第15章《分式》小结与复习教案.docx
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第15章《分式》小结与复习教案
第15章《分式》小结与复习教案
第十五章分式复习与小结
一、知识梳理
1•形如吕（A、B是，且B中含有,
BH0）的式子，叫做分式.
2.分式有、无意义的条件：
当分母
时，分式有意义；当分母时，分式无意义.
3.分式值为零的条件：
当分式的分
子，分母时，分式的值为零.
4.分式的基本性质是：
分式的分子与分母
都（或）同一个的整式，
分式的值.
5.分式的乘除法：
分式乘分式，用分子的
积作为积的,分母的积作为积
的;分式除以分式，把除式的分子、分
母后，与被除式.
6.分式的乘方：
分式乘方，把分子、分
母.
7.同分母分式的加减法法则：
同分母的分
式相加减，分母，把分子;异分
母分式的加减法法则：
异分母的分式相加减，先，变为同分母的分式，然后再
8.分母中含有的方程叫做分式方程.
9.解分式方程的步骤：
（1）分式方程两边都乘以各分式的最简公分
母，约去分母，转化为方程；
（2）解这个方程；
（3）检验，把方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解，它是原方程的增根，应当舍去.
10.我们规定：
任何不等于零的数的零次幂
都等于，即a0=（a工0）.
11.一般地，当n是正整数时，昇=
（aH0）.即任何不等于零的数的n（n是正整
数）次幂，等于这个数的n次幂的.
12.一般地，绝对值小于1的数可以表示成
a10n的形式，其中1|a10，即a是整数位数只有-位的数；n是一个整数.
二、考点呈现
考点1分式值为0的条件
例1（2013年温州）若分式T的值为0,
x4
则x的值是（）
A.x=3B.x=0C.x=
—3D.x=—4
解析：
因为分式口的值为0,所以x—3=0,
x4
x+4疋0,所以x=3.故选A.
点评：
分式的值为0的条件是分子为0,分母不为0，这两个条件缺一不可.
考点2分式的基本性质
22
例2（2013年淄博）下列运算中错误的是
解析：
色昱吟=1,A选项正确;（ba）（ab）?
?
壬42j=-1,B选项正确；
ababab
…_j^）—,D选项错误.故选D.
abbaba
点评：
解“判断下列运算（或说法）错误（或正确）”类型的选择题，除了采用逐一验证四个
选项进行求解之外，还可以利用排除法选出符合题意的答案•
考点3分式的运算
=（m1）的
例3（2013年凉山州）化简：
1）=m
结果为・
解析：
1—（m1）=1（m1）=—^?
（m
m1m1m1m1
的结果是（
A.2
点评：
分式的混合运算，要注意运算顺序：
先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算括号里面的；最后结果要化成最简分式或整式.
考点4分式的化简求值
x
x24x4
例5（2013年重庆）先化简，再求值：
口J，其中x是不等式3x71的负整数
xx22
解.
解:
x2x1x4
~2
xx2x4x4
2
=（x2）（x2）x（x1）x4x4
x（x2）x4
=x24x2x（x2）2
x（x2）x4
2
=x4（x2）=x2
x（x2）x4x'
由3x71，解得x2.
又X为负整数，所以x1.
当x1时，原式=斗3・
丿1
点评：
分式的化简求值，要根据所给式子的特点，按照分式化简的步骤化简，最后代值计算.
考点5科学记数法
例6（2013年茂名）PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5卩m（0.0000025m）的颗粒物，含有大量有毒、有害物质，也称可入肺颗粒物.将0.0000025用科学记数法表示为（）
A.25X107B.2.5X106
C.0.25X105D.2.5X106
解析：
0.0000025=2.5X10—6.故选B.
点评：
把一个数写成aX10n的形式（其中
KaV10，n为整数），称为科学记数法
当原数的绝对值》10时，n为正整数，n等
于原数的整数位数减1;当原数的绝对值v1时，
n为负整数，n的绝对值等于原数中左起第一个非0数前0的个数（含整数位数上的0）.
考点6解分式方程
解：
方程两边乘（x+2）（X—2）,得x+
2（x—2）—x+2.
解得x—3.
检验：
当x—3时，（x+2）（x—2）工0.所以，原分式方程的解为x—3.
点评：
解分式方程的基本思想是"化分式方程为整式方程”，解分式方程后一定要注意检验.
考点7根据方程的解确定字母的值或取值范围
例8（2013年扬州）已知关于x的方程
竺』2的解是负数，贝I」n的取值范围
2x1
为
根据题意，得x<0且2x+1工0,所以n—2<0且2（n—2）+1工0,解得n2且n|.
