小学数学奥林匹克竞赛模拟题及解答第一部分三节.docx

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小学数学奥林匹克竞赛模拟题及解答第一部分三节

2019年小学数学奥林匹克竞赛模拟题及解答第一部分三节

　　这一节里，我们要谈谈与分数数列有关的问题。

为了化简某些复杂的分数计算，常常需要把某种形状的数或乘积化成若干个数的和或差，以便相互抵消。

形如的分数（它也可看成与的乘积）是一个典型的例子。

注意到

　　=

　　　　　　=-

　　　　　　=-，　　　　　　（3.1）

就把它变成为两个分数的差。

更一般的有

　　=

　　　　　　=×（）

　　　　　　=（-）　　　　（3.2）

例1、计算下式

　　。

解：

对其中每个分数应用（3.1）式，依次得到

　　=1-；=-；

　　=-；=-；

　　…　…　…　…

　　；=。

把以上这99个等式的左、右两边分别相加，仍得到一个等式

　　=（1-）+（-）+…+（）+（），

等式右边-与+抵消为0，-+抵消为0，……，-+抵消为0，最后只剩下1-，也就是=1-=。

例2、计算

　　+++…+。

解：

这次要利用（3.2）式。

不难看出有

　　=（-）；=（-）；

　　=（-）；

　　=（-）；

　　…　…　…　…

　　=（-）；

　　=（-）。

把上面这所有等式左右两边相加起来，得到

　　++…+=（-）+（-）+…+（-）

　　=×（-+-+-…+-）

（这里又用到分配律！

）。

注意上式括号里的对应的有加有减的两项相互抵消，其中+也和前面没有写出来的一项=（-）中的-相抵消，括号里只剩下第一个数及最后减去的；从而得到

　　++…+

　　　=×（-）=。

例3、1991减去它的，再减去余下的，再减去余下的，如此下去，直到减去余下的为止，求最后剩下多少？

解：

先把要减去的数量算出来，再决定怎么做下一步。

注意每一步计算结果尽量保留原始的形式，不要急于计算成一个数，这样做常常可以便于发现其中的规律。

　　第一次减去：

1991×=1991×

　　第二次减去：

（1991-1991×）×=1991×（1-）×=1991×（用分配律）

　　第三次减去：

（1991-1991×-1991×）×

　　　　　　　　=1991×（1--）×，

　　利用（3.1）式有

　　1--=1--（-）=1--+=，

　　故第三次减去1991××=1991×，

　　现在我们看出这个规律是：

第n次应减去1991×。

于是总共应该减去

　　1991×+1991×+…+1991×

　　=1991×（++…+）（分配律）

　　=1991×（1-+-+…+-）

　　=1991×（1-）=1991×=1990，

因此最后剩下1991-1990=1。

例4、在下面的数中找出5个来，使它们的和为1（5个数不许重复，以下同，不再说明）：

　　1，，，，，，…。

　　（3.3）

解：

解法一、如果要找一个数，显然只要取1就行了。

能不能找到两个数，使它们的和为1呢？

这是不可能的，请读者自己讲出不可能的理由。

　　现在我们要试试从中找3个数，使它们的和为1。

首先想到取和，由于+=，故第三个数取就行了。

因此下面3个数

　　，，。

　　　　　　　　　（3.4）

就满足我们的要求。

　　做这个题关键的想法是：

能不能从（3.4）中这3个数出发，找出（3.3）中5个数，使这5个数的和仍然是1呢？

注意到已经有

　　++=1，　　　　　　　　　（3.5）

我们只要保留（3.4）的某两个数，而把其中一个数a分成3个数的和，而这可以用（3.5）式及分配律做到，因为

　　=×1=×（++）（利用（3.5）式）

　　　=×+×+×（用分配律）

　　　=++。

　　　　　　　（3.6）

这里还用到数列（3.3）的如下重要性质：

