4第四节二次函数图象与性质.docx

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4第四节二次函数图象与性质

第三章　函数

第四节　二次函数图象与性质

（建议时间：

45分钟）

基础过关

1.（北师九下P30随堂练习第1题改编）下列函数中（x，t是自变量），二次函数是（　　）

A.y＝－

＋3xB.y＝

x2－x3＋25

C.y＝22＋2xD.s＝1＋t＋t2

2.（2019衢州）二次函数y＝（x－1）2＋3图象的顶点坐标是（　　）

A.（1，3）B.（1，－3）

C.（－1，3）D.（－1，－3）

3.（2019重庆B卷）抛物线y＝－3x2＋6x＋2的对称轴是（　　）

A.直线x＝2B.直线x＝－2

C.直线x＝1D.直线x＝－1

4.（2019河南）已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，则n的值为（　　）

A.－2B.－4C.2D.4

5.（2019呼和浩特）二次函数y＝ax2与一次函数y＝ax＋a在同一坐标系中的大致图象可能是（　　）

6.（2019荆门）抛物线y＝－x2＋4x－4与坐标轴的交点个数为（　　）

A.0B.1C.2D.3

7.（2019成都）如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　）

第7题图

A.c<0

B.b2－4ac<0

C.a－b＋c<0

D.图象的对称轴是直线x＝3

8.（2019兰州）已知点A（1，y1），B（2，y2）在抛物线y＝－（x＋1）2＋2上，则下列结论正确的是（　　）

A.2>y1>y2B.2>y2>y1

C.y1>y2>2D.y2>y1>2

9.（2019日照改编）如图，是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，下列结论中：

①abc＞0；②a－b＋c＜0；③一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个解有可能为－1；④－4a＜b＜－2a.其中正确结论的序号为（　　）

A.①②B.①③C.②③D.①④

第9题图

10.（2019随州）如图所示，已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，OA＝OC，对称轴为直线x＝1，则下列结论：

①abc<0；②a＋

b＋

c>0；③ac＋b＋1＝0；

④2＋c是关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根.其中正确的有（　　）

A.1个B.2个C.3个D.4个

第10题图

11.（2019荆州）二次函数y＝－2x2－4x＋5的最大值是　　　　.

12.（人教九上P109第10题改编）抛物线y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，则当y＞0时，x的取值范围是　　　　　　.

第12题图

13.（2019泰安）若二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴为直线x＝2，则关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13的解为　　　　　　　.

14.（2019湖州）已知抛物线y＝2x2－4x＋c与x轴有两个不同的交点.

（1）求c的取值范围；

（2）若抛物线y＝2x2－4x＋c经过点A（2，m）和点B（3，n），试比较m与n的大小，并说明理由.

15.（2019南通）已知：

二次函数y＝x2－4x＋3a＋2（a为常数）.

（1）请写出该二次函数的三条性质；

（2）在平面直角坐标系中，若该二次函数的图象在x≤4的部分与一次函数y＝2x－1的图象有两个交点，求a的取值范围.

16.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A（1，0），B（3，0）两点，点P是抛物线上在第一象限内的一点，直线BP与y轴交于点C.

（1）求抛物线y＝－x2＋ax＋b的解析式；

（2）当点P是线段BC的中点时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，求sin∠OCB的值.

第16题图

能力提升

1.（2018莱芜）函数y＝ax2＋2ax＋m（a<0）的图象过点（2，0），则使函数值y<0成立的x的取值范围是（　　）

A.x<－4或x>2B.－4

C.x<0或x>2D.0

2.（2019镇江）已知抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，若线段AB的长不大于4，则代数式a2＋a＋1的最小值是　　　　.

3.（2019济宁）如图，抛物线y＝ax2＋c与直线y＝mx＋n交于A（－1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2＋mx＋c>n的解集是　　　　　　.

第3题图

满分冲关

1.（2019烟台改编）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的y与x的部分对应值如下表：

x

－1

0

2

3

4

y

5

0

－4

－3

0

下列结论：

①抛物线的开口向上；②抛物线的对称轴为直线x＝2；③当0＜x＜4时，y＞0；④抛物线与x轴的两个交点间的距离是4；⑤若A（x1，2），B（x2，3）是抛物线上两点，则总有x1＜x2.

