二、能力提升
8．下列说法正确的个数是（ ）
①长方形绕一条直线旋转一周所形成的几何体是圆柱；②过圆锥侧面上一点有无数条母线；③圆锥的母线互相平行．
A．0B．1C．2D．3
9．一个正方体内有一个内切球，作正方体的对角面，所得截面图形是下图中的（ ）
10．已知球O是棱长为1的正方体ABCD—A1B1C1D1的内切球，则平面ACD1截球O所得的截面面积为________．
11．以直角三角形的一条边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体有哪些？
三、探究与拓展
12．如图所示，圆台母线AB长为20cm，上、下底面半径分别为5cm和10cm，从母线AB的中点M拉一条绳子绕圆台侧面转到B点，求这条绳长的最小值．
答案
1．C 2?
D 3?
D 4?
C 5?
圆锥
6．解
（1）特征：
具有棱柱的特征，且侧面都是全等的矩形，底面是正五边形．几何体为正五棱柱．
（2）由两个同心的大球和小球，大球里去掉小球剩下的部分形成的几何体，即空心球．
7．解 如图所示，旋转所得的几何体是一个圆柱挖去两个圆锥后剩余部分构成的组合体．
8．A 9?
B
10?
11．解 假设直角三角形ABC中，∠C＝90°?
以AC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图
（1）所示．
当以BC边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图
（2）所示．
当以AB边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体如图（3）所示．
12．解 作出圆台的侧面展开图，如图所示，由其轴截面中Rt△OPA与Rt△OQB相似，得
＝
，可求得OA＝20cm?
设∠BOB′＝α，由于扇形弧
的长与底面圆Q的周长相等，而底面圆Q的周长为2π×10cm?
扇形OBB′的半径为OA＋AB＝20＋20＝40cm，扇形OBB′所在圆的周长为2π×40＝80πcm?
所以扇形弧
的长度20π为所在圆周长的
?
所以OB⊥OB′?
所以在Rt△B′OM中，B′M2＝402＋302，
所以B′M＝50cm，即所求绳长的最小值为50cm?
第一章 空间几何体
§1?
1 空间几何体的结构
第1课时 多面体的结构特征
一、基础过关
1．下列说法中正确的是（ ）
A．棱柱的侧面可以是三角形
B．由6个大小一样的正方形所组成的图形是正方体的展开图
C．正方体的各条棱长都相等
D．棱柱的各条棱长都相等
2．棱台不具备的特点是（ ）
A．两底面相似B．侧面都是梯形
C．侧棱都相等D．侧棱延长后都交于一点
3?
如图，将装有水的长方体水槽固定底面一边后倾斜一个小角度，则倾斜后水槽中的水形成的几何体是（ ）
A．棱柱B．棱台
C．棱柱与棱锥的组合体D．不能确定
4．若棱台上、下底面的对应边之比为1∶2，则上、下底面的面积之比是（ ）
A．1∶2B．1∶4C．2∶1D．4∶1
5．一个棱柱有10个顶点，所有的侧棱长的和为60cm，则每条侧棱长为________cm?
6．在下面的四个平面图形中，哪几个是侧棱都相等的四面体的展开图________（填序号）．
7．如图所示为长方体ABCD—A′B′C′D′，当用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的多面体还是棱柱吗？
如果不是，请说明理由；如果是，指出底面及侧棱．
8?
如图所示的是一个三棱台ABC—A1B1C1，如何用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部分都是一个三棱锥．
二、能力提升
9．下图中不可能围成正方体的是（ ）
10．在正方体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何体的4个顶点，这些几何体是________（写出所有正确结论的编号）．
①矩形；
②不是矩形的平行四边形；
③有三个面为等腰直角三角形，有一个面为等边三角形的四面体；
④每个面都是等边三角形的四面体；
⑤每个面都是直角三角形的四面体．
11．根据下列对于几何体结构特征的描述，说出几何体的名称．
（1）由八个面围成，其中两个面是互相平行且全等的正六边形，其它各面都是矩形；
（2）由五个面围成，其中一个面是正方形，其它各面都是有一个公共顶点的全等三角形．
三、探究与拓展
12．正方体的截面可能是什么形状的图形？
答案
1．C 2?
C 3?
A 4?
B 5?
12 6?
①②
7．解 截面BCFE右侧部分是棱柱，因为它满足棱柱的定义．
它是三棱柱BEB′—CFC′，其中△BEB′和△CFC′是底面．
EF，B′C′，BC是侧棱，截面BCFE左侧部分也是棱柱．它是四棱柱ABEA′—DCFD′?
