高考数学三角函数大题综合训练.docx

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高考数学三角函数大题综合训练

2017三角函数大题综合训练

一．解答题（共30小题）

1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：

sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：

B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

14．（2015•陕西）△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．向量=（a，b）与=（cosA，sinB）平行．

（Ⅰ）求A；

（Ⅱ）若a=，b=2，求△ABC的面积．

15．（2015•江苏）在△ABC中，已知AB=2，AC=3，A=60°．

（1）求BC的长；

（2）求sin2C的值．

16．（2015•天津）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知△ABC的面积为3，b﹣c=2，cosA=﹣．

（Ⅰ）求a和sinC的值；

（Ⅱ）求cos（2A+）的值．

17．（2015•怀化一模）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c=asinC﹣ccosA．

（1）求角A；

（2）若a=2，△ABC的面积为，求b，c．

18．（2015•甘肃一模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bcosC=3acosB﹣ccosB．

（Ⅰ）求cosB的值；

（Ⅱ）若，且，求a和c的值．

19．（2015•衡水四模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，函数f（x）=2cosxsin（x﹣A）+sinA（x∈R）在x=处取得最大值．

（1）当时，求函数f（x）的值域；

（2）若a=7且sinB+sinC=，求△ABC的面积．

20．（2015•潍坊模拟）已知函数f（x）=2cos2x+2sinxcosx（x∈R）．

（Ⅰ）当x∈[0，]时，求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）设△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c，且c=3，f（C）=2，若向量=（1，sinA）与向量=（2，sinB）共线，求a，b的值．

21．（2015•济南二模）已知向量=（cos（2x﹣），cosx+sinx），=（1，cosx﹣sinx），函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知f（A）=，a=2，B=，求△ABC的面积S．

22．（2015•和平区校级三模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a，b，c，且a=3，b=4，B=+A．

（1）求cosB的值；

（2）求sin2A+sinC的值．

23．（2015•洛阳三模）在锐角△ABC中，=

（1）求角A；

（2）若a=，求bc的取值范围．

24．（2015•河北区一模）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且2cosAcosC+1=2sinAsinC．

（Ⅰ）求B的大小；

（Ⅱ）若，，求△ABC的面积．

25．（2015•云南一模）在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且=（sinA+sinB+sinC，sinC），=（sinB，sinB+sinC﹣sinA），若

（1）求A的大小；

（2）设为△ABC的面积，求的最大值及此时B的值．

26．（2015•历下区校级四模）已知向量，，若．

（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；

（Ⅱ）已知△ABC的三内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a=3，（A为锐角），2sinC=sinB，求A、c、b的值．

27．（2015•高安市校级模拟）在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知sin（A+）+2cos（B+C）=0，

（1）求A的大小；

（2）若a=6，求b+c的取值范围．

28．（2015•威海一模）△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，，sin（B﹣A）=cosC．

（Ⅰ）求A，B，C；

（Ⅱ）若S△ABC=3+，求a，c．

29．（2015•新津县校级模拟）已知向量，函数f（x）=．

（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（B）=1，b=，sinA=3sinC，求△ABC的面积．

30．（2015•和平区二模）在△ABC中，角A，B，C为三个内角，已知cosA=，cosB=，BC=5．

（Ⅰ）求AC的长；

（Ⅱ）设D为AB的中点，求CD的长．

三角函数大题综合训练

参考答案与试题解析

一．解答题（共30小题）

1．（2016•白山一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知=

（1）求角C的大小，

（2）若c=2，求使△ABC面积最大时a，b的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】

（1）已知等式左边利用正弦定理化简，右边利用诱导公式变形，整理后再利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式变形，根据sinA不为0求出cosC的值，即可确定出C的度数；

（2）利用余弦定理列出关系式，将c与cosC的值代入并利用基本不等式求出ab的最大值，进而确定出三角形ABC面积的最大值，以及此时a与b的值即可．

【解答】解：

（1）∵A+C=π﹣B，即cos（A+C）=﹣cosB，

∴由正弦定理化简已知等式得：

=，

整理得：

2sinAcosC+sinBcosC=﹣sinCcosB，即﹣2sinAcosC=sinBcosC+cosBsinC=sin（B+C）=sinA，

∵sinA≠0，

∴cosC=﹣，

∵C为三角形内角，

∴C=；

（Ⅱ）∵c=2，cosC=﹣，

∴由余弦定理得：

c2=a2+b2﹣2abcosC，即4=a2+b2+ab≥2ab+ab=3ab，

∴ab≤，（当且仅当a=b时成立），

∵S=absinC=ab≤，

∴当a=b时，△ABC面积最大为，此时a=b=，

则当a=b=时，△ABC的面积最大为．

【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及基本不等式的运用，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．

