四边形教案经典.docx
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四边形教案经典
四边形知识点总结
四边形以及由它衍生出来的平行四边形、矩形、菱形、正方形与梯形
一、知识总结与梳理
（一）四边形的“全家福”
（二）知识要点
1、平行四边形
（1）平行四边形的定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
（2）平行四边形的性质
平行四边形的邻角互补，对角相等；平行四边形的对边平行且相等；
平行四边形的对角线互相平分；平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心；
若一条直线过平行四边形两对角线的交点，则这直线被一组对边截下的线段以对角线的交点为中点，且这条直线二等分平行四边形的面积；两平行线间的距离处处相等．
（3）平行四边形的判定方法
定义：
两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
判定方法1：
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
判定方法2：
两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
判定方法3：
对角线互相平分的四边形是平行四边形；
判定方法4：
一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
2、矩形
（1）矩形的定义：
有一个内角是直角的平行四边形是矩形．
（2）矩形的性质：
具有平行四边形的一切性质；
矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等；
矩形是轴对称图形；又是中心对称图形，还是旋转对称图形；
（3）、矩形的判定方法
定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形；
判定方法1：
有三个角是直角的四边形是矩形；判定方法2：
对角线相等的平行四边形是矩形．
3、菱形
（1）菱形的定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
（2）菱形的性质：
具有平行四边形的一切特征；菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形是轴对称图形．
（3）菱形的判定方法
定义：
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形；判定方法1：
四条边都相等的四边形是菱形判定方法2：
对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
4、正方形
（1）正方形定义有一组邻边相等并且有一个角的平行四边形叫做正方形；正方形既是有一组邻边相等的矩形，又是有一个角是直角的菱形；既是矩形又是菱形的四边形是正方形．
（2）正方形的性质正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切特征．
边——四边相等、邻边垂直、对边平行；角——四角都是直角；对角线——①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；是轴对称图形，有4条对称轴．
（3）正方形的判定方法：
①根据定义；②一组邻边相等的矩形是正方形；③一个角是直角的菱形是正方形．
5、梯形
（1）梯形的定义；
（2）梯形的性质及其判定；
梯形是特殊的四边形所具有四边形所具有的一切性质，此外它的上下两底平行．一组对边平行且另一组对边不平行的四边形是梯形，但要判断另一组对边不平行比较困难，一般用一组对边平行且不相等的四边形是梯形来判断．
（3）等腰梯形的性质和判定：
①性质：
等腰梯形在同一底边上的两个内角相等，两腰相等，两底平行，两对角线相等，是轴对称图形，只有一条对称轴（底的中垂线就是它的对称轴）．
②判定方法：
两腰相等的梯形是等腰梯形；同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；对角线相等的梯形是等腰梯形．
（4）直角梯形：
有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．
（5）解决梯形问题的常用方法（如下图所示）：
①“作高”：
使两腰在两个直角三角形中．②“移对角线”：
使两条对角线在同一个三角形中．
③“廷腰”：
构造具有公共角的两个三角形．④“等积变形”：
连接梯形上底一端点和另一腰中点，并延长交下底的延长线于一点，构成三角形．
综上，解决梯形问题的基本思路：
梯形问题
三角形或平行四边形问题，
这种思路常通过平移或旋转来实现．
6、多边形的内外角和与外角和：
n边形内角和等于（n－2）·180°；任意多边形的外角和都等于360°．
7、平面图形的密铺：
对于正多边形来说，只有正三角形、正方形和正六边形可以密铺．一般三角形、一般四边形有的也可以密铺．
8、中心对称图形：
