最新高考文科数学真题汇编坐标系和参数方程老师版.docx
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最新高考文科数学真题汇编坐标系和参数方程老师版
学科教师辅导教案
学员姓名年级高三辅导科目数学
授课老师课时数2h第次课授课日期及时段2017年月日：
—：
历年高考试题集锦——坐标系和参数方程
1.（2015年广东文）在平面直角坐标系xy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲
xt2
线C1的极坐标方程为cossin2，曲线
C2的参数方程为
y22t
（t为参数），则C1与C2交
点的直角坐标为2,4．
2.（2015年新课标2文）在直角坐标系xOy中,曲线
C1:
（t为参数,且t
0）,其中0,
x
tcos
y
tsin
在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2
:
2sin,C3:
23cos.
（I）求
C2与C3交点的直角坐标；（II）若
C1与
C2相交于点A,C1与C3相交于点B,求AB最大值.
试题分析：
（I）把
C2与C3的方程化为直角坐标方程分别为
x2y22y
0,x2
y223x
0,联立解
3.（2015年陕西文）在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为
x31t
2（t为参数），以原点为极
y3t
2
点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin.
（I）写出C的直角坐标方程；
（II）P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标.
2
试题解析：
（I）由23sin，得23sin，从而有x2
2
y223y所以x2y33
（II）设P3
1t,3
22
t，又
C（0,3），则PC
22
31t3t3
22
t212，
故当t0时，PC取得最小值，此时P点的坐标为（3,0）.
4、（2015新课标1）在直角坐标系xOy中，直线
C1:
x
2，圆
2
C2:
x1
2
y21，以坐标原点
为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（I）求
C1,C2的极坐标方程.
（II）若直线
C的极坐标方程为πR
，设C
C的交点为
M,N，求
CMN的面积.
3
解：
（I）因为x
cos,y
sin
4
，所以
232
C1的极坐标方程为cos2，
2
C的极坐标方程为22cos4sin40.5分
（II）将代入22cos4sin40，得23240，解得
4
122,22.故12
2，即MN
2由于
C2的半径为1，所以
1
C2MN的面积为.
2
5、（2016年全国I）在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为（t为参数，a＞0）.在以
坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：
ρ=4cosθ.
（I）说明C1是哪种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；
（II）直线C3的极坐标方程为θ=α0，其中α0满足tanα0=2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.
解：
⑴
x
acost
2
（t均为参数）∴x
2
y
2
1a①
2
2
2
y1asint
∴C1为以0，1
为圆心，a为半径的圆．方程为x
y2y1a0
∵22222C
xy，y
sin∴
2sin1a0
即为1的极坐标方程
⑵C2：
4cos
2
2
两边同乘得
4cos
222
xy，
cos
22
xxy4x
2
2
即x2y
4②C：
化为普通方程为
y2x由题意：
C和C的公共方程所在直线即为C
3
1
2
3
2
①—②得：
4x
2y1a
0，即为
C3∴1a
0∴a1
2
6、（2016年全国II）在直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x
6）2
y25．
（Ⅰ）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；
（Ⅱ）直线l的参数方程是
x
tcos
ytsin
（t为参数）,l与C交于
A,B两点，|
AB|10
，求l的斜率．
2
2
2
xy
解：
⑴整理圆的方程得x2
y212
11
0，
由
cos
x
可知
圆
C
的极坐标方程为
sin
y
212cos110．⑵记直线的斜率为k，则直线的方程为
kxy
0，由垂径定理及点到直线
6k
距离公式知：
2510
2
2
2
2
，即36k
90，整理得k
5，则k15．
1k22
1k433
7、（2016年全国III）在直角坐标系xOy中，曲线
C1的参数方程为
x3cos（
ysin
为参数）
，以坐标原点为
极点，以x轴的正半轴为极轴，，建立极坐标系，曲线
C2的极坐标方程为sin（
）22.
4
（I）写出
C1的普通方程和
C2的直角坐标方程；
（II）设点P在
C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.
