注意当x=a时，由（a）式应有L=（2hk/W-1）a。
上述讨论涉及到问题和结果的物理意义、几何意义、各因素对结果的影响趋势和所求得结果的正确性条件等，读者应注意培养这种探究式思维。
由本例可见，平衡条件、变形几何协调条件、力与变形之间的物理关系是分析变形体静力学问题的核心或研究主线。
§4.2基本假设
固体力学的研究对象是可变形固体。
固体材料是多种多样的。
研究变形体，常常需要涉及到材料本身。
在力的作用下，不同的材料有着不同的变形性能。
例如，在同样的拉伸载荷作用下，橡皮筋的变形大，铁丝的变形小等等。
材料的物质结构和性质比较复杂，为了研究的方便，通常采用下述假设建立可变形固体的理想化模型。
1）均匀连续性假设
假设物体在整个体积内都毫无空隙地充满着物质，是密实、连续的，且任何部分都具有相同的性质。
有了这一假设，就可以从被研究物体中取出任一部分来进行研究，它具有与材料整体相同的性质。
还因为假定了材料是密实、连续的，材料内部在变形前和变形后都不存在任何“空隙”,也不允许产生“重叠”，故在材料发生破坏之前，其变形必须满足几何协调（相容）条件。
2）各向同性假设
假设材料沿各不同方向均具有相同的力学性质。
这样的材料称为各向同性材料。
因为材料的晶粒尺寸很小且是随机排列的，故从宏观上看，从统计平均的意义上看，大多数工程材料都可以接受这一假设。
这一假设使力与变形间物理关系的讨论得以大大简化；即在物体中沿任意方位选取一部分材料研究时，其力与变形间的物理关系都是相同的。
当然，有一些材料沿不同方向具有不可忽视的不同的力学性质，力与变形间的物理关系与材料取向有关；这样的材料，称为各向异性材料。
3）小变形假设
假设物体受力后的变形是很小的。
在工程实际中，构件受力后的变形一般很小，相对于其原有尺寸而言，变形后尺寸改变的影响往往可以忽略不计。
假设物体受力后的变形很小，在分析力的平衡时用原来的几何尺寸计算就不至于引入大的误差。
这样的问题，称为小变形问题。
反之，当变形较大，其影响不可忽略时的问题，称为大变形问题。
基于上述假设，我们现在讨论的变形体静力学问题是均匀连续介质、各向同性材料的小变形问题。
这是固体力学研究的最基本问题。
随着研究的深入，将逐步放松上述假设的限制。
如含缺陷、裂隙或夹杂等材料不连续的问题，大变形问题，各向异性问题等等，逐步深化对于工程构件或工程系统力学性态的认识。
§4.3内力、截面法
物体内部某一部分与相邻部分间的相互作用力，称为内力。
与前面受力分析中提到的“物体系统中各物体间的作用力对于系统而言是内力”不同，系统中各物体间的内力，只须解除周围约束，将物体单独取出，即成为外力而显示。
此后所说的内力，是物体内部各部分间的相互作用力。
为了显示内力，必须用截面法截开物体，才能显示出作用在该截面上的内力。
图4.2（a）所示物体，受外力F1、F2、F3和力偶M作用而处于平衡状态。
处于平衡状态的物体，其任一部分也必然处于平衡状态。
如果要研究物体内某一截面C上的内力，则可沿该截面将物体截开，任取一部分研究其平衡。
沿C截面将物体截为A、B二部分，任取一部分（这里取A）作为研究对象，该部分上作用的外力是F1、F2。
物体处于平衡，则物体中的任一部分（无论是A还是B）都应处于平衡。
在力F1、F2作用下，A部分能保持平衡是因为受到B部分的约束，故在截面C上有B部分对A部分的作用力（内力）作用，如图4.2（b）所示。
无论C截面上的内力分布如何，其最一般情况是形成一个空间任意力系，故总可以像第三章讨论空间力系的简化那样，将截面上各处的内力合成的结果用作用于截面形心处沿三个坐标轴的力（Fx、Fy、Fz）和绕三个轴的力偶（Mx、My、Mz）表示，如图4.2（c）所示。
研究所截取的A部分物体的平衡，C截面上内力的六个分量，可由空间力系的六个独立平衡方程确定。
利用小变形假设，可不考虑变形引起的几何尺寸变化。
