15第13章线性动力分析李永双.docx

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15第13章线性动力分析李永双

第13章线性动力分析

上一章我们已经谈到使用反应谱分析方法计算结构地震作用具有很多优点，但它本质上仍然是一种拟动力方法，并不是结构真实的动力响应分析，只是对于结构动力响应最大值进行估算的近似方法。

但是如果仅限于线弹性范围内，反应谱分析法仍然是被认为高效而且合理的方法。

时程分析是结构更加真实的动力分析，而且随着计算机速度的提高，最初时程分析在计算时间方面的困难已经被解决。

另外，最主要的是结构设计领域的不断发展，结构分析早已经超出了线弹性的范围，面对更多非线性问题，反应谱法动力分析是没有任何意义的，这时就更需要动力时程分析的发展和应用。

SAP2000为我们提供了线性时程分析和非线性时程分析功能，而且已经可以使用线性时程分析结果直接对结构构件进行设计。

本章主要向大家介绍线性时程分析的内容。

13.1线性时程分析的基本理论

线性时程分析本质上仍然是通过对结构基本动力微分方程（12.2）的求解，来得到结构在动力荷载作用下结构的基本响应大小。

与反应谱分析方法不同的是，时程分析方法是将动力作用以时间函数的形式引入微分方程，并通过相应的积分方式得到结构每一个时刻的响应以及响应的变化情况。

因此时程分析的积分方式是此类型分析的关键问题之一。

在SAP2000程序中，时程分析可以使用的积分方式为模态积分和直接积分。

模态积分方式是以结构的模态分析结果为基础，通过结构不同模态的积分求解来得到结构总的响应值，在程序中如果选择使用模态积分求解方式，需要选择积分求解所基于的模态分析工况，因此在定义该工况前需要先定义相关模态分析工况。

一般情况下，如果结构需要考虑高阶振型的影响，就应该在该模态分析工况中考虑更多的振型数目。

SAP2000中所使用的模态积分方法又被称为FNA（快速非线性分析方法），我们将在后续章节非线性分析中介绍这一内容，本章主要介绍直接积分方法。

13.1.1时间积分方式

直接积分法又被称为逐步求解法，它是最常规的动力分析求解方法，其本质是在一系列时间间隔范围内求解平衡方程。

在SAP2000中时间积分方法的选择是通过其它参数区域时间积分参数的定义来完成的，这里提供了Newmark法、Wilson法、排列法、Hiber-Huges-Taytor法和ChungandHulbert法等方法可供选择，这些方法都是隐式方法，并且大部分都是无条件稳定的方法。

正如Wilson教授所提出的：

“只有单步的、隐式的、无条件稳定的方法才应该用于实际结构的逐步地震分析。

”由于本书的篇幅所限，本节只介绍在SAP2000中推荐使用的几种直接积分方法。

1.Newmark法

Nemark法是由Nemark在1959年提出的，并且在随后的发展过程中，许多其他研究者对其也进行了修改和改进。

为了说明Newmark积分方法，考虑动力微分方程（11.2）式写成如下的形式：

（13.1）

直接使用泰勒级数获得下列两个额外方程：

（13.2a）

（13.2b）

Newmark截短了这些方程并以下列形式来表达这些方程：

（13.3c）

（13.3d）

如果假定加速度在时间步长内是线性的，可得下列方程：

（13.4）

将方程（13.4）代入方程（13.3c和13.3d），可产生标准形式的Newmark方程：

（13.5a）

（13.5b）

Newmark为结构系统中每个位移DOF的每个时间步长，通过迭代来求解方程（13.5a、13.5b和13.1）。

通过用DOF相关的质量除以方程从方程（13.1）中获得

项。

在SAP2000现在的版本中所使用的Newmark方法并不是上面所述，而是1962年Wilson改进的Newmark方法。

Wilson将Newmark法写成矩阵形式，并添加了刚度与质量比例阻尼，同时通过在每个时间步长对方程直接求解来消除了对迭代的需要。

这要求方程（13.5a和13.5b）以下列形式重写：

（13.6a）

（13.6b）

其中常量

到

为：

；

；

；

；

；

。

将方程（13.6a和13.6b）代入方程（13.1），可在时间“t”处按未知节点位移ut的形式写出系统动力平衡方程。

即：

（13.7）

2.Wilson法

Newmark方法本身并不是无条件稳定的，1973年Wilson在常规的Newmark方法基础上通过引入一个系数θ达到了无条件的稳定，这就是现在SAP2000程序中所使用的Wilson积分方法。