8、（2016江苏）在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为
x11t
2
y3t
2
（t为参数），椭圆C的参数
方程为
x
cos,
y2sin
（为参数）.设直线l与椭圆C相交于A，B两点，求线段AB的长.
解：
椭圆C的普通方程为
y2
x21，将直线l的参数方程
4
x11t
2
y3t
2
，代入
y2
x21，得
4
（11t）2
（3t）2
2
1，即
7t2
16t
0，解得t1
0，t2
16
.所以AB
16
|t1t2|.
2477
9．（2013江苏理）在平面直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
x
t1
y2t
（t为参数），曲线C的参数
x
方程为
y
2tan2
2tan
（为参数），试求直线l与曲线C的普通方程，并求出它们的公共点的坐标。
【答案】直线l：
2xy2
0；曲线C：
y2
2x；它们公共点的坐标为
（2,2）
，（1,1）
2
10．（2012福建理）在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知
直线l上两点M，N的极坐标分别为（2,0），
23,π
32
，圆C的参数方程为
x22cos,
y32sin
（θ为参数）．
①设P为线段MN的中点，求直线OP的平面直角坐标方程；
②判断直线l与圆C的位置关系．
23
【简解】①由题意知，M，N的平面直角坐标分别为（2,0），（0，
3
3
）；又P为线段MN的中点，从而点P
3
的平面直角坐标为（1，
）；故直线OP的平面直角坐标方程为
3
yx．
3
②因为直线l上两点M，N的平面直角坐标分别为（2,0），（0，23
3
），所以直线l的平面直角坐标方程
为3x3y
230
；又圆C的圆心坐标为（2，3），半径r＝2，圆心到直线l的距离
d|233323|3
392
r；故直线l与圆C相交
11．（2014福建理）已知直线l的参数方程为参数）.
xa2t，（t为参数），圆C的参数方程为
y4t
x
4cos
y4sin
，（为
（I）求直线l和圆C的普通方程；
（II）若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围.
【简解】（I）直线l的普通方程为2xy2a0.圆C的普通方程为x2
2a
y216.
（II）因为直线l与圆有公共点,故圆C的圆心到直线l的距离d
4,解得25
5
a25
x2
12.（2014新标1理）已知曲线C：
y1，直线l：
x
2t
（t为参数）.
2
49y22t
o
（Ⅰ）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；
（Ⅱ）过曲线C上任一点P作与l夹角为
30的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值.
【简解】.（Ⅰ）曲线C的参数方程为：
x
2cos
y3sin
（为参数），直线l的普通方程为：
2xy60
（Ⅱ）在曲线C上任意取一点P（2cos,3sin）到l的距离为d
5
4cos3sin6，
5
则|PA|
dsin300
255sin6
5
，其中为锐角．且
tan4.
3
当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为225；
5
当sin1时，|PA|取得最小值，最小值为25
5
x
13.（2013新标2理）已知动点P、Q都在曲线C：
y
.
2cost2sint
（t为参数）上，对应参数分别为t＝α与t＝
2α（0<α<2π，）M为PQ的中点．
（1）求M的轨迹的参数方程；
（2）将M到坐标原点的距离d表示为α的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点．
【简解】
（1）依题意有P（2cosα，2sinα），Q（2cos2α，2sin2α），因此M（cosα＋cos2α，sinα＋sin2α）．M的轨迹的参数方程为{x＝cosα＋cos2α，y＝sinα＋sin2α，（α为参数，0<α<2π．）
（2）M点到坐标原点的距离d＝x2＋y2＝2＋2cosα（0<α<2π）．当α＝π，d＝0，故M的轨迹过坐标原点．
14、已知点A的极坐标为（2,
），直线l的极坐标方程为cos（
4
）a，且点A在直线l上．
4
（1）求a的值及直线l的直角坐标方程；
（2）圆c的参数方程为
x1cosysin
，（为参数），试判断直线l与圆的位置关系．
【答案】（Ⅰ）a
2，直线l：
xy
20；（Ⅱ）相交
1
15．（2012辽宁）在直角坐标xOy中，圆
C:
x2
y4，圆
C2:
（x
2）2
y4。
2
2
（Ⅰ）在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，分别写出圆
C1,C2的极坐标方程，并求出圆
C1,C2
的交点坐标（用极坐标表示）；
（Ⅱ）求出
C1与C2的公共弦的参数方程。
【答案】
（1）C1:
ρ=2，C2:
ρ=4cosθ,交点极坐标（（-1）
n2,nπ-
），n∈Z
（2）
3
x
t
（-3≤y≤3）
yy
16．（2013新标1）已知曲线
C1的参数方程为
x45cost,y55sint
（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2的极坐标方程为2sin。
（Ⅰ）把
C1的参数方程化为极坐标方程；（Ⅱ）求
C1与C2交点的极坐标（0,02）。
4
【答案】
（1）ρ2－8ρcosθ－10ρsinθ＋16＝0；
（2）2，π
2，π
，
2
17．（2013辽宁）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．圆C1，直线C2的
极坐标方程分别为ρ＝4sinθ，ρcosθ－π＝22.
