几何非线性有限元分析课件2.docx

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几何非线性有限元分析课件2

第8章几何非线性有限元分析

8.2几何非线性问题的表达格式

虚位移原理（虚功原理）：

虚功原理的初始参考构型表示形式：

为了便于求解：

将应力和应变分解成：

从t到

时刻引起的应力增量

从t到

时刻引起的应变增量

将应变增量进一步分解：

平衡方程的线性化

（1）物理方程的线性化：

对于弹性材料，该关系式准确的。

如果是小变形，则有

材料的弹性常数张量。

（2）求解格式的进一步线性化：

带入虚功方程，

可获得用位移和应变表示的虚功方程：

8.3有限元求解方程及解法

一．有限元方程：

静力问题：

按照一般的有限元法的基本思想，将结构离散成有限单元，每个单元中，选择相应的形函数，将节点坐标、位移等相应的量，通过形状函数与单元的节点上的坐标值、位移相联系。

坐标：

，

，

位移：

，

代入虚功原理：

，

，

经过集成后，可获得有限元控制方程：

该方程是一个非线性方程组。

其非线性体现在刚度系数矩阵上。

在时间步中，刚度矩阵是切线模量。

这与物理非线性问题是相同的。

另一方面，右端项

与待求的位移增量{u}相关。

这也造成了非线性。

求解方法：

可采用求解物理非线性问题的方法求解。

二．用于几何非线性的单元及单元矩阵和向量的举例：

（见教材）

三．有限元方程的解法

基本思想：

在每个时间步中，采用非线性方程的求解方法，进行迭代求解。

这些方法包括：

直接迭代法；N－R方法等。

因此，几何非线性问题的求解包括两层迭代（循环）；

外层循环（迭代）：

对时间步迭代（荷载增量步）

内层循环：

求解各时间步倒出的非线性方程，通过迭代求解该时间步后的相应。

四．平衡路径的追踪方法：

弧长法

8.4稳定性问题

初始稳定性问题（初始屈曲等）

稳定性控制方程（屈曲方程）

非线性方程：

稳定性问题：

在一定的荷载条件下，结构处于平衡状态。

在荷载不增加的条件下，是否存在另一状态？

从数学上说，如果位移{u}对应平衡状态，在荷载不变的条件下，位移有一个小的扰动，是否也能够处于平衡状态？

也就是：

，是否有非零解？

注意：

非线性刚度矩阵

是由初始内力形成的刚度矩阵。

初始内力的大小与外荷载相关。

如果讨论的是初始屈曲问题，则初始内力与外荷载成正比。

例如，梁的屈曲问题，则内力与轴向荷载p成正比。

此时，

。

失稳条件：

求解上述方程，可求出失稳荷载。