在最一般的情况下，切开的截面上内力有六个分量，可视为B部分物体对A部分物体的约束力，它们限制了A部分物体在空间中相对于B物体的任何运动，包括沿三个坐标轴的移动和绕三个坐标轴的转动。
如果物体有对称面且外力均作用在该平面内，则成为平面问题，如图4.3（a）所示。
用截面法沿C截面切开后，取左边A部分为研究对象，则截面C上的内力只有作用在该平面形心处的三个分量，即FN、FQ、M，由平面力系的三个独立平衡方程确定。
内力FN作用于截面法向，有使物体沿轴线伸长或缩短的效果，称为轴力；以拉力（指向离开截面）为正。
内力FQ作用于截面切向，有使物体沿截面发生剪切错动的效果，称为剪力；截面在研究对象右端时，以指向向下为正。
内力偶M有使物体在力的作用平面内发生弯曲的效果，称为弯矩；截面在研究对象右端时，以逆时针为正，物体的轴线发生弯曲后是向上凹的。
图4.3中的内力指向都是沿正向假设的，若求出的结果为负，则表示内力与假设指向相反。
如果作用在物体上的外力都在同一直线上，则如图4.3（b）,截面上的内力只有轴力FN。
若取物体右端B部分作为研究对象，截面C在研究对象的左端，其上内力与取A部分研究时的截面内力互为作用力和反作用力，大小相等，指向相反。
内力正负号的规定，列在表4-1中。
用二个相邻截面截取一微段，微段二端面上均有内力。
通常规定使微段受拉的轴力FN为正；使微段发生顺时针剪切错动的剪力FQ为正；使微段弯曲变形后轴线向上凹的弯矩M为正。
这样规定可保证研究者无论截取左端还是右端作为研究对象，所得到的内力都有相同大小和正负。
表4-1截面内力的正向规定
内力
右截面正向
左截面正向
微段变形（内力正向）
轴力FN
微段伸长
剪力FQ
微段顺时针错动
弯矩M
微段弯曲向上凹
截面法是用假想截面将物体截开，揭示并确定截面上内力的方法。
一般包括截取研究对象，绘出作用于其上的外力和截面内力（按正向假设），由平衡方程求解内力等步骤。
必须注意，因为所讨论的是变形体，在截取研究对象之前，力和力偶都不可以像讨论刚体时那样随意移动。
例4.2求图4.4所示杆中各截面的内力。
解：
在AB段任一截面截开，取左段研究，受力如图4.4（a）所示，由平衡方程∑Fx=0有：
FN1=5kN
对于BC段任一截面，受力如图4.4（b），有：
FN2=5kN-2kN=3kN
同理，对于CD段任一截面，受力如图4.4（c），有：
FN3=5kN-2kN-8kN=-5kN（压力）
依据上述结果，可画出轴力随截面位置变化的图，如图4.4（d）所示。
这是杆各截面的内力图，内力是轴力FN，故称为轴力图。
由上述分析可知，截面内力需分段描述。
描述各段中截面内力随截面位置变化的图，称为内力图。
例4.3求图4.5所示构件中1、2、3截面的内力。
解：
1）求约束力。
整体受力如图4.5（a）所示，有平衡方程：
∑MA（F）=2aFBx-Fa=0
∑Fx=FAx+FBx=0
∑Fy=FAy-F=0
解得：
FBx=F/2；FAy=F；FAx=-F/2。
再研究铰链C，注意CD、AC为二力杆，受力如图4.5（b）所示，有：
∑Fy=FACcos45︒-F=0
∑Fx=FACsin45︒-FCD=0
解得：
FAC=
F;FCD=-F。
2）求各截面内力。
截面1：
沿截面1将CD杆截开，取右段研究，受力如图4.5（c）所示，有：
FN1=FCD=-F。
（轴向压力）
截面2：
沿截面2将AC杆截开，取左段研究，受力如图4.5（d）所示，图中所有内力均按正向假设。
设截面距B为x2，列平衡方程，可求得：
轴力FN2=FAC∙cos45︒=F（拉力）
剪力FQ2=FAC∙sin45︒=F
弯矩M2=FAC∙sin45︒∙x2=F∙x2（矩心取在截面形心处，方程中内力只有M）
截面3：
沿截面3将AB杆截开，取下部研究，受力如图4.4（e），列平衡方程，可求得：