4
（1）求C1与C2交点的极坐标；
（2）设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点．已知直线PQ的参数方程为
x＝t3＋a，b3
（t∈R为
y＝2t＋1
参数），求a，b的值．
【简解】
（1）圆C1的直角坐标方程为x2＋（y－2）2＝4，直线C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
x
2＋y－22＝4，
x1＝0，
x2＝2，ππ
2
解得
x＋y－4＝0，
y1＝4，
y＝2.所以C1与C2交点的一个极坐标为4，2，22，4，
（2）由
（1）可得，P点与Q点的直角坐标分别为（0,2），（1,3）．故直线PQ的直角坐标方程为x－y＋2＝0，
2
由参数方程可得y＝bx－
ab＋1，所以2
b
＝1，2
－ab＋1＝2，2
解得a＝－1，b＝2.
2
18．（2014辽宁）将圆x
2
y1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.
（1）写出C的参数方程；
（2）设直线
l:
2xy
20与C的交点为
P1,P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极坐标建立极坐标系，
求过线段
P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程.
【简解】（Ⅰ）设（x1,y1）为圆上的点，在已知变换下位C上点（x，y），依题意，得
xx1
由x1
2y21
y2y1
1
y
2
2y22
x＝cost
得x（）1，即曲线C的方程为x2
1.
.，故C得参数方程为
4
y＝2sint
（t为参数）.
（Ⅱ）由
y2
x21
4
2xy20
解得：
x1x0
，或.
y0y2
不妨设
P（1,0）,P
（0,2）,则线段
PP的中点坐标为1
所求直线的斜率为k
1
，于是所求直线方程为
1212
（,1）
22
y11（x1），化极坐标方程，得2cos4sin3，即3.
22
19.（2012新标理）已知曲线
C1的参数方程是
x2cos
（
y3sin
4sin2cos
为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴
为极轴建立坐标系，曲线
C2的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在
C2上，
且A,B,C,D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2,）
3
（1）求点
2
A,B,C,D的直角坐标；
（2）设P为C1上任意一点，求PA
22
PBPC
2
PD的取值范围。
【简解】
（1）点
A,B,C,D的直角坐标为（1,3）,（3,1）,（1,3）,（3,1）
（2）设
P（x,y
x0
y
00
）；则
2cos
（
为参数）
03sin
2
tPA
22
PBPC
PD24x2
4y240
5620sin2
[56,76]
20.（2014新标2理）在直角坐标系xoy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的
极坐标方程为2cos，0,.
2
（Ⅰ）求C的参数方程；
（Ⅱ）设点D在C上，C在D处的切线与直线
l:
y
3x2垂直，根据（Ⅰ）中你得到的参数方程，确
定D的坐标.
【简解】（I）C的普通方程为（x
1）2
y21（0
y1）.参数方程为
x
1cost,
（t为参数，0tx）
ysint,
（Ⅱ）设D（1cost,sint）.由（I）知C是以G（1,0）为圆心，1为半径的上半圆。
因为C在点D处的切线与t垂直，所以直线GD与t的斜率相同，tant
3,t
.故D的直角坐标为
3
（1cos,sin），即（3,3）。
3322
21．（2017·全国Ⅰ文）在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为
x＝3cosθ，y＝sinθ
（θ为参数），直线l的参数
方程为
x＝a＋4t，y＝1－t
（t为参数）．
（1）若a＝－1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为17，求a.
