锐角三角函数全教案.docx
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锐角三角函数全教案
28.1.1锐角三角函数
初三备课组主备人:
李小华
教学目标
1.知识与技能
(1)了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、表示直角三角形中两边的比;记忆30°、45°、60°的正弦函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角;
(2)能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角.
2.过程与方法
通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
3.情感、态度与价值观
引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
重点与难点
1.重点:
正弦三角函数概念及其应用.
2.难点:
使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边的比值也是固定的这一事实.用含有几个字母的符号组sinA表示正弦,正弦概念.
教学过程
情境引入
比萨斜塔1350年落成时就已倾斜,其塔顶中心点偏离垂直中心线2.1m.至今,这座高54.5m的斜塔仍巍然屹立.
你能用“塔身中心线与垂直中心线所成的角θ”来描述比萨斜塔的倾斜程度吗?
问题1 为了绿化荒山,某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管,在山坡上修建一座扬水站,对坡面的绿地进行喷灌.现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°,为使出水口的高度为35m,需要准备多长的水管?
这个问题可以归结为:
在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=35m,
求AB.
在上面的问题中,如果出水口的高度为50m,那么需要准备多长的水管?
思考:
由这些结果,你能得到什么结论?
结论:
在直角三角形中,如果一个锐角的度数是30°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜
边的比值是一个固定值,为0.5.
问题2:
如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=45°,计算∠A的对边与斜边的比.
A
B
C
如图,任意画一个Rt△ABC,使∠C=90°,∠A=60°,计算∠A的对边与斜边的比
在直角三角形中,如果一个锐角的度数是45°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是一个固定值,为
.
在直角三角形中,如果一个锐角的度数是60°,那么不管三角形的大小如何,这个角的对边与斜边的比是一个固定值,为
.
在直角三角形中,当锐角A的度数一定时,不管三角形的大小如何,它的对边与斜边的比是一个固定值.
问题3 任意画Rt△ABC和Rt△
,使得∠C=∠C'=90°.∠A=∠A',那么
与
有什么关系.你能解释一下吗?
解:
∵ ∠C=∠C'=90°,∠A=∠A'.
∴ Rt△ABC∽Rt△
∴
∴
在Rt△ABC中,∠C=90°,我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦,记作sinA,即
sinA=
sin30°=
,sin45°=
,sin60°=
例 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值.
练习提高,提升能力
练习1 如下三幅图,在Rt△ABC中,∠C=90°,求sinA和sinB的值
B
练习2 判断下列结论是否正确,并说明理由.
(1)在Rt△ABC中,锐角A的对边和斜边同时扩大100倍,sinA的值也扩大100倍;
(2)如图所示,△ABC的顶点是正方形网格的格点,则sinB= = .
反思与小结
1.本节课我们学习了哪些知识?
2.研究锐角正弦的思路是如何构建的?
课后作业
1.教科书第64页练习.
2.课外探究:
在直角三角形中,锐角A的邻边与斜边的比是否也是一个固定值.
教学反思
28.1.2 锐角三角函数
教学目标
1.知识与技能
(1)了解锐角三角函数的概念,能够正确应用sinA、tanA表示直角三角形中两边的比;记忆30°、45°、60°的正弦函数值,并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角;
(2)能够正确地使用计算器,由已知锐角求出它的三角函数值,由已知三角函数值求出相应的锐角.
2.过程与方法
通过锐角三角函数的学习,进一步认识函数,体会函数的变化与对应的思想,逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力.
3.情感、态度与价值观
引导学生探索、发现,以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯.
重点与难点
1.重点:
正弦、正切三角函数概念及其应用.
2.难点:
使学生知道当锐角固定时,它的对边与斜边、对边与邻边的比值也是固定的这一事实.用含有几个字母的符号组sinA表示正弦、正切,正弦和正切概念.
教学过程
类比推理,提出概念
请同学们回顾一下,我们是如何得到锐角正弦的概念的?
在Rt△ABC中,∠C=90°,当∠A确定时,∠A的对边与斜边比随之确定.此时,其他边之间的比是否也随之确定呢?
证明推理,引出概念
如图:
在△ABC和△DEF中,∠A=∠D,∠C=∠F
=90°,
与
相等吗?
与
呢?
证明推理,得到概念
在Rt△ABC中,当锐角A的度数一定时,无论这个直角三角形大小如何,∠A的邻边与斜边的比、对边与邻边的比都是一个固定值.