轴力FN3=0
剪力FQ3=-FBx=-F/2
弯矩M3=-FBx∙x3=-F∙x3/2
注意，截面2、3上的弯矩是与截面位置有关的。
例4.4图4.6中直角支架ABC在A端固定，C处受力F作用，F在平行于xy的平面内。
试求距A端为x处截面1上的内力。
解：
沿x截面将支架截开，取右边部分研究，如此可不必求A端各约束力。
截面内力的六个分量如图。
力系为空间力系，平衡方程为：
∑Fx=Fx-F1x=0
F1x=F1x=4F/5
∑Fy=Fy+F1y=0
F1y=-Fy=-3F/5
∑Fz=F1z=0
F1z=0
∑Mx（F）=M1x-Fyb=0
M1x=Fyb=3Fb/5
∑My（F）=M1y-Fxb=0
M1y=Fxb=4Fb/5
∑My（F）=M1z+Fy（a-x）=0
M1z=-3F（a-x）/5
由上述内力分析可见，作用在支架AB段上的内力有轴力FN=F1x；剪力FQ=F1y，力偶矩M1x使AB段发生绕x轴的扭转，称为扭矩；力偶M1y使AB段发生在xz平面内的弯曲，M1z使AB段发生在xy平面内的弯曲，M1y、M1z分别称为在xz平面内或在xy平面内的弯矩。
弯矩M1z还是沿截面x的位置而变化的，在支承处（x=0），弯矩M1z的值最大。
§4.4杆件的基本变形
若构件在某一方向的尺寸远大于其它二方向的尺寸，则统称为杆件。
若杆件的轴线为直线，则称为直杆。
本书中讨论的杆，若非特别说明，均指直杆。
这是一种最简单的构件。
构件在力的作用下所发生的几何尺寸或形状的改变，称为变形。
对于杆件而言，截面内力的最一般情况是六个分量都不为零。
由例4.4可见，图中AB段杆上有轴力FN=F1x，故杆将发生沿x轴的伸长或缩短；有扭矩M1x作用，杆将发生绕x轴的扭转；有弯矩M1y、M1z作用，使杆AB分别发生在xy平面、xz平面内的弯曲。
因此，杆AB的可能变形是十分复杂的。
对于任何复杂的问题，总可以从简单情况入手。
于是，我们可以将杆的基本变形分为三类，即拉伸和压缩、扭转、弯曲，如图4.7所示。
轴向拉伸和压缩——作用于杆的外力都沿杆的轴线，内力为轴力。
工程中常见的有拉杆、撑杆、顶杆、活塞杆、钢缆、柱等等。
扭转——作用于杆的外载荷是在垂直于杆轴线的各平面内的力偶，内力称为扭矩。
工程中承受扭转的杆通常为圆截面，称之为轴。
如各种传动轴、车轮轴、车辆转向轴等。
弯曲——作用于杆的外载荷是与轴线在同一平面内的力偶，内力为弯矩。
承受弯曲的杆，通常称为梁。
例如桥梁、房梁、地板梁等等。
例4.4中AB段杆上还有剪力FQ=F1y，FQ将使杆发生垂直于x轴的剪切错动。
这种变形情况较复杂且局部效应明显，不列入基本变形。
本章先讨论轴向拉压杆的最简单问题，并由此进一步探讨变形体静力学的一般分析方法。
其它各种基本变形和复杂组合变形情况下的力学分析，将在后续章节中陆续讨论。
§4.5、杆的轴向拉伸和压缩
考虑图4.8（a）所示杆件受拉的情况。
杆1、杆2、杆3的横截面面积分别为A1、A2、A3，长度分别为L1、L2、L3，且A1=A2L2=L3。
在轴向载荷F的作用下，杆将发生伸长。
进行拉伸试验，测量并记录所施加的载荷F与杆的伸长量∆L，可得到图4.8（b）所示之F-∆L关系。
由图4.8（b）可见，F-∆L间存在着线性关系。
事实上，在承受拉伸/压缩载荷作用的情况下，讨论轴力FN与伸长∆L间的关系要更恰当些（图4.8（b）中杆的轴力FN=F）。
轴力FN越大，杆的变形（在此是伸长）∆L越大；杆长L越大，∆L越大；杆的截面积A越大，∆L越小。
故杆的变形∆L与轴力FN成正比，与杆长L成正比，与截面面积A成反比。
即有：
（4-1）
可写为：
或
上述各式中，FN/A是单位面积上的内力，称为应力（平均应力），记作σ。
应力的量纲是力/[长度]2，在国际单位制中用帕斯卡（Pa）表示,1Pa=1N/m2。
