是基础和关键．
知识点13位似图形有关的概念与性质及作法
1.如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应顶点的连线都交于一点，那么这样的两个图形叫做位似图形.
2.这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比.注：
位似图形是相似图形的特例，位似图形不仅相似，而且对应顶点的连线相交于一点.位似图形一定是相似图形，但相似图形不一定是位似图形.位似图形的对应边互相平行或共线.
3.位似图形的性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比.注：
位似图形具有相似图形的所有性质.
4.画位似图形的一般步骤：
确定位似中心
分别连接原图形中的关键点和位似中心，并延长.根据已知的位似比，确定所画位似图形中关键点的位置.
顺次连结上述得到的关键点，即可得到一个放大或缩小的图形.①②③④⑤注：
①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上。
②外位似：
位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似” ③内位似：
位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”
在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点O为位似中心，相似比为k,原图形上点的坐标为,那么同向位似图形对应点的坐标为（kx,ky）,反向位似图形对应点的坐标为（-kx,-ky）,
相似三角形经典例题透析
类型一、相似三角形的概念
1．判断对错：
（1）两个直角三角形一定相似吗？
为什么？
（2）两个等腰三角形一定相似吗？
为什么？
（3）两个等腰直角三角形一定相似吗？
为什么？
（4）两个等边三角形一定相似吗？
为什么？
（5）两个全等三角形一定相似吗？
为什么？
思路点拨：
要说明两个三角形相似，要同时满足对应角相等，对应边成比例.要说明不相似，则只要否定其中的一个条件.
解：
（1）不一定相似.反例
直角三角形只确定一个直角，其他的两对角可能相等，也可能不相等.所以直角三角形不一定相似.
（2）不一定相似.反例
等腰三角形中只有两边相等，而底边不固定.因此两个等腰三角形中有两边对应成比例，两底边的比不一定等于对应腰的比，所以等腰三角形不一定相似.
（3）一定相似.
在直角三角形ABC与直角三角形A′B′C′中
（4）一定相似.
因为等边三角形各边都相等，各角都等于60度，所以两个等边三角形对应角相等，对应边成比例，因此两个等边三角形一定相似.
（5）一定相似.
全等三角形对应角相等，对应边相等，所以对应边比为1，所以全等三角形一定相似，且相似比为1.
【变式2】下列能够相似的一组三角形为（ ）
A.所有的直角三角形 B.所有的等腰三角形
C.所有的等腰直角三角形 D.所有的一边和这边上的高相等的三角形
类型二、相似三角形的判定
2．如图所示，已知
中，E为AB延长线上的一点，AB=3BE，DE与BC相交于F，请找出图中各
对相似三角形，并求出相应的相似比.
3．已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，BC=6.在Rt△EDF中，∠F=90°，DF=3，EF=4，则△ABC和△EDF相似吗？
为什么？
举一反三
【变式1】已知：
如图正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP=3PC，Q是CD的中点． 求证：
△ADQ∽△QCP．
.
【变式3】已知：
如图，AD是△ABC的高，E、F分别是AB、AC的中点． 求证：
△DFE∽△ABC．
类型三、相似三角形的性质
5．△ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出
△DEF的另外两边的长度吗？
试说明理.
6．如图所示，已知△ABC中，AD是高，矩形EFGH内接于△ABC中，且长边FG在BC上，矩形相邻两边的比为1：
2，若BC=30cm，AD=10cm.求矩形EFGH的面积.
举一反三
【变式1】△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若
求.
类型四、相似三角形的应用
举一反三
【变式1】如图：
小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18m，已知小明的身高是m，他的影长是2m．
【变式2】已知：
如图，阳光通过窗口照射到室内，在地面上留下宽的亮区DE.亮区一边到窗下的墙脚距离CE=，窗口高AB=，求窗口底边离地面的高BC？
类型五、相似三角形的周长与面积
8．已知：
如图，在△ABC与△CAD中，DA∥BC，CD与AB相交于E点，且AE︰EB=1︰2，EF∥BC交AC于F点，△ADE的面积为1，求△BCE和△AEF的面积．
【变式2】如图，已知：
△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ//AB，P点在AC上（与点A、C不重合），Q点在BC上．
（1）当△PQC的面积与四边形PABQ的面积相等时，求CP的长；
（2）当△PQC的周长与四边形PABQ的周长相等时，求CP的长；
类型六、综合探究
9．如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，
（1）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
（2）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？
如果能，求出AP的长；如果不能，请说 明理.
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