系数θ的目的是通过修改时间步长，来消除真实解附近不稳定解的振荡。

如果θ等于1.0，就是Newmark方法。

Wilson方法先将系数θ引入到时间步长公式：

（13.8a）

以及一个由以下定义的荷载：

（13.8b）

其中

。

使用Newmark方法在积分时间步长

计算了加速度

向量之后，节点加速度值、速度值以及位移值就由下列基本方程计算：

（13.9a）

（13.9b）

（13.10c）

系数θ的使用有助于在系统的高阶振型中去除数值阻尼。

然而，对于高阶振型响应是很重要的问题，引入的误差可能比较大。

除此之外，这一方法并不能在时间t处精确满足动力平衡方程。

因此，SAP2000程序并不推荐使用Wilson方法。

3.Hiber-Huges-Taytor（HHT）法

HHT法本质上仍然是Newmark方法的发展，这一方法是Hughes在1987年提出的。

HHT法将

系数引入并修改结构动力方程，如公式（13.11）所示，并使用Newmark方法进行求解。

（13.11）

该α参数取值为0到-1/3之间。

对于α=0，该方法等同于α=0.5和β=0.25的Newmark方法，也等同于平均加速度法，而且当α=0可以得到各种方法中最高的精度，但是此时会导致过多的高频振型振动，这里的高频振型具有与时间步长同阶或低阶的周期。

更多的时候可能选择α为负值，此时高频振型被阻尼严重地耗散。

这不是物理阻尼，因为当使用更小的时间步长时它会减小。

在非线性分析中，经常需要使用一个α负值来确保结果的收敛性。

在使用HHT方法时，为了获得最好的结果，一般使用实际的最小的时间步长，然后选择尽可能接近于零的α值。

尝试使用不同的α和时间步长来确保结果不过分依赖于这些参数。

当α等于零时，HHT方法还原为常量加速度方法。

它在高阶振型中产生数值能量损耗，但是它不能象用于刚度比例阻尼的阻尼比一样被预测。

同时，它也不能在时间t处求解基本平衡方程。

虽然存在这些不足之处，但是这一方法在计算程序的使用过程中却得到了与使用刚度比例阻尼法的效率很相近的结果。

在SAP2000程序中，HHT方法也是程序默认的方法，SAP2000也建议用户使用默认的HHT方法，除非用户对其它方法有特定的需要。

13.1.2阻尼参数设置

当结构遭遇地震作用时，即使结构主体构件保持弹性变形状态，结构次要构件的永久变形将耗散一定的能量，从理论上讲这一部分能量是很难估计的。

在结构动力分析中，这一部分能量耗散是通过阻尼来定义和实现的。

对于数值计算本身，为获得稳定解，多数增量求解法也需加入一定的人工阻尼或者数值阻尼。

SAP2000在时程分析中允许工程师使用几种方法定义结构在数值分析中的阻尼参数，其中涉及了模态阻尼比以及质量和刚度比例阻尼的定义方式，并且在分析过程中可以直接考虑连接单元的阻尼属性。

1.模态阻尼比

结构反应谱分析和时程分析都需要考虑结构阻尼的影响。

一般情况下，结构阻尼是通过模态阻尼比来进行定义的，也就是前面模态方程（12.7）和（12.8）中ξn项，我们定义ξn为振型n的阻尼比，它是该模态阻尼与临界阻尼的比值。

一般情况下，在结构反应谱分析和时程分析过程中，混凝土结构的模态阻尼比一般选为0.05，此时表示振动两个相邻极大值之间的衰减比为0.73，而且每个周期的应变能耗损为46.7%。

