中考数学一轮复习第四章几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题.docx
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中考数学一轮复习第四章几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题
2019-2020年中考数学一轮复习第四章几何初步第5节直角三角形与勾股定理试题
课标呈现指引方向
1.了解直角三角形的概念,探索并掌握直角三角形的性质定理:
直角三角形的两个锐角互余,直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
掌握有两个角互余的三角形是直角三角形。
2.探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题。
考点梳理夯实基础
1.直角三角形的性质:
(1)直角三角形的两个锐角;
【答案】互余
(2)勾股定理:
若直角三角形的两条直角边分别为a,b,斜边为c,那么;
【答案】a2+b2=c2
(3)直角三角形斜边上的中线等于;
【答案】斜边的一半
(4)直角三角形中,30°角所对的直角边等于.
【答案】斜边的一半
2.直角三角形的判定:
(1)勾股定理逆定理:
如果三角形的三边a,b,c满足a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形;
(2)如果三角形一边上的中线等于这边的,那么这个三角形是直角三角形.
【答案】一半
3.勾股数:
可以构成直角三角形三边的一组正整数.常见的勾股数有:
(3,4,5)、(5,12,13)、(7,24,25)、(8,15,17)…以及(3n,4n,5n)、(5n,12n,13n)、(7n,24n,25n)、(8n,15n,17n)…(n为正整数)
考点精析专项突破
考点一勾股定理和勾股定理的逆定理
【例1】
(1)(xx临沂)如图,将一矩形纸片ABCD折叠,使两个顶点A,C重合,折痕为FG.若AB=4,BC=8,则△ABF的面积为_____________.
【答案】6
解题点拨:
本题考查矩形的性质,折叠的性质,勾股定理等,根据勾股定理列出方程是解题的关键.①先利用矩形的性质和折叠的性质得出∠B=90°,AF=FC;②然后利用勾股定理列方程求出BF的长;③再用三角形面积公式求出三角形的面积.
(2)(xx武汉)如图,在四边形ABCD中,∠ABC=90°,AB=3,BC=4,CD=10,DA=,则BD的长为___________
【答案】
解题点拨:
连接AC,过点D作BC边上的高,交BC延长线于点H.在Rt△ABC中,AB=3,BC=4,∴AC=5,又CD=10,DA=5,可知△ACD为直角三角形,且∠ACD=90°,易证△ABC∽△CHD.则CH=6,DH=8,从而在Rt△BHD中易求BD.
考点二性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”的运用
【例3】如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,DE⊥BC,垂足为点E.连接AC交DE于点F,点G为AF的中点.∠ACD=2∠ACB.若DG=3,EC=1.求DE的长.
解题点拨:
综合考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线,解题的关键是证明CD=DG=3.
鼹:
∵AD∥BC,DE⊥BC,
∴DE⊥AD,∠CAD=∠ACB
∵点G为AF的中点,
∴DG=AG,∴∠GAD=∠GDA,
∴∠CGD=2∠CAD,
∵∠ACD=2∠ACB,
∴∠ACD=∠CGD,
∴CD=DG=3,
在Rt△CED中,DE==2.
考点三性质“直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半”的运用
【例4】(xx西宁)如图,OP平分∠AOB,∠AOP=15°,PC∥OA,PD⊥OA于点D,PC=4,则PD=.
【答案】2
解题点拨:
作PE⊥OB于E,根据角平分线的性质可得PE=PD.根据平行线的性质可得∠BCP=∠AOB=30°,由直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半,可求得PE,即可求得PD.
课堂训练
当堂检测
1.(xx南京)下列长度的三条线段能组成直角三角形的是()
A.3,4,4B.3,4,5
C.3,4,6D.3,4,7
【答案】B
2.(xx滨州)如图,在直角∠O的内部有一滑动杆AB,当端点A沿直线AO向下滑动时,端点B会随之自动地沿直线OB向左滑动,如果滑动杆从图中AB处滑动到处,那么滑动杆的中点C所经过的路径是()
A.直线的一部分B.圆的一部分
C.双曲线的一部分D.抛物线的一部分
第2题
【答案】B
3.(xx黄冈)如图,在矩形ABCD中,点E,F分别在边CD,BC上,且DC=3DE=3a,将矩形沿直线EF折叠,使点C恰好落在AD边上的点P处,则FP=.
【答案】2a
第3题
4.(xx重庆A)如图1,在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,点E是∠BAC角平分线上一点,过点E作AE的垂线,过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD的中点,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.