在直角三角形中,锐角的邻边与斜边的比叫做这个锐角的余弦,记作cosA.
在直角三角形中,锐角的对边与邻边的比叫做这个锐角的正切,记作tanA.
证明推理,得到概念
∠A的正弦、余弦、正切都是∠A的锐角三角函数.
巩固概念
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,BC=6,求sinA,cosA,tanA的值.
小结反思
1.通过本节课的学习,我们一共学习了哪几种锐角三角函数,它们是如何定义的?
2.在本节课的学习中,我们用到了哪些数学思想方法?
课后作业
教科书第68页习题28.1 第1题.
教学反思
28.1.4锐角三角函数
课型:
习题课
教学目标:
1.主进一步认识锐角三角函数
2.准确把握锐角的正弦、余弦和正切间的联系与区别,进而灵活运用锐角三角函数的概念解决问题.
学习目标:
1.进一步认识锐角正弦、余弦和正切;
2.能根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有
关的简单计算.
学习重点:
根据锐角三角函数的定义解决与直角三角形有关的简单计算.
知识梳理
问题1 锐角三角函数是如何定义的?
总结锐角三角函数的定义过程,并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数.
问题2 借助两块三角尺说明30°,45°,60°角的三角函数值.
典型例题
例1已知,如图,Rt△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,延长CA至D点,使AD=AB.求∠D,tanD.
例2 已知,如图,⊙O的半径OA=4,弦AB=
,求劣弧AB的长.
例3 已知,如图,钝角△ABC中,AC=12cm,AB=16cm,sinA=
.求tanB.
小结与反思
回顾上述三个例题的解题思路,思考:
在解题过程中,求一个锐角的三角函数的实质是求什么?
已知一个锐角的三角函数值可以转化为怎样的条件?
在这一过程中应该注意什么?
布置作业
1.如图,在平面直角坐标系中,直径为10的⊙A经过点C(0,5)和点O(0,0),与x轴交于另一点D,点B是优弧ODC上一点,求∠OBC的余弦值.
2.已知:
如图,⊙O的半径OA=16cm,OC⊥AB于C点,sin∠AOC=
,求AB及OC的长.
3.已知:
如图△ABC中,D为BC中点,且∠BAD=90°,tanB=
,求∠CAD三角函数值.
B
A
D
C
教学反思
28.2.1解直角三角形及其应用
课型:
新授课
教学目标
1.结合已学过的勾股定理和三角形内角和定理,研究解直角三角形的方法.
2.了解解直角三角形的意义和条件;
3.能根据已知的两个条件(至少有一个是边),解直角三角形.
教学重点、难点:
解直角三角形的依据和方法.
教学过程
实例引入,初步体验
问题1 设塔顶中心点为B,塔身中心线与垂直中心线的夹角为∠A,过点B向垂直中心线引垂线,垂足为点C(如图).在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=5.2m,AB=54.5m,求∠A的度数.
概念
一般地,在直角三角形中,除直角外,共有五个元素,即三条边和两个锐角.由直角三角形中的已知元素,求出其余未知元素的过程,叫做解直角三角形.
(1)三边之间的关系
a2+b2=c2(勾股定理);
(2)两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°;
(3)边角之间的关系
sinA=
, cosA=
, tanA=
sinB=
, cosB=
, tanB=
.
问题3 从问题1的解答过程看,在直角三角形中,知道斜边和一条直角边,可以求其余的三个元素.那么,“知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),可以求其余元素”,还有哪几种情况呢?
例题示范,方法探究
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=
,BC=
,解这个直角三角形.
例2 如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=35°,b=20,解这个直角三角形(结果保留小数点后一位).
应用迁移,巩固提高
练习:
编写一道解直角三角形的题并解答.
归纳:
在直角三角形中,知道五个元素中的两个元素(至少有一个是边),我们就可以解这个直角三角形.
一般有两种情况:
(1)已知两条边;
(2)已知一条边和一个锐角.
归纳交流,总结反思
1.什么叫解直角三角形?
直角三角形中,除直角外,五个元素之间有怎样的关系?
2.两个直角三角形全等要具备什么条件?
为什么在直角三角形中,已知一条边和一个锐角,或两边,就能解这个直角三角形?
3.你能根据不同的已知条件,归纳相应的解直角三角形的方法吗?
课后作业
教科书第74页练习;
教科书习题28.2 第1题.
教学反思
28.2.2 解直角三角形及其应用
课型:
习题课
教学目标
1.利用解直角三角形进行几何图形的简单计算.