钢结构的模态阻尼比一般选为0.02，此时表示振动两个相邻极大值之间的衰减比为0.88，而且每个周期的应变能耗损为22.7%。

因此阻尼比设置的大小对于结构的影响是非常关键的。

振型阻尼比的值应该是在0到1之间。

在过去的结构动力分析中，一般情况下各振型所采用的是相同的阻尼比，但是实测数据表明，结构高振型的阻尼比一般大于低振型的阻尼比。

使用SAP2000程序时，可以为所有振型指定一个统一的阻尼比，也可以为不同振型指定不同的阻尼比，或根据周期和频率值指定对应阻尼比并默认进行插值，各振型的阻尼比之间是不相关的。

2.质量和刚度比例阻尼

另外，在SAP2000中还经常用到的另一种阻尼定义——质量和刚度比例阻尼，它也经常用于结构非线性增量分析中。

这一阻尼类型也被称为Rayleigh阻尼，它是假设阻尼矩阵与质量矩阵和刚度矩阵成正比。

即：

（13.12）

在振型叠加分析中，阻尼矩阵必须具有下列属性才能分解模态方程：

（13.13a）

（13.13b）

由于质量矩阵和刚度矩阵的正交属性，该方程可重写为：

（13.14）

（13.14）式也可以表达为下式：

（13.15）

很显然，只在两个频率i与j下，就可准确指定模态阻尼，在下列方程中求解η与δ：

（13.16）

对于一般情况，阻尼在这两个频率中被设定是相等的，因此ξi=ξj=ξ并且比例因数计算为：

（13.17a）

（13.17b）

从物理意义上讲，质量比例阻尼的假设意味着存在有外部支承的阻尼器，而使用刚度比例阻尼对结构高阶振型具有阻尼增加效应。

虽然Rayleigh型阻尼没有经过物理论证，而且它的使用对大多数结构来说是难以解释的，但是使用这一阻尼方式可以用较大的时间积分步长获得稳定的数值结果，因此在SAP2000程序中仍然使用它。

3.其它单元的阻尼考虑

目前，结构中经常使用阻尼器、隔振器等非线性连接单元，这些连接单元与一般的结构构件不同，它的目的是主动耗散结构的应变能或削弱能量传输，从力学模型来看，这类连接单元本身具备较大的阻尼值。

当模型中包含这类连接单元时，SAP2000将在动力分析过程中考虑这些阻尼的影响，并把连接单元属性中指定的线性有效阻尼系数或者非线性阻尼自动转换为振型阻尼，这一过程中将忽略振型间的交叉阻尼。

这些振型阻尼值对每个振型一般是不同的，他们取决于每一振型在连接单元中引发的变形。

在后面非线性连接单元定义部分，将谈到隔振、阻尼等非线性连接单元将需要同时定义线性阻尼属性和非线性阻尼属性，在线性动力分析时，转换的是线性有效阻尼；在非线性分析时，转换的是非线性阻尼。

13.2时程曲线的输入

在SAP2000中，当需要使用时程分析法进行结构地震作用计算时，需要先将地震波引入到程序中。

地震波可以是实际地震记录波，也可以是人工模拟加速度时程曲线。

图13-1时程函数引入对话框

13.2.1地震时程曲线的选取

关于地震波的选取，我国2002版新规范有明确的说明：

“采用时程分析法时，应按建筑场地类型和设计地震分组选用不少于二组的实际强震记录和一组人工模拟的加速度时程曲线。

（《建筑抗震设计规范（GB50011-2001）》5.1.2-3）”因此对于时程地震波的选取首先要基于建筑结构的场地类别和地震分组，另外需要选择不同的三种波进行计算，对此规范中也有相关说明。

前面我们在讲述反应谱分析中也谈到，时程分析相对于反应谱分析的一项弱点就是反应谱分析涵盖了一个地区地震作用的整体统计影响，而时程分析只能够反映一次地震作用的影响，而且即使是相同场地类型和设计地震分组的地震波也可能带来结构不同的响应结果。

规范所采用的是根据小样本容量下的计算结果来估计地震效应值的方法。

其理论依据是通过大量的地震加速度记录输入不同结构类型进行时程分析结果的统计分析，若选用不少于二条实际记录和一条人工模拟的加速度时程曲线作为输入，计算的平均地震效应值不小于大样本容量平均值的保证率在85%以上，而且一般也不会偏大很多。