(1)如图1,若点H是AC的中点,AC=2,求AB,BD的长:
(2)如图1,求证:
HF=EF;
(3)如图2,连接CF,CE,猜想:
△CEF是否是等边三角形?
若是,请证明;若不是,请说明理由,
图1图2
第4题
【答案】
解:
(1)∵在△ABC中,∠ACB=90°,∠BAC=60°,AC=2,
∴AB===4.
∵AD⊥AB.∴∠DAH=30°.
∵点H是AC的中点,∴AH=AC=.
∴在△ADH中.AD===2.
∴在△ADB中,根据勾股定理,得
BD===2.
(2)如答图1,连接AF,
易证:
△DAE≌△ADH(AAS),∴DH=AE.
∵∠FDH=∠FDA-∠HDA=∠FDA-60°=(90°-∠FBA)-60°=30°-∠FBA,
∴∠EAF=∠FDH.
又∵点F是BD的中点,即AF是Rt△ABD斜边上的中线,∴AF=DF.
∴△DHF≌△AEF(SAS).∴HF=EF.
(3)△CEF为等边三角形,证明如下:
如答图2,取AB的中点M,连接CM、FM,
在Rt△ADE中,AD=2AE,
∵FM是△ABD的中位线.
∴AD=2FM.∴FM=AE.
易证△ACM为等边三角形,
∴AC=CM,∠ACM=60°.
∵∠CAE=∠CAB=30°,
∠CMF=∠AMF-∠AMC=30°,
∴∠CAE=∠CMF.
∴△ACE≌△MCF(SAS).∴CE=CF,∠ACE=∠MCF.
∴∠ECF=∠ECM+∠MCF=∠ECM+∠ACE=60°.
∴△CEF为等边三角形.
图1图2
第4题答案图
中考达标
模拟自测
A组基础训练
一、选择题
1.(xx连云港)如图1,分别以直角三角形三边为边向外作等边三角形,面积分别为S1、S2、S3;如图2,分别以直角三角形三个顶点为圆心,三边长为半径向外作圆心角相等的扇形,面积分别为S4、S5、S6.其中S1=16,S2=45,S5=11,S6=14,则S3+S4=()
A.8B.64C.54D.48
图1图2
第1题
【答案】C
2.(xx海南)如图,AD是△ABC的中线,∠ADC=45°,把△ADC沿着直线AD对折,点C落在点E的位置.如果BC=6,那么线段BE的长度为()
A.6B.6C.2D.3
第2题
【答案】D
3.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,AD是∠BAC的平分线,若P,Q分别是AD和AC上的动点,则PC+PQ的最小值是()
A.B.4C.D.5
第3题
【答案】C
4.(xx泰安)如图,矩形ABCD中,E是AD的中点,将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE.延长BG交CD于点F.若AB=6,BC=4,则FD的长为()
A.2B.4C.BD.2
第4题
【答案】B
二、填空题
5.(xx随州)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,M、N分别是AB、AC的中点,延长BC至点D,使CD=BD,连接DM、DN、MN.若AB=6,则DN=.
第5题
【答案】3
6.(xx温州)七巧板是我们祖先的一项卓越创造,被誉为“东方魔板”,小明利用七巧板(如图1所示)中各板块的边长之间的关系拼成一个凸六边形(如图2所示),则该凸六边形的周长是cm.
图1图2
第6题
【答案】(32+16)
7.(xx连云港)如图1,将正方形纸片ABCD对折,使AB与CD重合,折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合,折痕为GH,点B的对应点为点M.EM交AB于N.若AD=2.
则MN=
图1图2
第7题
【答案】
三、解答题
8.已知,如图,在△ABC中,∠ACB=90°,点D为AB中点,连接CD.点E为边AC上一点,过点E作EF∥AB,交CD于点F,连接EB,取EB的中点G,连接DG、FG..
(1)求证:
EF=CF;
(2)求证:
FG⊥DG.
第8题
【答案】证明:
(1)∵在R△ACB中,D为AB中点
∴DA=DC=DB
∴∠A=∠1
∵EF∥AB
∴∠2=∠A
∴∠1=∠2
∴CF=EF.
(2)延长FG,交AB于点H
∵EF∥AB
∴∠FEG=∠GBH
∵G为EB中点
∴EG=GB
又∵∠FGE=∠HGB
∴△EFG≌△BHG
∴FG=GH,EF=HB=CF
∴DC-CF=DB-HB
即DF=DH
∴DG⊥FG.
