【例3】已知二次函数y=x2+bx－c，当x=－1时，y=0；当x=3时，y=0，求
（1）b、c的值；
（2）当x=－2时，函数的值.
【分析】本题二次函数解析式中有两个待定的系数b和c，因此，通常需要建立两个方程才能求出这两个系数.
【解】
（1）把x=－1，y=0；x=3时，y=0分别代入函数解析式y=x2+bx－c，得
，解得
.
（2）二次函数的解析式为y=x2－2x－3，当x=－2时，y=5.
【绿色通道】利用待定系数法求二次函数的解析式，通过已知条件转化为通过解已学过的一元一次方程或二元一次方程，求得二次函数的系数.
【变式训练】
4.已知二次函数y=ax2+bx+c，当x=0时，y=－2；当x=1时，y=0；当x=2时，y=4，求二次函数的解析式.
【解】把x=0，y=－2；x=1，y=0；x=2时，y=4，分别代入函数解析式y=ax2+bx+c，得
，解得
，∴二次函数的解析式为y=x2+x－2.
【同步测控】
基础自测
1.下列函数中，是二次函数的是…………（）
A.y=8x2+1B.y=8x+1
C.y=
D.y=
2.某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y（万元），与平均年增长率x之间的函数关系式是.
3.二次函数y=（－2x+1）2的二次项系数a，一次项系数b和常数项c，则b2－4ac=.
4.有一长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm，现在长宽上分别剪去宽为xcm（x<6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y=.
5.二次函数y=x2+bx+3中，当x=3时，y=0，则b的值为．
6.使二次函数y=x2－5x－6的值为0的x的值是.
7.自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为h=4.9t2.现在有一铁球从离地面19.6米的高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是秒.
8.已知正方形的周长是Ccm，面积是Scm2.
（1）求S与C之间的函数关系式；
（2）当S=1cm2时，求正方形的边长.
9.正方形的边长为1cm，假设边长增加xcm时，正方形的面积增加ycm2.
（1）请写出y与x之间的关系表达式；
（2）当正方形边长分别增加1cm，
cm，2cm时，正方形的面积增加多少？
10.在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
7
2
－1
－2
m
2
7
求m的值.
能力提升
1.若函数
是二次函数，那么m的值是………………………（）
A.2B.－1或3C.3D.
2.y=（m2－2m－3）x2+（m－1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_______.
3.二次函数y=（－2x+1）2的二次项系数a，一次项系数b和常数项c，则b2－4ac=.
4.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x元时，则销售利润y=_________.
5.某工厂计划给一批长方体形状的产品涂上油漆，已知长方体的长和宽相等，高比长多0.5m.
（1）长方体的长和宽用x（m）表示，每个长方体所需涂漆的表面积为S（m2），求S关于x的函数关系式；
（2）如果每平方米所需油漆的费用是5（元），每个长方体所需涂漆费用为y（元），求y关于x的函数解析式.
6.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分钟）之间满足函数关系y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强.
（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少?
（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?
通过计算来回答.
创新应用
7.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm.（不考虑墙的厚度）.
（1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？
（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
参考答案
基础自测
1.下列函数中，是二次函数的是………………………………………………………（）
A.y=8x2+1B.y=8x+1C.y=
D.y=
答案：
A
2.某工厂第一年的利润为20（万元），第三年的利润y（万元），与平均年增长率x之间的函数关系式是.
答案：
y=20x2+40x+20
3.二次函数y=（－2x+1）2的二次项系数a，一次项系数b和常数项c，则b2－4ac=.
解析：
化为一般形式，得y=4x2－4x+1，a=4，b=－4，c=1.
答案：
0
4.有一长方形纸片，长、宽分别为8cm和6cm，现在长宽上分别剪去宽为xcm（x<6）的纸条（如图），则剩余部分（图中阴影部分）的面积y=.
解析：
阴影部分矩形的长为（8－x）cm，宽为（6－x）cm，根据矩形面积公式，y=（8－x）（6－x）=x2－14x+48.
答案：
x2－14x+48
5.二次函数y=x2+bx+3中，当x=3时，y=0，则b的值为．
答案：
－4
6.使二次函数y=x2－5x－6的值为0的x的值是.
解析：
当y=0时，x2－5x－6=0，解这个方程便可求得x的值.
答案：
6或－1
7.自由下落的物体的高度h（米）与下落的时间t（秒）的关系为h=4.9t2.现在有一铁球从离地面19.6米的高的建筑物的顶部作自由下落，到达地面需要的时间是秒.
解析：
当y=0时，x2－5x－6=0，解这个方程便可求得x的值.
答案：
6或－1
8.已知正方形的周长是Ccm，面积是Scm2.
（1）求S与C之间的函数关系式；
（2）当S=1cm2时，求正方形的边长.
解：
（1）S=
；
（2）当S=1时，由S=
，得1=
，解得C=4或C=－4（舍去）.
∴C=4，此时，正方形边长为1cm.
9.正方形的边长为1cm，假设边长增加xcm时，正方形的面积增加ycm2.