其中正确的个数是（　　）

A.2B.3C.4D.5

2.（2019南充）抛物线y＝ax2＋bx＋c（a，b，c是常数），a＞0，顶点坐标为（

，m），给出下列结论：

①若点（n，y1）与点（

－2n，y2）在该抛物线上，当n＜

时，则y1＜y2；②关于x的一元二次方程ax2－bx＋c－m＋1＝0无实数解.那么（　　）

A.①正确，②正确

B.①正确，②错误

C.①错误，②正确

D.①错误，②错误

参考答案

第四节　二次函数图象与性质

基础过关

1.D

2.A

3.C　【解析】∵抛物线y＝－3x2＋6x＋2＝－3（x－1）2＋5，∴抛物线的对称轴为直线x＝1.

4.B　【解析】已知抛物线y＝－x2＋bx＋4经过（－2，n）和（4，n）两点，∵两点的纵坐标相同，∴两点关于抛物线的对称轴对称，∴对称轴是直线x＝

＝1，即－

＝1，解得b＝2，∴抛物线的解析式是y＝－x2＋2x＋4，当x＝－2时，代入抛物线解析式得n＝－4.

5.D　【解析】当a>0时，二次函数图象开口向上，一次函数图象经过第一、二、三象限；当a<0时，二次函数图象开口向下，一次函数图象经过第二、三、四象限，故排除C选项，∵当x＝－1时，一次函数y＝ax＋a＝0，∴一次函数图象恒过（－1，0）点，故排除A、B，故选D.

6.C　【解析】∵y＝－x2＋4x－4＝－（x－2）2≤0，∴抛物线与x轴只有一个交点；当x＝0时，y＝－4，∴抛物线与y轴只有一个交点．∴抛物线与坐标轴的交点个数为2.

7.D　【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象与y轴交于正半轴，∴c＞0，故A错误；∵二次函数图象与x轴交于A，B两个不同的点，∴b2－4ac>0，故B错误；∵抛物线与x轴的交点A（1，0），B（5，0），∴对称轴为直线x＝

＝3，故D正确；∵抛物线开口向上，∴当x＜3时，y随x的增大而减小，∵－1＜1，当x＜1时，y＞0，∴当x＝－1时，y＝a－b＋c>0，故C错误．

8.A　【解析】把x1＝1，x2＝2分别代入y＝－（x＋1）2＋2，求得y1＝－2，y2＝－7，∴y2

9.D　【解析】逐个分析如下：

序号

逐个分析

判断

①

∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线与y轴交于（0，－1），∴c＝－1<0.∵抛物线的对称轴为直线x＝－

>1，∴－b>2a>0，∴b<0，∴abc>0

√

②

如解图，令抛物线与x轴分别交于A，B两点，抛物线的对称轴与x轴交于点C，由图象可知10

第9题解图

×

③

由②知抛物线与x轴另一交点A，满足－1

×

④

∵抛物线开口向上，∴a>0，∵抛物线的对称轴满足1<－

<2，∴2a<－b<4a，即－4a

√

10.C　【解析】∵抛物线的开口方向向下，∴a<0.∵对称轴在y轴右侧，对称轴x＝－

＝1，∴b＝－2a，又a<0，∴b>0.∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，∴c>0，∴abc<0，故①正确；由图象可知：

对称轴为直线x＝1，当x＝0时，y>0，∴当x＝2时，y>0，∴4a＋2b＋c>0，∴a＋

b＋

c>0，故②正确；由图象可知：

OC＝|c|＝c，∵OA＝OC，∴OA＝OC＝|c|，则A点的坐标为（－c，0），代入函数解析式可得ac2－bc＋c＝0，化简得ac－b＋1＝0，故③错误；∵对称轴x＝1＝

，解得xB＝2＋c，∴点B的坐标为（2＋c，0），∴2＋c是一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的一个根，故④正确．

11.7　【解析】该二次函数可化为y＝－2（x＋1）2＋7，∵－2＜0，∴当x＝－1时，y有最大值，最大值为7.

12.－1＜x＜3　【解析】由图象可知，抛物线与x轴有两个交点，对称轴为直线x＝1，一个交点为（－1，0），则另一个交点为（3，0），∴当y＞0时，x的取值范围为－1＜x＜3.

13.x＝2或x＝4　【解析】∵二次函数y＝x2＋bx－5的对称轴是直线x＝2，∴－

＝2，即b＝－4.∴关于x的方程x2＋bx－5＝2x－13为x2－4x－5＝2x－13，解得x1＝2，x2＝4.