第8题答案图
9.(xx黄石)在△ABC中,AB=AC,∠BAC=2∠DAE=90°.
(1)如图1,若点D关于直线AE的对称点为F,求证:
DE2=BD2+CE2:
(2)如图2,点E在BC的延长线上,则等式DE2=BD2+CE2还能成立吗?
请说明理由.
图1图2
第9题
【答案】解:
(1)∵点D关于直线AE的对称点为F,
∴EF=DE,AF=AD,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD=90°-∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF-∠CAD=45°+45°-∠CAD=90°-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2;
(2)DE2=BD2+CE2还能成立.
理由如下:
作点D关于AE的对称点F,连接EF、CF,
由轴对称的性质得,EF=DE,AF=AD,
∵∠BAC=90°,
∴∠BAD=90°-∠CAD,
∠CAF=∠DAE+∠EAF-∠CAD=45°+45°-∠CAD=90°-∠CAD,
∴∠BAD=∠CAF,
在△ABD和△ACF中,
∴△ABD≌△ACF(SAS),
∴CF=BD,∠ACF=∠B,
∵△ABC是等腰直角三角形,
∴∠B=∠ACB=45°,
∴∠ECF=∠ACB+∠ACF=45°+45°=90°,
在Rt△CEF中,由勾股定理得,EF2=CF2+CE2,
所以,DE2=BD2+CE2.
第9题答案图
B组提高练习
10.(xx东营)在△ABC中,AB=10,AC=2,BC边上的高AD=6,则另一边BC等于()
A.10B.8C.6或10D.8或10
【答案】C(提示:
在图①中,由勾股定理,得BD===8;CD===2;∴BC=BD+CD=8+2=10.在图②中,由勾股定理,得BD===8;CD===2;∴BC=BD-CD=8-2=6.)
图①图②
11.(xx资阳)如图,在等腰直角△ABC中,∠ACB=90°,CO⊥AB于点O,点D、E分别在边AC、BC上,且AD=CE,连结DE交CO于点P,给出以下结论:
①△DOE是等腰直角三角形:
②∠CDE=∠COE;③若AC=1,则四边形CEOD的面积为,其中所有正确结论的序号是.
【答案】①②③(提示:
①如图,∵∠ACB=90°,AC=BC,CO⊥AB,∴AO=OB=OC,∠A=∠B=∠ACO=∠BCO=45°,∴△ADO≌△CEO,∴DO=OE,∠AOD=∠COE,∴∠AOC=∠DOE=90°,∴△DOE是等腰直角三角形.故①正确.②∵∠DCE+∠DOE=180°,∴D、C、E、O四点共圆,∴∠CDE=∠COE,故②正确.③∵AC=BC=1,∴S△ABC=×1×1=,
S四边形DCEO=S△DOC+S△CEO=S△CDO+S△ADO=S△AOC=S△ABC=,故③正确.)
12.△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF.连接CF.
(1)观察猜想
如图1.当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为:
.
②BC,CD,CF之间的数量关系为:
;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论②是否仍然成立?
若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.
图1图2图3
第12题
【答案】解:
(1)垂直,BC=CD+CF.
(2)不成立,BC=CD-CF.
∵正方形ADEF中,AD=AF,
∵∠BAC=∠DAF=90°,∴∠BAD=∠CAF,
∵AD=AF,AB=AC,
∴△DAB≌△FAC,∴∠ABD=∠ACF,CF=BD
∴∠ACF-∠ACB=90°,即CF⊥BD;
∵BC=CD-BD,∴BC=CD-CF.
(3)过A作AH⊥BC于H,过E作EM⊥BD于M,EN⊥CF于N,
∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴BC=AB=4,AH=BC=2,∴CD=BC=1,CH=BC=2,∴DH=3.
由
(2)证得BC⊥CF,CF=BD=5,
∵四边形ADEF是正方形,
∴AD=DE,∠ADE=90°,∵BC⊥CF,EM⊥BD,EN⊥CF,
∴四边形CMEN是矩形,∴NE=CM,EM=CN,
∵∠AHD=∠ADE=∠EMD=90°,
∴∠ADH+∠EDM=∠EDM+∠DEM=90°,
∴∠ADH=∠DEM,∴△ADH≌△DEM,
∴EM=DH=3,DM=AH=2,∴CN=EM=3,EN=CM=3,
∵∠ABC=45°,∴∠BGC=45°,
∴△BCG是等腰直角三角形,
∴CG=BC=4,∴GN=1,
∴EG==.
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