其中四边形ABEA′和四边形DCFD′是底面．A′D′，EF，BC，AD为侧棱．
8．解 过A1、B、C三点作一个平面，再过A1、B、C1作一个平面，就把三棱台ABC—A1B1C1分成三部分，形成的三个三棱锥分别是A1—ABC，B—A1B1C1，A1—BCC1?
9．D 10?
①③④⑤
11．解
（1）该几何体有两个面是互相平行且全等的正六边形，其他各面都是矩形，可满足每相邻两个面的公共边都相互平行，故该几何体是六棱柱．
（2）该几何体的其中一个面是四边形，其余各面都是三角形，并且这些三角形有一个公共顶点，因此该几何体是四棱锥．
12．解 本问题可以有如下各种答案：
①截面可以是三角形：
等边三角形、等腰三角形、一般三角形；
②截面三角形是锐角三角形；
③截面可以是四边形：
平行四边形、矩形、菱形、正方形、梯形、等腰梯形；截面为四边形时，这个四边形中至少有一组对边平行；
④截面可以是五边形；
⑤截面可以是六边形；
⑥截面六边形可以是等角（均为120°）的六边形．特别地，可以是正六边形．
截面图形举例
1?
2?
3 空间几何体的直观图
一、基础过关
1．下列结论：
①角的水平放置的直观图一定是角；
②相等的角在直观图中仍然相等；
③相等的线段在直观图中仍然相等；
④两条平行线段在直观图中对应的两条线段仍然平行．
其中正确的有（ ）
A．①②B．①④C．③④D．①③④
2．在用斜二测画法画水平放置的△ABC时，若∠A的两边分别平行于x轴、y轴，则在直观图中∠A′等于（ ）
A．45°B．135°C．90°D．45°或135°
3．下面每个选项的2个边长为1的正△ABC的直观图不是全等三角形的一组是（ ）
4．如图甲所示为一个平面图形的直观图，则此平面图形可能是图乙中的（ ）
5．利用斜二测画法得到：
①三角形的直观图是三角形；
②平行四边形的直观图是平行四边形；
③正方形的直观图是正方形；
④菱形的直观图是菱形．
以上结论中，正确的是______________．（填序号）
6．水平放置的△ABC的斜二测直观图如图所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，则AB边上的中线的实际长度为____________．
7．如图是一梯形OABC的直观图，其直观图面积为S?
求梯形OABC的面积．
8．如图所示，已知几何体的三视图，用斜二测画法画出它的直观图．
二、能力提升
9．如图，正方形O′A′B′C′的边长为1cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图的周长是（ ）
A．8cmB．6cm
C．2（1＋
）cmD．2（1＋
）cm
10．如图所示的是水平放置的△ABC在直角坐标系的直观图，其中D′是A′C′的中点，且∠A′C′B′≠30°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有________条．
11．如图所示，为一个水平放置的正方形ABCO，它在直角坐标系xOy中，点B的坐标为（2,2），则在用斜二测画法画出的正方形的直观图中，顶点B′到x′轴的距离为________．
12．如图所示，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4cm，CD＝2cm，∠DAB＝30°，AD＝3cm，试画出它的直观图．
三、探究与拓展
13．在水平放置的平面α内有一个边长为1的正方形A′B′C′D′，如图，其中的对角线A′C′在水平位置，已知该正方形是某个四边形用斜二测画法画出的直观图，试画出该四边形的真实图形并求出其面积．
答案
1．B 2?
D 3?
C 4?
C 5?
①② 6?
2?
5
7．解 设O′C′＝h，则原梯形是一个直角梯形且高为2h?
过C′作C′D′⊥O′A′于D′，
则C′D′＝
h?
由题意知
C′D′（C′B′＋O′A′）＝S?
即
h（C′B′＋O′A′）＝S?
又原直角梯形面积为S′＝
·2h（C′B′＋O′A′）
＝h（C′B′＋O′A′）＝
＝2
S?
所以梯形OABC的面积为2
S?
8．解
（1）作出长方体的直观图ABCD－A1B1C1D1，如图a所示；
（2）再以上底面A1B1C1D1的对角线交点为原点建立x′，y′，z′轴，如图b所示，在z′上取点V′，使得V′O′的长度为棱锥的高，连接V′A1，V′B1，V′C1，V′D1，得到四棱锥的直观图，如图b；
（3）擦去辅助线和坐标轴，遮住部分用虚线表示，得到几何体的直观图，如图c?
9．A 10?
2 11?
12．解 画法：
步骤：
（1）如图a所示，在梯形ABCD中
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