（1）请写出y与x之间的关系表达式；
（2）当正方形边长分别增加1cm，
cm，2cm时，正方形的面积增加多少？
分析：
增加后的正方形边长为（1+x）cm，面积为（1+x）2cm，再减去原正方形的面积即得y的值.
解：
（1）y=（x+1）2=1=x2+2x.
（2）当x=1时，y=3；当x=
时，y=3+2
；当x=2时，y=8.
10.（长春市07）在二次函数y=x2+bx+c中，函数y与自变量x的部分对应值如下表：
x
－2
－1
0
1
2
3
4
y
7
2
－1
－2
m
2
7
求m的值.
分析：
选择表中的两对数据代入二次函数的解析式，求出b，c的值，得到二次函数的解析式，再将x=2代入，便可求出m的值.
解：
把x=－1，y=2；x=0时，y=－1分别代入函数解析式y=x2+bx+c，得
，解得
.
（2）二次函数的解析式为y=x2－2x－3，当x=－2时，y=5.
能力提升
11.若函数
是二次函数，那么m的值是………………………（）
A.2B.－1或3C.3D.
解析：
根据二次函数的定义，x的次数m2－2m－1=2且二次项系数m2+m≠0，可解得m=3.
答案：
C
12.y=（m2－2m－3）x2+（m－1）x+m2是关于x的二次函数要满足的条件是_______.
解析：
二次函数的条件是二次项系数m2－2m－3≠0，可解得m≠3且m≠－1.
答案：
m≠3且m≠－1
13.某商店将每件进价为8元的某种商品每件10元出售，一天可销出约100件.该店想通过降低售价、增加销售量的办法来提高利润.经过市场调查，发现这种商品单价每降低0.1元，其销售量可增加10件，将这种商品的售价降低x元时，则销售利润y=_________.
解析：
降低x元时，该商品每件的利润为（10－8－x）元，此时销售量增加为（100+
）件，根据等量关系：
销售利润=每件的利润×销售量，得y=（10－8－x）（100+
）=－100x2+100x+200.
答案：
－100x2+100x+200
14.一辆汽车的行驶距离S（m）关于行驶时间t（s）的函数解析式是S=9t+
t2，则汽车的速度为km/时，若汽车行驶的限速为60km/时的公路上，超速（填“有”或“否”）.
解析：
（1）t=1s，S=9×1+
×12=9.5m，
=9.5m/s=34.2km/时；
（2）∵34.2km/时<60km/时，∴汽车没有超速.
答案：
34.2km/时否
15.某工厂计划给一批长方体形状的产品涂上油漆，已知长方体的长和宽相等，高比长多0.5m.
（1）长方体的长和宽用x（m）表示，每个长方体所需涂漆的表面积为S（m2），求S关于x的函数关系式；
（2）如果每平方米所需油漆的费用是5（元），每个长方体所需涂漆费用为y（元），求y关于x的函数解析式.
分析：
（1）先将长方体的高用x的代数式表示，再根据长方体的表面积公式求得S关于x的函数关系式；
（2）由等量关系：
长方体所需涂漆费用=5×长方体的表面积，求得y关于x的函数解析式.
解：
（1）先将长方体的长和宽都为x（m），则高为（x+0.5）m，根据长方体的表面积公式，得S关于x的函数关系式为：
S=2x2+4x（x+0.5）=6x2+2x；
（2）由题意，得y=5S=5（6x2+2x）=30x2+10x.
16.心理学家发现，在一定的时间范围内，学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x（单位：
分钟）之间满足函数关系y=－0.1x2+2.6x+43（0≤x≤30），y的值越大，表示接受能力越强.
（1）若用10分钟提出概念，学生的接受能力y的值是多少?
（2）如果改用8分钟或15分钟来提出这一概念，那么与用10分钟相比,学生的接受能力是增强了还是减弱了?
通过计算来回答.
分析：
本题实质是“已知自变量求函数值”的问题，再通过比较函数值的大小来求得接受能力的强弱.
解：
（1）当x=10时，y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1×102+2.6×10+43=59.
（2）当x=8时，y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1×82+2.6×8+43=57.4，
∴用8分钟与用10分钟相比，学生的接受能力减弱了；
当x=15时，y=－0.1x2+2.6x+43=－0.1×152+2.6×15+43=59.5，
∴用15分钟与用10分钟相比，学生的接受能力增强了.
创新应用
17.某农户计划利用现有的一面墙再修四面墙，建造如图所示的长方体水池，培育不同品种的鱼苗.他已备足可以修高为1.5m、长18m的墙的材料准备施工，设图中与现有一面墙垂直的三面墙的长度都为xm，即AD=EF=BC=xm.（不考虑墙的厚度）.
（1）若想水池的总容积为36m3，x应等于多少？
（2）求水池的总容积V与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；
分析：
根据长方体的体积=长×宽×高来列方程或函数关系式.
解：
（1）1.5x（18－3x）=36，解得x1=2，x2=4.
（2）V=1.5x（18－3x）=－4.5x2+27x.
∵
，∴0
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