点评：
解含有字母系数的分式方程时，通常先化为整式方程，把未知数用其他字母表示，进而求解.要注意分式方程增根的存在•
考点8列分式方程解应用题
例9（2013年湘西）吉首城区某中学组织
学生到距学校20km的德夯苗寨参加社会实践活动，一部分学生沿“谷韵绿道"骑自行车先走，半小时后，其余学生沿319国道乘汽车前往，结果他们同时到达（两条道路路程相同），已知汽车速度是自行车速度的2倍，求骑自行车学生的
解：
设骑自行车学生的速度为xkm/h，则
汽车的速度为2xkm/h.
解得x=20.
经检验，x=20是原方程的解，且符合题意.答：
骑自行车学生的速度为20km/h.
点评：
分析题意，弄清楚已知量与未知量之
间的关系，得到等量关系式，进而引进未知数，列方程解决问题•
三、误区点拨
易错点1分式的基本性质理解不深
例1若AB为不等于0的整式，则下列各
式成立的是（
A.A算（E为整式）
BBE
为整式）
CAAX21
'BBx21
D.
错解：
选A或D.
剖析：
分式的基本性质是分式的分子与分
母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分
式的值不变•所以B选项明显不正确；A选项和D选项中E和（x1）2均可能为零，所以A,D选项错误；C选项中x2ii，C选项正确.
正解：
选C.
易错点2忽视分母不为0的条件例2若方程一o，则x—•
x2x8
错解：
填土4.
剖析：
若分式的值为0,则分子为0且分母不为0,所以x40，且x22x80，则x4.错解未考虑分式的分母不为0.
正解：
填-4.
易错点3轻易约分
例3x取何值时，分式x2有意义？
x2x3
错解：
原式丄.由x30，得x3.所以当
x3
x3时，分式x2x3有
意义.
剖析：
错解约去分母中的x2，但无法确定x2不为零，使得未知数x的取值范围
扩大，导致漏解.
正解：
由（x+2）（x+3）0,得x2且x3.所以当x2且x3时，分式
rrir有意义•
易错点4分式的运算顺序错误例4计算——gx1.
x1x1
错解：
原式=三*—
x1x1x1
剖析：
分式的乘除运算是同一级运算，应按照从左向右的顺序依次计算，不可因为计算简便而颠倒顺序，导致结果出现错误
22
2x24x2
x1
正解：
原式=^—gx1亠
x1xx1
易错点5分式的增根认识不清
有增根，则a
例5若关于x的方程1o
x1
的值为.
错解：
原方程两边乘（x-1）,得ax+1-（x-1）=0.解得x=」.
a1
因为原分式方程有增根，所以x-1工0,即
xM1.
所以Y1，解得aM-1.
a1
剖析：
分式方程的增根应是最简公分母分母
为0的x值，即x=1而不是x丰1.
正解：
原方程两边乘（x-1），得ax+1-（x-1）
=0.解得x=
a1
因为原分式方程有增根，所以x-仁0,即
x=1.
所以Y1，解得a=-1.
a1
四、跟踪训练
2
1.（2013年攀枝花）若分式J的值为0,
x1
则实数x的值为.
2.（2013年永州）钓鱼岛列岛是我国固有
领土，共由8个岛屿组成，其中最大的岛是钓鱼岛，面积约为4.3平方公里，最小的岛是飞濑岛,面积约为0.0008平方公里，请用科学记数法表示飞濑岛的面积约为平方公里.
的解是正数，则m的取值范围是
5.（2013年盘锦）小成每周末要到距离家5千米的体育馆打球，他骑自行车前往体育馆比乘汽车多用10分钟，乘汽车的速度是骑自行车速度的2倍•设骑自行车的速度为
x千米/时，根据题意列方程为.
6.（2013年宁夏回族自治区）解方程
亠匚1.
x2x3
解：
方程两边乘（x—2）（x+3）,得
6（x3）x（x2）（x2）（x3）.
解得x=彳.
检验：
当x=彳时，（x—2）（x+3）H0.
3
所以，原分式方程的解为x=J
3
7.（2013年普洱）先化简，再求值：
2
心旦，其中a=2013.
aaa1
7.解:
22
2a2a2a1a=2（a1）aa—2aa
aa2a1a（a1）2a1a1a1
—2aa—a
a1a1
8.（2013年三明）兴发服装店老板用4500
元购进一批某款式T恤衫，由于深受顾客喜爱，很快售完.老板又用4950元购进第二批该款式T恤衫，所购数量与第一批相同，但每件进价比第一批多了9元.
（1）第一批该款式T恤衫每件进价是多少元？
（2）老板以每件120元的价格销售该款式
4
T恤衫，当第二批T恤衫售出5时，出现了滞销，于是决定降价促销，若要使第二批的销售利润不低于650元，剩余的T恤衫每件售价至少要多少元？
（利润=售价一进价）
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