图13-2时程曲线定义对话框

《建筑抗震设计规范（GB50011-2001）》中5.1.2-3还规定所选取的时程曲线“其平均地震影响系数曲线应与振型分解反应谱法所采用的地震影响系数曲线在统计意义上相符”。

对于这一点规范也有所解释，“统计意义上相符”指的是时程曲线平均地震影响系数曲线与振型分解反应谱法所用的地震影响系数曲线相比，在各周期点上相差不大于20%。

计算结果的平均底部剪力一般不会小于振型分解反应谱法计算结果的80%，每条地震波输入的计算结果不会小于65%。

因此，《建筑抗震设计规范（GB50011-2001）》中5.1.2-3也作了以下规定：

“弹性时程分析时，每条时程曲线计算所得结构底部剪力不应小于振型分解反应谱计算结果的65%，多条时程曲线计算所得结构底部剪力不应小于振型分解反应谱计算结果的80%”。

在这里需要注意的是在“弹性时程分析时”，因为前面我们提到过反应谱分析仅限于线弹性范围，而使用时程分析除了可以完成线性分析外，也可以进行罕遇地震作用下的弹塑性分析。

在SAP2000程序中，联机的技术资料为工程师提供了国际上所常用的地震时程曲线和国内按场地类型不同归纳的一部分常用的地震时程曲线。

对于安装单机版的用户，可以通过访问本机上的安装目录下TimeHistoryFunctions文件夹来读取这些数据，如果是安装了网络版客户端的用户，可以通过访问网络安装SAP2000程序的Server下相同的目录来调用这些数据。

SAP2000所使用的时程曲线都是文本格式的，对于联机带有的地震时程曲线，可以通过文本格式对于曲线数据进行全面读取，也可以进行所需要的修改。

工程师可以根据需要使用文本构建时程曲线数据，也可以使用文本编辑人工模拟加速度曲线。

SAP2000读取文本格式的时程曲线时可以分别使用两种方式：

一种是时间和函数值对应的数据对格式，另一种是等时间间隔的函数值关系。

使用第一种时数据格式为两列，左列为时间参量，右列为对应时间参量下的加速度函数值；第二种格式所有数据均为加速度函数值，时间为默认的等间隔时间，在读取函数前需要确定等时间间隔，对于联机带有的地震波该信息已经在前面文本部分注明，并将该时间间隔值输入到SAP2000对应对话框内。

13.2.2任意动荷载时程曲线的输入

使用SAP2000可以对结构进行地震作用下的动力时程分析，但时程分析的应用范围不仅仅限于此，可以使用时程分析来完成风荷载、工业动力荷载、爆炸荷载等任意形式的动力荷载作用分析。

后面在SAP2000的时程工况定义中也可以看到，在荷载类型中不仅可以选择几个方向的加速度荷载，还可以选择任意已经定义的静力荷载工况。

在使用SAP2000来模拟任意动力荷载时，必须具有该荷载的时程曲线数据。

任意动力荷载也可以通过文本格式进行构建和编辑，其方法与地震时程曲线定义方法是相同的，唯一不同之处在于地震时程曲线中定义的是加速度大小，而在其它类型动力荷载中定义的是荷载值函数随时间的变化曲线。

在使用SAP2000来模拟任意动力荷载时需要注意，首先除了加速度作用模拟地震作用以外，其它类型的荷载必须是直接作用在结构对象上的荷载，比如说风荷载作用在结构迎风面上、工业冲击荷载作用在设备连接的结构结点上等，对于爆炸荷载，也是从冲击波作用在结构构件开始进行分析的，对于爆炸从爆源通过空间传播到结构上的这一过程是不进行考虑的，换句话说SAP2000并不处理波动传递和场作用问题。

13.3线性时程分析工况的定义

定义完成时程函数曲线之后，需要定义时程分析工况。

当选择定义>分析工况命令后将弹出分析工况定义对话框，然后选择添加新工况并在分析工况类型下拉菜单中选择“TimeHistory”，也就是时程分析工况类型，便可以弹出时程分析工况定义对话框，时程分析工况全部定义都可以在这里完成。

