实用勾股定理提高练习题精编.docx
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实用勾股定理提高练习题精编
勾股定理练习（根据对称求最小值）
基本模型：
已知点A、B为直线m同侧的两个点，请在直线m上找一点M，使得AM+BM
有最小值。
1、已知边长为4的正三角形ABC上一点E，AE=1，AD⊥BC于D,请在AD上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
2、.已知边长为4的正方形ABCD上一点E，AE=1，请在对角线AC上找一点N，使得EN+BN有最小值，并求出最小值。
3、如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到
直线b的距离为3，AB=230．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足
MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（）
A．6B．8C．10D．12
4、已知AB=20，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，DA=10，CB=5．
（1）在AB上找一点E，使EC=ED，并求出EA的长；
（2）在AB上找一点F，使FC+FD最小，并求出这个最小值
5、如图，在梯形
ABCD
中，∠C=45°，∠BAD=∠B=90°，AD=3
，CD=2
2，
M为BC上一动点，则△AMD周长的最小值为
6、如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，
边上一点，则EM+BM的最小值为．
M
是
AD
．
上的动点，
E是
AB
7、如图∠AOB=45°，P是∠AOB内一点，PO=10，Q、R分别是OA、OB上的动点，求△PQR周长的最小值．
8．如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，
在对角线AC上有一点P，使PD＋PE的和最小，则这个最小值为（
）
A．2
B．2
6
C．3
D．
6
9、在边长为2cm的正方形ABCD中，点Q为BC边的中点，点P为对角线AC上一动点，连接PB、PQ，则△PBQ周长的最小值为____________cm
10、在长方形ABCD中，AB=4,BC=8,E为CD边的中点，若P、Q是BC边上的两动点，且PQ=2，当四边形APQE的周长最小时，求BP的长.
几何体展开求最短路径
1、如图,是一个三级台阶,它的每一级的长、宽、高分别为20dm，3dm，2dm，A和B是这
个台阶两相对的端点，A点有一只昆虫想到B点去吃可口的食物，则昆虫沿着台阶爬到B点的最短路程是多少dm？
2、如图：
一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．
3、如图，一个高18m，周长5m的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少多长？
（建议：
拿一张白纸动手操作，你一定会发现其中的奥妙）
4、如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C1处（三条棱长如图所示），问怎样走路线最短？
最短路线长为多少？
5、如图，圆柱形容器中，高为1.2m，底面周长为1m，在容器内壁离容器底部0.3m的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿0.3m与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离。
折叠问题
1、如图所示，折叠矩形的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EF的长。
2、如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点A落在点A′处；
（1）求证：
B'E=BF；
（2）设AE=a，AB=b，BF=c，试猜想a、b、c之间的一种关系，并给予证明
3、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，将△ABC
使点B与点A重合，折痕为DE，则CD=。
折叠，
4、如图，折叠长方形ABCD的一边AD，点D落在BC边的D′处，AE是折痕，已知CD=6cm，
CD'=2cm，则AD的长为.
5、如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∠C=60°，AC=10，将BC向BA方向翻折
过去，使点C落在BA上的点C′，折痕为BE，则EC的长度是（）
A、5
3
B、5
3－5
C、10－5
3
D、5+
3
6、如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C′的位置上，已知AB=?
3，BC=7，求重合部分△EBD的面积。
弦图有关问题
1、如图，直线A、4
l上有三个正方形
B、6
a、b、c，若
C、16
a、c的面积分别为
D、55
5和
11，则
b
的面积为（
）
2、2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》
，它是由
四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形
（如图所示）．如果大正方形的面积是
13，
小正方形的面积是
1，直角三角形的较短直角边为
a，较长直角边为
b，那么（a+b）2
的值为（
）
A、13
B、19
C、25
D、169
3、如图，直角三角形三边上的半圆的面积依次从小到大记作
S1
、S2、S3，则S1
、S2、S3
之间的关
系是（
）
A、S1+S2>S3
B、S1+S2C、S1+S2=S3
2
2
2
D、S1
+S2=S3
4、如图，是2002
年8月北京第
24届国际数学家大会会标，由
4个全等的直角三角形拼合而成，若图
中大小正方形的面积分别为
52和4，则直角三角形的两条直角边的长分别为
。
5、已知：
如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边
AB＝3,则图中阴影部分
的面积为
．
6、如图，Rt△ABC
的周长为（5+3
5）cm，以AB、AC为边向外作正方形ABPQ和正方形ACMN
．若
这两个正方形的面积之和为
25cm
2
2
，则△ABC的面积是
cm.
7、在直线l上依次摆放着七个正方形（如图）．已知斜放置的三个正方形的面积分别是
1、2、3，正放
置的四个正方形的面积依次是
S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4=
．
8、我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”
，后人称其为“赵爽弦图”．如图是由
弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形
ABCD，正方形EFGH，正方形
MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若S1+S2+S3＝10，则S2的值是
。
9、如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°,AB＝BC，三角形的顶点在相互平行的三条直线
l1、l2、l3上，且l1、l2之间的距离为2,l2、l3之间的距离为3,求AC的长。
勾股定理的证明
1、将直角边长分别为a、b，斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为c的正方形，请利用该图形证明勾股定理。
2、将直角边长分别为a、b，斜边长为c的四个直角三角形拼成一个边长为a+b的正方形，请利用该
图形证明勾股定理。
3、以a、b为直角边，以c为斜边作两个全等的直角三角形，把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使A、E、B三点在一条直线上.请利用该图形证明勾股定理。
4、已知,如图所示,正方形ABCD的边长为1,G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合）,以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF,连接DE交BG的延长线于点H.
（1）求证:
①BCG≌DCE②HB⊥DE
（2）试问当G点运动到什么位置时,BH垂直平分DE?
请说明理由.
勾股定理中考典型题目练习
1、（2014?
山东枣庄）图①所示的正方体木块棱长为6cm，沿其相邻三个面的对角线（图中虚线）
剪掉一角，得到如图②的几何体，一只蚂蚁沿着图②的几何体表面从顶点A爬行到顶点B的最
短距离为cm．
2、（2014?
山东潍坊）我国古代有这样一道数学问题：
“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠
绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？
，题意是：
如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十
尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点
B处．则问题中葛藤的最短长度是__________尺．
3、（2014?
乐山）如图，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D．则
CD的长为（）
2
5
3
5
4
5
2
5
A．
B．
C．
D．
3455
4、（2014?
湖北荆门）如图，已知圆柱底面的周长为点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为（
4dm，圆柱高为
）
2dm，在圆柱的侧面上，过点
A和
A．4
2
dm
B．2
2
dm
C．2
5
dm
D．4
5
dm
5、（2014?
黑龙江牡丹江）如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BC边上的高AD=6cm，腰AB上的高CE=8cm，
则△ABC的周长等于cm．
6、（2014?
安徽省）如图，Rt△ABC中，AB=9，BC=6，∠B=90°，将△ABC折叠，使A点与BC的
中点D重合，折痕为MN，则线段BN的长为。
7、（2014年山东泰安）如图①是一个直角三角形纸片，∠
A=30°，B
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