如果一个图形绕着它的中心点旋转180°后能与原图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个中心点叫做对称中心，图形上对称点的连线被对称中心平分；中心对称图形是旋转角度为180°的旋转对称图形．
边
角
对角线
对称性
平行四边形
对边平行且相等
对角相等
两条对角线互相平分
轴对称
矩形
对边平行且相等
四个角都是直角
两条对角线互相平分且相等
轴对称
中心对称
菱形
对边平行
四边都相等
对角相等
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
正方形
对边平行四边相等
四个角都是直角
两条对角线互相垂直平分，每条对角线平分一组对角
轴对称
中心对称
等腰梯形
两底平行
两腰相等
同一底上的
两个角相等
两条对角线相等
轴对称
四、主要思想方法小结
1、转化思想（又叫化归思想）
转化思想就是将复杂的问题转化为简单的问题，或将陌生的问题转化为熟悉的问题来处理的一种思想，本章应用化归思想的内容主要有两个方面：
（1）四边形问题转化为三角形问题来处理．
（2）梯形问题转化为三角形和平行四边形来处理．
2、代数法（计算法）
代数法是用代数知识来解决几何问题的方法，也就是说运用几何定理、法则，通过列方程、方程组或不等式及解方程、方程组、恒等变形等代数方法，把几何问题转化成代数问题来解决的方法．
3、变换思想：
即运用平移变换、旋转变换、对称变换等方法来构造图形解决几何问题．
五、应注意的几个问题
1、不能把判定方法与性质混淆，应加深对判定方法中条件的理解，重视判定方法中的基本图形，不要用性质代替了判别．解题时不能想当然，更不要忽视重要步骤．
2、在判别一个四边形是正方形时，容易忽视某个条件，致使判断失误，要避免这种错误的产生就必须认真熟记正方形的定义、特征和识别方法，认真区别各个特征、识别方法的条件，不要忽略隐含条件，避免错误的产生．
3、判别一个四边形是等腰梯形时，不要忽略了先判别四边形是梯形，对梯形的概念、性质、判定认识要清．
4、纵横对比，分清各种四边形的从属关系，抓住其概念的内涵．
5、复习时，依然从边、角、对角线、对称性等角度来理解和应用平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质和判定方法，注意对问题的观察、分析与总结．
典型例题解析
例1如图，已知平行四边形ABCD，AE平分∠DAB交
DC于E，BF平分∠ABC交DC于F，DC=6cm，AD=2cm，求
DE、EF、FC的长．
点评：
如果已知图形是平行四边形，首先根据平行四边形的定义得出四边形的对边平行，再由平行四边形的特征——对边平行且相等，得出角之间的相等关系；若有角平分线，就可构造等腰三角形，由此沟通边与角之间的相等关系，这种方法在以后的解题中经常用到，请同学门注意．
例2如图，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝5，AB＝7，BC＝12，求∠B的度数．
点评：
在梯形中，若已知有关腰的条件，一般平移一腰，产生三角形和平行四边形，使分散的条件集中起来，为解决问题创造条件，这是梯形中作辅助线的常用方法．
例3如右图，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=4cm，点P从A开始沿折线A—B—C—D以4cm/s的速度运动，点Q从C开始沿CD边1cm/s的速度移动，如果点P、Q分别从A、C同时出发，当其中一点到达点D时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），t为何值时，四边形APQD也为矩形？
例4已知梯形ABCD，如图所示，其中AB∥CD，现要求添加一个条件．例如AD＝BC，使梯形ABCD是等腰梯形，那么除了AD＝BC外，还可添加一个什么条件，能使梯形ABCD是等腰梯形？
甲、乙、丙、丁四名同学分别添加了一个条件．
甲：
∠A＝∠B；乙：
∠B＋∠D＝180°；丙∠A＝∠D；丁：
梯形是轴对称图形．
你认为哪些同学的条件符合要求？
理由是．
你能另外添加一个其他的条件，使梯形ABCD是等腰梯形吗？
点评：
本题的关键是把握等腰梯形的判定方法，可先假设ABCD是等腰梯形，然后分析其中有哪些结论，从中选一个添加条件，即可使ABCD成为等腰梯形．
例5阅读下面操作过程，回答后面的问题：
在一次数学实践探究活动中，小强过A，C两点画直线AC把平行四边形ABCD分割成两个部分（如图
（1）），小刚过AB，CD的中点画直线EF，把平行四边形ABCD也分割成两个部分（如图
（2））．
（1）这两种分割方法中面积之间的关系为：
S1______S2，S3________S4；
（2）根据这两位同学的分割方法，你认为把平行四边形分割成满足以上面积关系的直线有_____条，请在图（3）的平行四边形中画出一种；
（3）由上述实验操作过程，你发现了什么规律？
例6已知多边形的内角和为其外角和的5倍，求这个多边形的边数
例7如图，在梯形
中，
，
，
，
，
，求
的长．
例8已知，如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=60°，∠C=30°，AD=2，BC=8.
求梯形两腰AB、CD的长.