2.熟练掌握解直角三角形的方法;
3.能灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题.
教学重难点
灵活运用解直角三角形解决与直角三角形有关的图形计算问题.
知识梳理
问题1 什么叫解直角三角形?
为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角,或已知两边,能够解这个直角三角形?
问题2 根据不同的已知条件,归纳相应的解直角三角形的方法,完成下表填空.
一条边和一个
锐角
斜边c和
锐角∠A
∠B=,a=,
b=______
直角边a
和锐角∠A
∠B=______,b=______,
c=______
两条边
两条直角边
a和b
c=______,由______
求∠A=______,∠B=______
直角边a
和斜边c
b=______,由______
求∠A=_____,∠B=______
典型例题
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,根据下列条件解直角三角形:
(1)a=
,c=
;
(2)∠B=60°,b=4;
(3)∠A=60°,△ABC的面积S=
.
例2 在△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是∠BAC的角平分线,与BC相交于点D,且AB=4,求AD的长.
例3 在△ABC中,∠B=30°,∠C=45°,AC=4,求AB和BC.
布置作业
1.已知在△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,若∠B=30°,CD=6,求AB的长.
2.AD⊥CD,AB=10,BC=20,∠A=∠C=30°,求AD,CD的长.
教学反思
28.2.3 解直角三角形及其应用
教学目标
1.能利用直角三角形中的这些关系解直角三角形.
2.使学生把实际问题转化为解直角三角形问题,从而会把实际问题转化为数学问题来解决,进一步提高数学建模能力
3.通过综合运用勾股定理,直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形,逐步培养学生分析问题、解决问题的能力.
教学重点
将某些实际问题中的数量关系,归结为直角三角形元素之间的关系,从而利用所学知识解决实际问题.
教学过程
复习引入,知识储备
问题1 如图,PA切⊙O于点A,PO交⊙O于点B,⊙O的半径为1cm,PB=1.2cm,则∠AOB=,弧AB=
.
问题2 平时观察物体时,我们的视线相对于水平线来说可有几种情况?
三种:
重叠、向上和向下.
在视线与水平线所成的角中,视线在水平线上方时,视线与水平线所成的角叫仰角,视线在水平线下方时,视线与水平线所成的角叫俯角.
应用知识,解决问题
问题3 2012年6月18日,“神舟”九号载人航天飞船与“天宫”一号目标飞行器成功实现交会对接.“神舟”九号与“天宫”一号的组合体在离地球表面343km的圆形轨道上运行,如图,当组合体运行到地球表面P点的正上方时,从中能直接看到的地球表面最远
的点在什么位置?
最远点与P点的距离是多少(地球半径约为6400km,π取3.142,
结果取整数)?
从组合体中能直接看到的地球表面最远的点在什么位置?
从组合体中能直接看到的地球表面最远点,应是视线与地球相切时的切点.
在平面图形中,用什么图形可表示地球,用什么图形表示观测点,请根据题中的相关条件画出示意图.
如图,用⊙O表示地球,点F是组合体的位置,FQ是⊙O的切线,切点Q是从组合体观测地球时的最远点.
问题中求最远点与P点的距离实际上是要求什么?
需先求哪个量?
怎样求?
弧PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离,为计算弧PQ的长需先求出∠POQ(即α).
应用知识,解决问题
问题4 热气球的探测器显示,从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°,看这栋楼底部的俯角为60°,热气球与楼的水平距离为120m,这栋楼有多高(结果取整数)?
(1)从热气球看一栋楼顶部的仰角为30°→α=30°
(2)从热气球看一栋楼底部的俯角为60°→β=60°
(3)热气球与高楼的水平距离为120m→AD=120m,AD⊥BC.
(4)这个问题可归纳为什么问题解决?
怎样解决?
在直角三角形中,已知一锐角和与这个锐角相邻的直角边,可以利用解直角三角形的知识求这个锐角所对的直角边,再利用两线段之和求解.
归纳总结
应用解直角三角形的方法解决实际问题的一般步骤:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件,适当选用锐角三角函数解直角三角形;
(3)得到数学问题的答案;
(4)得到实际问题的答案.
如果问题不能归结为一个直角三角形,则应当对所求的量进行分解,将其中的一部分量归结为直角三角形中的量.