工程中常用兆帕（MPa）,1MPa=106Pa。
∆L/L是单位长度的尺寸改变，称为应变（平均应变），记作ε。
应变是无量纲量。
从图4.8（b）可见，所给出的力与变形之关系不仅与材料相关，还与杆件几何尺寸（A、L）相关。
但若将图中的纵横坐标FN、∆L变换成FN/A（=σ）和∆L/L（=ε），则得到的σ-ε关系是一条与杆件几何无关的直线，如图4.8（c）所示。
图4.8（c）中的线性关系与杆件的几何无关，说明用σ-ε关系描述材料的力与变形之关系比用FN-∆L关系更反映问题的本质。
以后，材料的力与变形的关系（物理方程）将用应力-应变（σ-ε）关系描述，且写为
σ=Eε--（4-2）
E是图4.8（c）中σ-ε直线的斜率。
若卸载到F=0，即FN=0，σ=0；显然有ε=0，∆L=0，即卸载后杆件的变形可以完全恢复，可以恢复的变形是弹性的，故E称为材料的弹性模量。
弹性模量E的量纲与应力相同。
由于工程材料的E值通常较大，故多用GPa表示，1GPa=103MPa=109Pa。
应力-应变关系（4-2）式，反映了材料在单向载荷作用下力与变形间的线性弹性关系，称为虎克（Hooke）定律，是一种最简单的材料物理关系模型。
材料的应力-应变关系，应当由实验确定。
工程材料在弹性阶段的σ-ε关系一般都可以（或近似可以）用（4-2）式描述。
因此，承受轴向拉压的杆，其应力σ、应变ε和变形∆L可表达为：
应力：
σ=FN/A
（4-3）
应变：
ε=∆L/L
变形：
∆L=εL=σL/E=FNL/EA
由上式可见，杆的伸长与轴力FN、杆长L成正比；与材料的弹性模量E、截面积A成反比。
EA越大，杆的变形越小，EA反映了杆抵抗变形的能力。
必须指出的是：
（4-3）式所给出之杆的变形∆L=FNL/EA，是在材料的应力-应变关系由虎克定理描述的条件下得到的；材料的应力-应变关系改变后，要由∆L=εL和材料的σ-ε关系计算杆的变形。
例4.5图4.9（a）中杆CD段为钢制，截面积A1=320mm2，弹性模量E钢=210GPa；AC段为铜制，A2=800mm2，E铜=100GPa；长l=400mm，求各段的应力和杆的总伸长量∆l。
解：
1）求约束力。
A端为固定端，但杆上作用的外力均沿轴向，故约束力只有FA，由平衡方程得：
FA=F1+F2=48kN
2）求内力（轴力），画轴力图。
用截面法求内力的结果如图4.9（b）所示。
读者可自行校核其正确性。
下面介绍轴力图的简捷画法。
轴力图的简捷画法：
从杆左端截面开始，按拉力标出参考正向如图；A处作用的力FA与参考正向一致，轴力图向上沿正向画至FA=48kN；AB段上无外力作用，画水平线；B处作用的力F2与参考正向方向相反，轴力图向下行F2=8kN；BD段无外力作用，画水平线；D处F1与参考正向反向，轴力图继续向下行F1=40kN；回至零，图形封闭，满足平衡条件∑Fx=0。
如此得到的结果必然是与截面法一致的。
3）求各段应力。
应力等于轴力除以横截面积，轴力或横截面积改变，则需分段计算。
由（4-3）有：
σAB=FNAB/A2=48×103N/（800×10-6）m=60×106Pa=60MPa
σBC=FNBC/A2=40×103N/（800×10-6）m=50×106Pa=50MPa
σCD=FNCD/A1=40×103N/（320×10-6）m=125×106Pa=60MPa
4）求各段伸长量及杆的变形。
由式（4-3）第三式有：
同样要注意，在轴力、横截面积或材料的弹性模量改变处，需分段计算变形。
杆的总伸长等于各段变形的代数和，即：
∆lAD=∆lAB+∆lBC+∆lCD=（0.24+0.2+0.24）mm=0.68mm
例4.6图4.10所示横截面面积为A的等直杆，单位体积重量为γ，求杆在自重作用下的内力、应力、应变和总伸长。
解：