2．（2016•广州模拟）在△ABC中，角A、B、C对应的边分别是a、b、c，已知3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A．

（I）求角A的大小；

（Ⅱ）若△ABC的面积S=5，b=5，求sinBsinC的值．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）利用两角和与差的三角函数以及二倍角公式化简3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得到cosA的值，即可求解A．

（II）通过三角形的面积求出b、c的值，利用余弦定理以及正弦定理求解即可．

【解答】解：

（I）由3cosBcosC+2=3sinBsinC+2cos2A，得

2cos2A+3cosA﹣2=0，﹣﹣﹣﹣﹣（2分）

即（2cosA﹣1）（cosA+2）=0．

解得cosA=或cosA=﹣2（舍去）．﹣﹣﹣﹣﹣（4分）

因为0＜A＜π，所以A=．﹣﹣﹣﹣（6分）

（II）由S=bcsinA=bc•=bc=5，得bc=20．

又b=5，所以c=4．﹣﹣﹣﹣﹣（8分）

由余弦定理，得a2=b2+c2﹣2bccosA=25+16﹣20=21，故a=．﹣﹣﹣（10分）

又由正弦定理，得sinBsinC=sinA•sinA=•sin2A=×=．﹣﹣﹣﹣（12分）

【点评】本题考查正弦定理以及余弦定理的应用，两角和与差的三角函数，考查转化思想以及计算能力．

3．（2016•成都模拟）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x．

（Ⅰ）求函数f（x）取得最大值时x的集合；

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=﹣，求sinA的值．

【考点】正弦定理；三角函数中的恒等变换应用．

【专题】转化思想；综合法；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由条件利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用余弦函数的值域求得函数f（x）取得最大值时x的集合．

（Ⅱ）由条件求得cos（2C+）=﹣，C=，求出sinB的值，再根据sinA=sin（B+C）求得它的值．

【解答】解：

（Ⅰ）函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx﹣sin2x=cos2x﹣sinxcosx+（cos2x﹣sin2x）

=﹣sin2x+cos2x=+cos（2x+），

故函数取得最大值为，此时，2x+=2kπ时，即x的集合为{x|x=kπ﹣，k∈Z}．

（Ⅱ）设A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，若cosB=，f（C）=+cos（2C+）=﹣，

∴cos（2C+）=﹣，又A、B、C为锐角三角形ABC的三个内角，∴2C+=，∴C=．

∵cosB=，∴sinB=，

∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=+=．

【点评】本题主要考查三角恒等变换，余弦函数的值域，同角三角函数的基本关系，属于中档题．

4．（2016•台州模拟）已知a，b，c分别是△ABC的三个内角A，B，C所对的边，且c2=a2+b2﹣ab．

（1）求角C的值；

（2）若b=2，△ABC的面积，求a的值．

【考点】余弦定理；三角形的面积公式．

【专题】解三角形．

【分析】

（1）利用余弦定理，可求角C的值；

（2）利用三角形的面积公式，可求a的值．

【解答】解：

（1）∵c2=a2+b2﹣ab，∴cosC==，

∵0°＜C＜180°，∴C=60°；

（2）∵b=2，△ABC的面积，

∴=，

解得a=3．

【点评】本题考查余弦定理的运用，考查三角形面积的计算，正确运用公式是关键．

5．（2016•惠州模拟）如图所示，在四边形ABCD中，∠D=2∠B，且AD=1，CD=3，cosB=．

（Ⅰ）求△ACD的面积；

（Ⅱ）若BC=2，求AB的长．

【考点】余弦定理的应用；正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出D角的正弦函数值，然后求△ACD的面积；

（Ⅱ）利用余弦定理求出AC，通过BC=2，利用正弦定理求解AB的长．

【解答】（共13分）

解：

（Ⅰ）因为∠D=2∠B，，

所以．…（3分）

因为∠D∈（0，π），

所以．…（5分）

因为AD=1，CD=3，

所以△ACD的面积．…（7分）

（Ⅱ）在△ACD中，AC2=AD2+DC2﹣2AD•DC•cosD=12．

所以．…（9分）

因为，，…（11分）

所以．

所以AB=4．…（13分）

【点评】本题考查余弦定理以及正弦定理的应用，基本知识的考查．

6．（2015•山东）△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知cosB=，sin（A+B）=，ac=2，求sinA和c的值．

【考点】正弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】①利用两角和与差的正弦函数公式以及基本关系式，解方程可得；