如果a和b都在数列（3.3）中，那么乘积ab必定仍在（3.3）中。

由（3.5），（3.6）两式就得到

　　++++=1。

　　　　　（3.7）

　　要注意的是，究竟应该把，，中的哪一个数拆成3个数的和，这是要选择的。

比方说，如果保留与，而把写成

　　=×1=×（++）=×+×+×=++，

就得到（参看（3.5）式）++++=1，

而这5个数中，重复出现了一次，不合要求。

　　下面留一个思考题请读者考虑：

怎样从（3.7）式给出的5个数找出（3.3）中的9个数，使这9个数的和仍为1呢？

解法二、利用（3.1）式给出的形如的分数，写成两个分数的差的形式，我们有

　　=1，

这就是

　　++++=1。

　　　　　　　（3.8）

这个方法得到了与（3.5）不相同的又一组解。

　　下面来看一个稍微不同的例子。

例5、计算，这里2n表示n个2的乘积，例如：

24=2×2×2×2=16。

解：

这个题目也可以仿照上面例1的方法来做。

我们有（参看（3.1）式的推导）

　　=-=1-，=；

　　　…　…　…　…

　　；

　　。

把以上这10个等式的左右两边分别相加得到

　　=1-+-+…+-+-=1-=。

　　另解：

注意到这个式子里每一个前面的数恰好是后一个数的2倍，把要计算的式子用字母S来表示，并计算S的2倍，容易得到

　　2S=2×（）

　　　=2×+2×+2×+…+2×+2×

　　　=1+++…++，　　　　　　（3.9）

把上式的结果与要计算的式子S=++…++对比，不难看出，从S中减去再加上1就得到（3.9）式的结果，所以有

　　2S=S+1-，　　　　　　　　　　　（3.10）

这实际上是以S为未知数的方程。

为了去掉（3.10）式右边的S，我们在（3.10）式两边都减去S，仍得到一个等式2S-S=S+1--S，此即S=1-=。

　　在例4中我们指出了：

在分数数列（3.3）中不可能找到两个分数，使它们的和恰为1。

但是对于小于1的真分数，这种要求是可能满足的，例如=+；=+。

等等。

但是，并不是所有真分数都可以表示成（3.3）中两个分数的和，请看下例。

例6、证明：

不可能表示成数列（3.3）中两个分数的和。

　　证明：

首先注意到>。

而数列（3.3）中除了1与外，最大的3个分数依次是，与，但是++=，由于=>，因此，除了与1之外，数列（3.3）中其它任何3个分数的和都不可能等于。

由此可知，要想在数列（3.3）中能找到两个分数，它们的和等于，那么其中必须有一个是，也就是只可能有=+。

由此得到=-=。

　　然而已经是既约分数，它不可能写成的形状，这就证明了不可能表示成数列（3.3）中两个分数的和。

　　但是，对于数列（3.3）中随便哪一个真分数，总可以表示成（3.3）中另外两个分数的和。

例7、证明：

任何一个形如（其中n≥2是一个自然数）的分数都可以表示成数列（3.3）中某两个分数的和。

　　证明：

由于=（-）+=+，而分数与都在数列（3.3）中，因此上式表明是（3.3）中两个分数的和。

　　例如=+=+。

　　例6说明了，如果是一个真分数，且分子b>1，那么在数列（3.3）中不一定能找到两个分数，使它们的和等于。

但是如果不限定用两个，那么它总可以表示成（3.3）中若干个分数的和，下面的例子实际上指出了解这个问题的一般方法。

例8、在数列（3.3）中找出若干个分数，使它们的和等于。

解：

我们有=，所以第一个可取，而（注意11760=2×5880）

　　-=，　　　　　（3.11）

　　经过计算有（注意11760=15×784）

　　>=，　　　　　　　　　　　（3.12）

又有（注意11760=14×840）<=，所以第二个可取，现在有（利用（3.12）、（3.13）式）

　　--=-=，从而得到=++。

习题三

1、计算

　　1+

2、计算

　　++++。

3、计算

　　。

4、计算