如果需要定义的是线性时程分析，首先需要在分析类型选项中选择线性分析类型，反之选择非线性分析类型，关于非线性时程分析的相关概念和定义过程我们将在后续章节进行介绍。

图13-3时程工况定义对话框

13.3.1时程类型

分析类型定义区域的右边是时程类型的定义，也就是我们前面所谈到的时程积分类型的选择，包含振型（模态）积分方法和直接积分方法两种，当选择直接积分选项时，在对话框下面的其它参数定义区域将自动弹出时间积分方式的选择，点击修改/显示按钮可以修改积分类型，其中所包含的选项就是我们前面所谈到的几种常用的积分方式，选择的积分方式将直接在其它参数区域中显示出来，默认选项是HHT积分方法，它也将在该区域显示。

对于各种积分方式的基本理论前面已经进行了简述，需要再次指出的是，SAP2000程序默认积分方法是HHT法，HHT方法一般情况下会得到比较理想的结果，因此程序推荐用户使用默认的方法进行时程分析直接积分，除非用户对其它方法有特定的需要。

13.3.2时程运动类型

在线性时程分析工况下，当我们选择使用振型（模态）积分类型时，该选项下面的时程运动类型将被激活，（当选择直接积分时或选择非线性振型积分类型时，这一项将一直选择为瞬态并且是不可以修改）。

时程运动类型是用来定义该时程工况运动类型的选项，此处有三个选项：

瞬态、周期和静力，目前静力选项是不可用的。

当时程类型定义为振型积分时，我们可以选择的运动类型可以为瞬态和周期两种。

瞬态运动类型是时程分析常用的情况，在这里结构从静止开始，时程分析定义的目的是为结构运动过程中每一个瞬态时刻指定加速度作用或所承受指定的荷载。

周期运动类型是用于指定的荷载为周期性的时程分析；也就是说，这些时程作用在给定的分析长度内无限次重复，同时，时程作用效应结果也是周期性的。

程序自动调节分析开始时的位移和速度，以使之等于分析结束时的这些值。

该结果是结构对一个任意时间变化中循环施加的荷载的稳态反应。

对于线性瞬态分析，其初始状态总是零。

对于一个线性周期分析，其初始状态设置为和分析结束时相同的状态。

13.3.3初始条件

在时程分析工况定义过程中，可以为本时程工况指定相关的初始条件。

默认情况下，初始条件为零，也就是时程分析从结构构件零应力刚度开始。

在静力分析工况中也存在初始初始条件指定功能，这些分析工况可以是考虑P-△效应或大位移效应等影响。

例如，如果我们需要在水平作用分析过程中考虑由重力引起的P-△效应，可以先定义一个施加重力作用的非线性静力分析工况，选中要考虑P-△效应。

然后再定义其它水平分析工况，并选择使用已经定义的非线性工况作为初始条件（或使用的刚度），这些水平分析工况就能够考虑重力P-△效应的影响。

在时程分析中，模态积分的线性时程分析工况是不能够指定初始条件的，原因是该分析使用源于模态分析工况的振型信息作为初始条件。

模态积分的非线性时程分析工况和直接时间积分的线性和非线性时程分析工况都可以根据需要选择相应的初始条件。

并不是所有的分析工况都可以作为初始条件指定给以上分析工况，对于不同类型的分析工况是不同的，这也是分析连续性的基本要求。

只有已经定义的模态积分的非线性时程分析工况才能够作为模态积分的非线性时程分析工况的初始条件，这一对应选择关系是唯一的。

对于直接积分的线性和非线性工况，可以作为初始条件的分析工况有：

非线性静力工况、非线性施工顺序工况和非线性直接积分时程分析工况。

需要注意的是，初始工况对于所定义的工况的影响范围和深度是不同的，换句话说基于本工况的性质，它对于初始条件分析工况所承接的结果内容是不同的。

这主要决定于本分析工况是线性分析工况还是非线性分析工况。

如果本工况是线性分析工况，那么它所获得初始条件分析工况信息仅仅是刚度信息，也就是说初始工况中荷载作用下的结构效应不会被带到该工况，初始工况结构构件的内力、应力及变形效应也不会对该工况有任何影响。