1）求轴力，画轴力图。
考虑任一距O点为x的横截面上的内力，截取下部为研究对象，受力如图。
作用在此段上的重力为G,由平衡方程得轴力为：
FN=G=γAx
轴力图如图4.10（c），杆根部A截面处FN=γAL为最大。
2）求应力、应变。
离自由端O处为x的横截面上的应力、应变为：
σx=FN/A=γx
εx=σx/E=γx/E
3）求总伸长。
注意到轴力FN是x的函数，取距O为x处长为dx的一微段，其伸长为：
d∆L=εxdx=γxdx/E
总伸长则为：
§4.6一点的应力和应变
前节结合杆的拉伸与压缩的研究，引入了平均应力、平均应变的概念，本节将对一点的应力和应变进行进一步的讨论。
4.6.1应力
截面上处处都有内力存在，截面内力实际上是连续分布在整个截面上的分布力系，用截面法确定的内力是截面内力的合力。
为了考察截面上的内力分布情况或某一点O处的内力，可在截面上围绕O点取一微小面积∆A，若作用在微小面积上的内力为∆F，则定义
（4-4）
T是O处内力的集度，称为该点的应力。
应力T是矢量，T的方向与∆F的方向一致；其在截面法向的分量σ，称为正应力或法向应力；沿截面切向的分量τ，称为剪应力或切应力，如图4.11所示。
对于等截面轴向拉压杆，实验可以证明正应力σ在横截面上是均匀分布的。
如图4.12（a）所示，横截面上任一点的应力均为σ，作用在横截面上任一面积微元dA上的内力为σdA，整个横截面上内力的合力应等于轴力FN，故有：
（
σ=const.）
即σ=FN/A
一般情况下，内力在横截面上并非均匀分布，截面上各点的应力是不同的。
只有轴向拉压时，在杆横截面上应力均匀分布的最简单情况下，横截面上的正应力σ才能用平均应力（FN/A）来描述。
由（4-4）式显然可知，一点的应力是与过该点之截面的取向有关的。
因此，一点的应力状态需要用围绕该点截取的一个微小单元体上各面上的应力来描述。
如讨论图4.12（a）中杆内任一点A的应力状态时，可围绕A点截取的一个微小的单元体研究。
由二对相邻的横截面和水平截面截取的x和y方向尺寸分别为dx和dy、厚度为1的单元体如图4.12（b）所示。
其左右二面（横截面）上有正应力σ；上下二面与前后二面上内力为零，故应力为零。
这是最简单的单向应力状态。
只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力，如图4.12（b），即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。
如图4.12（c）所示，设单向拉压杆中，A点在法线与杆轴线夹角为α之截面上的应力为σα、τα。
因为整个杆处于平衡状态，则图4.12（c）所截取之部分单元体亦应处于平衡状态。
故由力的平衡条件可得：
∑Fx=σα（dx/sinα）×1×cosα+τα（dx/sinα）×1×sinα-σ（ctgαdx）×1=0
∑Fy=σα（dx/sinα）×1×sinα-τα（dx/sinα）×1×cosα=0
特别要注意的是，平衡方程是力的平衡方程，式中各项应当是力（不而是应力）在坐标轴上的投影分量，如横截面和斜截面上法向内力在x轴上的投影计算分别如图4.13所示。
解上述方程组，可求得：
---（4-5）
上式表明，轴向拉压杆中斜截面上有正应力和剪应力。
在横截面（α=0）上正应力最大，σmax=σ；在α=45︒的斜截面上，剪应力最大，且有τmax=σ/2，此斜截面上还有正应力σ=σ/2。
综上所述，可知：
1）应力是矢量。
2）一点的应力与过该点的截面取向有关。
3）可以用微小单元体各面上的应力描述一点的应力状态；只要确定了一种单元体取向时各微面上的应力，即可求得该点在其他任意取向之截面上的应力。
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