　　。

5、计算

　　。

6、试在数列（3.3）中找出9个分数，使它们的和为1。

7、试在数列（3.3）中找出

（1）两个分数；

（2）3个分数；（3）7个分数；（4）8个分数，使它们的和都等于。

8、试在数列（3.3）中找出几个分数来，使它们的和都等于。

习题三提示及部分解答

1、利用前n个自然数的求和公式及分数运算有

　　；

　　；

　　…　…　…　…

　　，

因此1+

　　=1+

　　=

　　=2×（），

剩下的与例1解法同。

2、注意到+++

　　　　=，

这一题只要按例1的方法去做即可。

3、由于这一题的每个分数的分母由3个相邻自然数的乘积组成，显然要比例1更复杂，不能直接用例1的方法去解决。

但是这不等于说例1与这一题毫不相干。

由于它们中出现的分数仍有一定程度的共同特点，因而例1的方法应该有某种启示。

　　我们来分析一下例1的关键思想，其核心在于把原来的1个分数分成两个分数的差，利用前后相互同样的分数一加一减加以抵消，从而迅速求出其值。

那么，在这一题里是否也可以想办法把每一个分数分成两个分数的差以达到相互抵消的效果呢？

尝试这样做：

　　把分成与的差，注意到-=-=，我们就有=×（-）

再试第二个分数，我们同样可得

　　=×（-）

　　…　…　…　…

最后有=×（-）

把这些等式左右两边分别相加并运用分配律，

我们有

　　=×（-）+×（-）+…+×（-）

　　=×（-+-+-…+-）

　　=×（-），

这就给出要求的东西了。

　　但我们也可试着这样去做：

　　=-；

　　=-

　　…　…　…　…

　　=-

　　=-。

这样分我们就得到

　　=（++…+）-（+++…+），

用例1的方法马上可以算出第一个括号中式子的值，对第二个括号要稍加小心，根据例2的方法有

　　　++++++

　　=×（-）+×（-）+×（-）+×（-）+

　　　×（-）+×（-）+×（-）

　　=×（）

　　=×（+--）。

剩下的让读者自己完成。

　　当然还可以象下面这样做：

　　=-；

　　=-；

　　…　…　…　…

　　=-；

　　=-。

这样分也可以做下去，我们把它也留给读者自己去完成。

做完之后，你还可以比较一下哪种方法更好一些。

4、本题中每个分数的分母由4个连续自然数的乘积组成，比上一题更加复杂。

基本想法仍与上题相同，只是这里有多种不同的分解方法，例如

　　方法一

　　=×（-）；

　　=×（-）；

　　…　…　…　…

　　=×（-）；

　　=×（-）。

　　方法二

　　=-；

　　=-；

　　…　…　…　…

　　=-；

　　=-。

　　方法三

　　=×（-）；

　　=×（-）；

　　…　…　…　…

　　=×（-）；

　　=×（-）。

究竟哪些方法可以求出结果，这些方法中哪一种方法计算起来最简单，这些问题希望读者自己得出正确的答案。

　　在做这一题时，或许有的读者想到用下面这些分解方法：

即

　　=×（-）

或

　　=×（-），

我们要请读者考虑上面这两种分法能否求出结果？

道理在什么地方？

5、这一题既可用例5的第一种方法，也可以采用例5的第二种方法。

只不过这次应该计算3S，看3S与S相差多少，这里定义

　　S=。

6、解法一：

由（3.5）式有

　　++=1。

（1）

　　因而有1=++×1=++×（++）=++++，

这就把1写成数列（3.3）中5个分数的和了，再利用

（1）式两次即可找到需要的9个分数。

　　解法二：

直接用例4的解法二得到

7、

（1）=+；

（2）=++

　　另解：

仿上题解法一，直接利用第6题

（1）式得=×（++），再用分配律展开又得一解。

其余两小题也可仿此去解。

　　（注）关于例7，如果要求找出（n≥2）表成数列（3.3）中两个分数之和的所有表示方法，可以如下进行。

设有=+，这里n