1．解
（1）曲线C的普通方程为
x2
9＋y
2＝1.当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0.
x2
＋y2＝1，
由9
x＋4y－3＝0，
x＝3，
解得
y＝0
x21，25
＝－
或
24
y＝25.
2124
从而C与l的交点坐标为（3,0），－25，25.
（2）直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0，故C上的点（3cosθ，sinθ）到l的距离为
|3cosθ＋4sinθ－a－4|
d＝.当a≥－4时，d的最大值为
17
a＋9
17
.由题设得
a＋9
＝17，所以a＝8；
17
当a<－4时，d的最大值为
－a＋1
17.由题设得
－a＋1
＝17，所以a＝－16.综上，a＝8或a＝－16.
17
22．（2017·全国Ⅱ文，22在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcosθ＝4.
（1）M为曲线C1的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|·|OP|＝16，求点P的轨迹C2的直角坐标方程；
（2）
3
2
设点A的极坐标为2，π，点B在曲线C
上，求△OAB面积的最大值．
2．解
（1）设点P的极坐标为（ρ，θ）（ρ>0），点M的极坐标为（ρ1，θ）（ρ1>0）．由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝4.
cosθ
由|OM|·|OP|＝16得C2的极坐标方程ρ＝4cosθ（ρ>0）．因此C2的直角坐标方程为（x－2）2＋y2＝4（x≠0．）
（2）设点B的极坐标为（ρB，α）（ρB>0）．由题设知|OA|＝2，ρB＝4cosα，
于是△OAB的面积S＝1|OA|ρ·B·sin∠AOB＝4cosα·sinα－π＝2sin2α－π－3
≤2＋3.
2332
时，
当α＝－π
12
S取得最大值2＋3.所以△OAB面积的最大值为2＋3.
23．（2017·全国Ⅲ文，22）在直角坐标系xOy中，直线l1的参数方程为
x＝2＋t，y＝kt
（t为参数），直线l2的参
数方程为
x＝－2＋m，
＝
ymk
（m为参数）．设l1与l2的交点为P，当k变化时，P的轨迹为曲线C.
（1）写出C的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设l3：
ρ（cosθ＋sinθ）－2＝0，M为l3与C的交点，求M的极径．
k
3．解
（1）消去参数t，得l1的普通方程l1：
y＝k（x－2）；消去参数m，得l2的普通方程l2：
y＝1（x＋2）．
设P（x，y），由题设得
y＝kx－2，
1
222
y＝kx＋2.
消去k得x2－y2＝4（y≠0．）
所以C的普通方程为x2－y2＝4（y≠0．）
ρ2cos2θ－sin2θ＝4，
（2）C
的极坐标方程为ρ（cosθ－sinθ）＝4（0＜θ＜2π，θ≠π．）联立
得
ρcosθ＋sinθ－2＝0，
cosθ－sinθ＝2（cosθ＋sinθ）．故tanθ＝－1，从而cos2θ＝9，sin2θ＝1.
31010
代入ρ2（cos2θ－sin2θ）＝4，得ρ2＝5，所以交点M的极径为5.
24．（2017·江苏，21）在平面直角坐标系中xOy中，已知直线l的参数方程为
x＝2s2，
x＝－8＋t，
ty＝2
（t为参数），曲
线C的参数方程为
y＝22s
（s为参数）．设P为曲线C上的动点，求点P到直线l的距离的最小值．
4．解直线l的普通方程为x－2y＋8＝0，因为点P在曲线C上，设P（2s2,22s），
2－42s＋8|2＋4|
从而点P到直线的距离d＝|2s
5
＝|2s－2
5
，当s＝2时，d
min
＝45.
5
.
因此当点P的坐标为（4,4）时，曲线C上的点P到直线l的距离取到最小值45
5
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