②利用正弦定理解之．

【解答】解：

①因为△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知cosB=，

sin（A+B）=，ac=2，所以sinB=，sinAcosB+cosAsinB=，

所以sinA+cosA=，结合平方关系sin2A+cos2A=1，

得27sin2A﹣6sinA﹣16=0，

解得sinA=或者sinA=﹣（舍去）；

②由正弦定理，由①可知sin（A+B）=sinC=，sinA=，

所以a=2c，又ac=2，所以c=1．

【点评】本题考查了利用三角函数知识解三角形，用到了两角和与差的正弦函数、同角三角函数的基本关系式、正弦定理等知识．

7．（2015•新课标I）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，sin2B=2sinAsinC．

（Ⅰ）若a=b，求cosB；

（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC的面积．

【考点】正弦定理；余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（I）sin2B=2sinAsinC，由正弦定理可得：

b2=2ac，再利用余弦定理即可得出．

（II）利用（I）及勾股定理可得c，再利用三角形面积计算公式即可得出．

【解答】解：

（I）∵sin2B=2sinAsinC，

由正弦定理可得：

＞0，

代入可得（bk）2=2ak•ck，

∴b2=2ac，

∵a=b，∴a=2c，

由余弦定理可得：

cosB===．

（II）由（I）可得：

b2=2ac，

∵B=90°，且a=，

∴a2+c2=2ac，解得a=c=．

∴S△ABC==1．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、勾股定理、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

8．（2015•湖南）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a=btanA．

（Ⅰ）证明：

sinB=cosA；

（Ⅱ）若sinC﹣sinAcosB=，且B为钝角，求A，B，C．

【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由正弦定理及已知可得=，由sinA≠0，即可证明sinB=cosA．

（Ⅱ）由两角和的正弦函数公式化简已知可得sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由

（1）sinB=cosA，可得sin2B=，结合范围可求B，由sinB=cosA及A的范围可求A，由三角形内角和定理可求C．

【解答】解：

（Ⅰ）证明：

∵a=btanA．

∴=tanA，

∵由正弦定理：

，又tanA=，

∴=，

∵sinA≠0，

∴sinB=cosA．得证．

（Ⅱ）∵sinC=sin[π﹣（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，

∴sinC﹣sinAcosB=cosAsinB=，由

（1）sinB=cosA，

∴sin2B=，

∵0＜B＜π，

∴sinB=，

∵B为钝角，

∴B=，

又∵cosA=sinB=，

∴A=，

∴C=π﹣A﹣B=，

综上，A=C=，B=．

【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式的应用，属于基础题．

9．（2015•新课标II）△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

（1）求；

（2）若AD=1，DC=，求BD和AC的长．

【考点】正弦定理；三角形中的几何计算．

【专题】解三角形．

【分析】

（1）如图，过A作AE⊥BC于E，由已知及面积公式可得BD=2DC，由AD平分∠BAC及正弦定理可得sin∠B=，sin∠C=，从而得解．

（2）由

（1）可求BD=．过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，由AD平分∠BAC，可求AB=2AC，令AC=x，则AB=2x，利用余弦定理即可解得BD和AC的长．

【解答】解：

（1）如图，过A作AE⊥BC于E，

∵==2

∴BD=2DC，

∵AD平分∠BAC

∴∠BAD=∠DAC

在△ABD中，=，∴sin∠B=

在△ADC中，=，∴sin∠C=；

∴==．…6分

（2）由

（1）知，BD=2DC=2×=．

过D作DM⊥AB于M，作DN⊥AC于N，

∵AD平分∠BAC，

∴DM=DN，

∴==2，

∴AB=2AC，

令AC=x，则AB=2x，

∵∠BAD=∠DAC，

∴cos∠BAD=cos∠DAC，

∴由余弦定理可得：

=，

∴x=1，

∴AC=1，

∴BD的长为，AC的长为1．

【点评】本题主要考查了三角形面积公式，正弦定理，余弦定理等知识的应用，属于基本知识的考查．

10．（2015•湖南）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，a=btanA，且B为钝角．

（Ⅰ）证明：

B﹣A=；

（Ⅱ）求sinA+sinC的取值范围．

【考点】正弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】（Ⅰ）由题意和正弦定理可得sinB=cosA，由角的范围和诱导公式可得；

（Ⅱ）由题意可得A∈（0，），可得0＜sinA＜，化简可得sinA+sinC=﹣2（sinA﹣）2+，由二次函数区间的最值可得．

【解答】解：

（Ⅰ）由a=btanA和正弦定理可得==，

∴sinB=cosA，即sinB=sin（+A）

又B为钝角，∴+A∈（，π），

∴B=+A，∴B﹣A=；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知C=π﹣（A+B）=π﹣（A++A）=﹣2A＞0，