布置作业
教科书习题28.2 第2,3,4题
教学反思
28.2.4 解直角三角形及其应用
教学目标
1.“在航海中确定轮船距离灯塔有多远”的实际问题理解解直角三角形的理论在实际中的应用,进一步领悟解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具。
2.了解方位角、坡角、坡度;
3.会运用解直角三角形的知识解决有关实际问题;
4.体会数形结合和数学模型思想.
教学重点:
把实际问题转化为解直角三角形的问题.
教学过程
问题1
一艘轮船在大海上航行,当航行到A处时,观测到小岛B的方向是北偏西35°,那么同时从B处观测到轮船在什么方向?
若轮船从A处继续往正西方向航行到C处,此时,C处位于小岛B的南偏西40°方向,你能确定C的位置吗?
试画图说明.
从B处观测到A处的轮船是________方向.
A
B
C
40°
35°
问题2
一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向,距离灯塔80nmile的A处,它沿正南方向航行一段时间后,到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处,这时,B处距距离灯塔P有多远(结果取整数)?
探究
(1)根据题意,你能画出示意图吗?
(2)结合题目的条件,你能确定图中哪些线段和
角?
求什么?
怎样求?
(3)你能写出解题过程吗(要求过程完整规范)?
(4)想一想,求解本题的关键是什么?
问题3
海中有一个小岛A,它周围8nmile内有暗礁,渔船跟踪鱼群由西向东航行,在B点测得小岛A在北偏东60°方向上,航行12nmile到达D点,这时测得小岛A在北偏东30°方向上,如果渔船不改变航线继续向东航行,有没有触礁的危险?
思考
1.渔船由B向东航行,到什么位置离海岛A最近?
2.最近的距离怎样求?
3.如何判断渔船有没有触礁?
问题4
如图,拦水坝的横断面为梯形ABCD,斜面坡度i=1比1.5是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比,斜面坡度i=1比3是指DE与CE的比,根据图中数据,求:
(1)坡角α和β的度数;
(2)斜坡AB的长(结果保留小数点后一位).
反思归纳
(1)回顾利用直角三角形的知识解决实际问题的过程,你认为一般步骤是什么?
关键是什么?
(2)有的同学说,类似于方程、函数、不等式,解直角三角形的知识也是解决实际问题的有效数学工具,对此你有什么看法?
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是:
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形的问题);
(2)根据条件的特点,适当选用锐角三角函数等去解直角三角形;
(3)得到数学问题的解;
(4)得到实际问题的解.
布置作业
教科书习题28.2 第5,9题
教学反思
28.3锐角三角函数章末整合
教学目标
1.对本章内容进行梳理总结,建立知识体系,综合应用本章知识解决问题.
2.熟练掌握直角三角形的解法,并用相关知识解决一些简单的实际问题,进一步加深对锐角三角函数的认识.
教学重点:
梳理本章的知识结构体系,并灵活运用锐角三角函数和解直角三角形的知识解决问题.
教学过程
知识梳理
问题1 请同学们解答下列问题:
(1)锐角三角函数是如何定义的?
总结锐角三角函数的定义过程,并写出如图所示的直角三角形中两个锐角的三角函数.
(2)两个直角三角形全等要具备什么条件?
为什么在直角三角形中已知一条边和一个锐角,或已知两边,能够解这个直角三角形?
(3)你能根据不同的已知条件(例如,已知斜边和一个锐角),归纳相应的解直角三角形的方法吗?
(4)锐角三角函数在实践中有广泛的应用,你能举例说明这种应用吗?
体系建构
问题2 整理一下本章所学的主要知识,你能发现它们之间的联系吗?
你能画出一个本章的知识结构图吗?
直角三角形中的边角关系
锐角
三角函数
解直角三角形
实际问题
典型例题
例1 在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,cosB=
,求sinB,tanA的值.
若去掉“AB=10”这一条件,你还能完成此题的解答吗?
例2 一副直角三角板如图放置,点C在FD的延长线上,AB∥CF,∠F=∠ACB=90°,∠E=45°,∠A=60°,AC=10,试求CD的长.
例3城市规划期间,欲拆除一电线杆AB,已知距电线杆AB水平距离14m的D处有一大坝,背水坡CD的坡度i=2∶1,坝高CF为2m,在坝顶C处测得杆顶A的仰角为30°,D,E之间是宽为2m的人行道.试问:
在拆除电线杆AB时,为确保行人安全,是否需要将此人行道封上?
A
B
G
C
ED
F
30°
人行道
课堂小结
(1)通过对本章的学习,你认为本章的核心知识是什么?
(2)在学习过程中,还有哪些需要注意的地方?
教学反思