14.解：

（1）∵b2－4ac＝（－4）2－8c＝16－8c，

由题意，得b2－4ac>0，

∴16－8c>0.

∴c的取值范围是c<2；

（2）m

理由如下：

∵抛物线的对称轴为直线x＝1，

又∵a＝2>0，

∴当x≥1时，y随x的增大而增大．

∵2<3.

∴m

15.解：

（1）答案不唯一，任意写出3条即可．如：

①当x＝2时，二次函数y＝x2－4x＋3a＋2有最小值；

②当x＞2时，y随x的增大而增大；

③当x＜2时，y随x的增大而减小；

④二次函数y＝x2－4x＋3a＋2的图象是轴对称图形，且对称轴是直线x＝2；

（2）令x2－4x＋3a＋2＝2x－1，则x2－6x＋3a＋3＝0.

∵y＝x2－4x＋3a＋2的图象在x≤4的部分与y＝2x－1的图象有两个交点，

∴b2－4ac＝（－6）2－4（3a＋3）＞0，解得a＜2.

当x＝4时，y＝2x－1＝7.

若y＝x2－4x＋3a＋2的图象经过点（4，7），则42－16＋3a＋2＝7，解得a＝

.

结合图象可知，a的取值范围为

≤a＜2.

第15题解图

16.解：

（1）∵抛物线y＝－x2＋ax＋b交x轴于A（1，0）、B（3，0）两点，

∴

，

解得

.

∴抛物线的解析式为y＝－x2＋4x－3；

（2）设点C的坐标为（0，c），

∵B（3，0），点P是线段BC的中点，

∴点P的坐标为（

，

）．

∵点P在抛物线y＝－x2＋4x－3上，

∴

＝－（

）2＋4×

－3，解得c＝

.

∴点P的坐标为（

，

）；

（3）由

（2）得点C的坐标为（0，

），

∴OC＝

.

∵OB＝3，

∴在Rt△OBC中，BC＝

＝

＝

.

∴sin∠OCB＝

＝

＝

.

能力提升

1.A　【解析】∵二次函数图象过点（2，0），∴代入可得8a＋m＝0，即m＝－8a，则原函数可写成y＝ax2＋2ax－8a＝a（x2＋2x－8）＝a（x＋4）（x－2）（a＜0），∴抛物线与x轴交于点（－4，0）和（2，0），且抛物线开口向下，∴当y＜0时，有x＜－4或x＞2，故选A.

2.

　【解析】∵抛物线y＝ax2＋4ax＋4a＋1（a≠0）过点A（m，3），B（n，3）两点，∴

＝－

＝－2，∵线段AB的长不大于4，∴4a＋1≥3，∴a≥

，∴a2＋a＋1的最小值为（

）2＋

＋1＝

.

3.x＜－3或x＞1　【解析】如解图，∵直线y＝mx＋n过点A（－1，p），B（3，q），∴直线y＝－mx＋n过点（1，p），（－3，q），∴ax2＋mx＋c＞n可以转化为ax2＋c＞－mx＋n，∴不等式的解集为x＜－3或x＞1.

第3题解图

满分冲关

1.B　【解析】由题可设y＝ax2＋bx，将点（－1，5），（2，－4）代入y＝ax2＋bx，得

，解得

，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x，∴抛物线开口向上，故①正确；抛物线的对称轴为直线x＝－

＝2，故②正确；∵抛物线开口向上，与x轴交于（0，0），（4，0）两点，∴当0x2，故⑤错误．故选B.

2.A　【解析】由题意得－

＝

，∴b＝－a.∴y＝ax2＋bx＋c＝ax2－ax＋c＝a（x2－x）＋c＝a（x－

）2－

a＋c.∴m＝c－

a.对于①，要判断y1，y2的大小，只需判断两点到抛物线对称轴的距离的大小即可．∵

－n－（

－2n－

）＝n－

，n＜

，∴n－

＜0.∴点（n，y1）到抛物线对称轴的距离较近．又∵a＞0，∴抛物线开口向上．∴根据抛物线的对称性得y1＜y2.∴①正确；对于②，ax2－bx＋c－m＋1＝0⇒ax2＋ax＋c－（c－

a）＋1＝0⇒ax2＋ax＋

a＋1＝0，∵Δ＝a2－4a（

a＋1）＝－4a＜0，∴该方程没有实数解．∴②正确．故选A.