∴A∈（0，），∴sinA+sinC=sinA+sin（﹣2A）

=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sin2A

=﹣2（sinA﹣）2+，

∵A∈（0，），∴0＜sinA＜，

∴由二次函数可知＜﹣2（sinA﹣）2+≤

∴sinA+sinC的取值范围为（，]

【点评】本题考查正弦定理和三角函数公式的应用，涉及二次函数区间的最值，属基础题．

11．（2015•四川）已知A、B、C为△ABC的内角，tanA，tanB是关于方程x2+px﹣p+1=0（p∈R）两个实根．

（Ⅰ）求C的大小

（Ⅱ）若AB=3，AC=，求p的值．

【考点】正弦定理的应用；两角和与差的正切函数．

【专题】函数的性质及应用；解三角形．

【分析】（Ⅰ）由判别式△=3p2+4p﹣4≥0，可得p≤﹣2，或p≥，由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p，由两角和的正切函数公式可求tanC=﹣tan（A+B）=，结合C的范围即可求C的值．

（Ⅱ）由正弦定理可求sinB==，解得B，A，由两角和的正切函数公式可求tanA=tan75°，从而可求p=﹣（tanA+tanB）的值．

【解答】解：

（Ⅰ）由已知，方程x2+px﹣p+1=0的判别式：

△=（p）2﹣4（﹣p+1）=3p2+4p﹣4≥0，

所以p≤﹣2，或p≥．

由韦达定理，有tanA+tanB=﹣p，tanAtanB=1﹣p．

所以，1﹣tanAtanB=1﹣（1﹣p）=p≠0，

从而tan（A+B）==﹣=﹣．

所以tanC=﹣tan（A+B）=，

所以C=60°．

（Ⅱ）由正弦定理，可得sinB===，

解得B=45°，或B=135°（舍去）．

于是，A=180°﹣B﹣C=75°．

则tanA=tan75°=tan（45°+30°）===2+．

所以p=﹣（tanA+tanB）=﹣（2+）=﹣1﹣．

【点评】本题主要考查了和角公式、诱导公式、正弦定理等基础知识，考查了运算求解能力，考查了函数与方程、化归与转化等数学思想的应用，属于中档题．

12．（2015•河西区二模）设△ABC的内角A，B，C的内角对边分别为a，b，c，满足（a+b+c）（a﹣b+c）=ac．

（Ⅰ）求B．

（Ⅱ）若sinAsinC=，求C．

【考点】余弦定理；两角和与差的正弦函数．

【专题】解三角形．

【分析】（I）已知等式左边利用多项式乘多项式法则计算，整理后得到关系式，利用余弦定理表示出cosB，将关系式代入求出cosB的值，由B为三角形的内角，利用特殊角的三角函数值即可求出B的度数；

（II）由（I）得到A+C的度数，利用两角和与差的余弦函数公式化简cos（A﹣C），变形后将cos（A+C）及2sinAsinC的值代入求出cos（A﹣C）的值，利用特殊角的三角函数值求出A﹣C的值，与A+C的值联立即可求出C的度数．

【解答】解：

（I）∵（a+b+c）（a﹣b+c）=（a+c）2﹣b2=ac，

∴a2+c2﹣b2=﹣ac，

∴cosB==﹣，

又B为三角形的内角，

则B=120°；

（II）由（I）得：

A+C=60°，∵sinAsinC=，cos（A+C）=，

∴cos（A﹣C）=cosAcosC+sinAsinC=cosAcosC﹣sinAsinC+2sinAsinC=cos（A+C）+2sinAsinC=+2×=，

∴A﹣C=30°或A﹣C=﹣30°，

则C=15°或C=45°．

【点评】此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．

13．（2015•浙江）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A=，b2﹣a2=c2．

（1）求tanC的值；

（2）若△ABC的面积为3，求b的值．

【考点】余弦定理．

【专题】解三角形．

【分析】

（1）由余弦定理可得：

，已知b2﹣a2=c2．可得，a=．利用余弦定理可得cosC．可得sinC=，即可得出tanC=．

（2）由=×=3，可得c，即可得出b．

【解答】解：

（1）∵A=，∴由余弦定理可得：

，∴b2﹣a2=bc﹣c2，

又b2﹣a2=c2．∴bc﹣c2=c2．∴b=c．可得，

∴a2=b2﹣=，即a=．

∴cosC===．

∵C∈（0，π），

∴sinC==．

∴tanC==2．

（2）∵=×=3，

解得c=2．

∴=3．

【点评】本题考查了正弦定理余弦定理、同角三角形基本关系式、三角形面积计算公