如果本分析工况为非线性分析工况，那么它从初始条件分析工况所获得的信息是全面的，包括刚度信息，以及全部结构效应信息（内力、应力及变形等），以及先前加载历史导致的材料非线性效应信息等。

对于复杂的土木结构，我们希望在一个单独的分析工况中去解决一个方面的全部问题，但这一点往往是不能够实现的，特别是对于施工和使用过程中经过一系列复杂过程的结构，或者结构本身需要考虑比较多的因素影响，这些因素存在共同作用且从理论上又不能够进行简单叠加。

这时候就需要根据程序所提供的初始条件的指定功能来实现以上的分析，有时候可能需要指定几层初始条件来完成一个连续的分析过程。

在动力时程分析过程中，一般情况下建议使用非线性直接积分类型工况去完成连续的时程分析，这也就是我们所说的完整非线性分析。

原因就是对线性时程工况指定初始分析工况时，该工况会考虑前面工况非线性刚度影响，但不会考虑后续附加的非线性影响。

例如，在线性分析工况中不考虑施加的荷载引起的附加P-△效应。

类似地，如果非线性工况已引起移动的单拉支撑进入受压状态，因此取消它们的刚度，则线性荷载将不能使它们重新回到受拉状态。

因此在确认与非线性刚度情况相比，非线性效应很小时，可以使用线性直接积分时程分析工况。

否则，一般建议进行完整的非线性分析。

13.3.4荷载作用施加

线性时程工况定义的主体部分是在施加的荷载处进行定义的，在这一区域可以定义施加荷载的类型，分为一般荷载类型和加速度荷载类型。

当选择加速度荷载类型时，在后面荷载名称位置可以选择三个方向的加速度和绕三个轴的角加速度；当选择为一般荷载类型时，在后面荷载名称位置可以选择已经在静力荷载工况中定义的任意荷载工况名称。

当定义完成荷载类型和荷载名称的定义后，需要在函数下拉菜单选择已经定义好的函数名称（也就是前面所提到的时程曲线），以及比例系数项，此处比例系数的意义是将时程曲线中所有函数值乘以一个放大系数或折减系数，来控制时程函数整个时间范围的函数值大小。

比如《建筑抗震设计规范（GB50011-2001）》表5.1.2-2给出了结构时程分析所用地震加速度的时程曲线的最大值，这一最大值的获得就是通过时程曲线中峰值与比例系数的乘积来达到的，并且整个时间范围内函数值都会按比例进行所需的调整。

图13-4时程工况高级荷载参数定义

上面是对于时程工况荷载定义的基本选项，如果需要对其进行更进一步的定义，可以勾选本区域左下角的显示高级荷载参数选项，将弹出荷载定义的其它选项，包括到达时间、采用坐标系和输入角度。

到达时间定义了某一荷载作用波到达结构的时间，比如我们都知道地震作用包含了横波和纵波成分，纵波的传播速度要比横波快，因此结构在同一次地震作用下，横波要晚于纵波到达结构，这时就可以通过到达时间的定义来实现。

到达时间一般用于加速度荷载，但是也可以用于其它荷载形式。

坐标系和输入角度的定义只针对于加速度荷载，一般情况下地震加速度作用默认加载是参考全局坐标轴来完成的，在此处坐标系选项中，我们可以选择其它用户自定义坐标系统来施加地震加速度，并且可以在“输入角度”项中输入加速度与坐标轴的夹角，来模拟更为一般的地震作用输入。

13.3.5时间步数据

时程分析工况定义对话框中时间步数据区域主要是定义输出步参量的选项。

虽然程序会计算每个时间步的时程函数荷载作用结构的效应，但不默认将所有结果都进行输出。

最终分析输出的总时间是这里所定义的输出时间步数和输出时间步长的乘积。

输出时间步长需要不小于时程曲线输入的步长，否则更小的步长将没有什么意义，一般建议取输出时间步长或其整数倍。

输出时间是从零时刻零步数开始算起的，当定义的输出总时间小于总的时程作用时间，程序将仅输出这一部分输出时间。

13.3.6阻尼参数

时程工况定义中另一个主要的部分是阻尼的定义，关于动力分析中阻尼设置的相关理论在前面已经进行了简述，这里只讲述程序中进行线性时程