例9如图，在四边形
中，点
是线段
上的任意一点（
与
不重合），
分别是
的中点．
（1）证明四边形
是平行四边形；
（2）在
（1）的条件下，若
，且
，证明平行四边形
是正方形．
课堂练习
多边形与平面图形的镶嵌
1.四边形的内角和等于__________．
2.一个正多边形的每一个外角都等于72°,则这个多边形的边数是_________.
3.只用下列图形不能镶嵌的是（）
A．三角形B．四边形C．正五边形D．正六边形
4.若n边形每个内角都等于150°，那么这个n边形是（）
A．九边形B．十边形C．十一边形D．十二边形
平行四边形
1．平行四边形ABCD的周长是18，三角形ABC的周长是14，则对角线AC的长是.
2．如图，在平行四边形
ABCD中，DB＝DC，
∠Ｃ＝70°，AE⊥BD于E，则∠DAE＝ 度．
3．下列条件中，能判定四边形是平行四边形的是（）
A.一组对边相等B.对角线互相平分
C.一组对角相等D.对角线互相垂直
4.□ABCD中，∠A比∠B大20°,则∠C的度数为___.
5.如图，在□ABCD中，点E、F在对角线AC上，且AE=CF,请你以F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新线段,猜想并证明它和图中已有的某一线段相等.（只需证明一组线段相等即可）
（1）连结_________,
（2）猜想______＝________.
﹡6．如图，已知：
ABCD中，
的平分线
交边
于
，
的平分线
交
于
，交
于
．求证：
．
矩形、菱形、正方形
1.下列命题中，真命题是（）
A．两条对角线垂直的四边形是菱形B．对角线垂直且相等的四边形是正方形
C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形
2.平行四边形ABCD中，AC，BD是两条对角线，如果添加一个条件，即可推出平行四边形ABCD是矩形，那么这个条件是（）
A．AB＝BCB.AC＝BDC.AC⊥BDD.AB⊥BD
3.如图，把矩形
沿
对折后使两部分重合，若
，
则
=（）
A．110°B．115°C．120°D．130°
4．如图，菱形ABCD中，BE⊥AD，BF⊥CD，E、F为垂足，AE=ED，求∠EBF的度数.
5．如图，四边形ABCD是矩形，E是AB上一点，且DE=AB，
过C作CF⊥DE，垂足为F.
（1）猜想：
AD与CF的大小关系；
（2）请证明上面的结论.
6.已知：
如图，D是⊿ABC的边BC的中点，DE⊥AC、DF⊥AB，垂足分别是E、F，且BF＝CE，求证：
（１）⊿ABC是等腰三角形
（２）当∠Ａ＝90°时，判断四边形AFDE是怎样的四边形，证明你的判断结论.
﹡7.如图，在△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的角平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F．
（1）求证：
EO=FO；
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并证明你的结论．
梯形
1．下列结论正确的是（）
A．四边形可以分成平行四边形和梯形两类
B．梯形可分为直角梯形和等腰梯形两类
C．平行四边形是梯形的特殊形式
D．直角梯形和等腰梯形都是梯形的特殊形式
2．一梯形是上底为4cm，过上底的一顶点，作-直线平行于一腰，并与下底相交组成一个三角形，若三角形的周长为12cm，则梯形的周长是________．
3．四边形ABCD中，若∠A︰∠B︰∠C︰∠D＝2︰2︰1︰3，那么这个四边形
是（）
A．梯形B．等腰梯形C．直角梯形D．任意四边形
4．如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD，AC，BD相交于O点，
∠BCD=60°，则下列说法正确的是（）
A．梯形ABCD是轴对称图形B．BC=2AD
C．梯形ABCD是中心对称图形D．AC平分∠DCB
5.如图所示，在梯形ABCD中，上底AD＝1cm，下底BC＝4cm，对角线BD⊥AC，且BD＝3cm，
AC＝4cm．求梯形ABCD的面积．
﹡6．在梯形ABCD中，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD中点．求证：
CE⊥BE．
课后练习
1．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E为BC上一点，
DE∥AB，AD的长为1，BC的长为2，则CE的长为________．
2.已知菱形的两对角线长分别为6cm和8cm，则菱形的面积为cm2．
3．□ABCD中,AB:
BC＝1:
2，周长为24cm,则AB＝_____cm,AD＝_____cm．
4．平行四边形ABCD中，∠A:
∠B:
∠C:
∠D的值可以是（）
A．1:
2:
3:
4B.3:
4:
4:
3
C.3:
3:
4:
4D.3:
4:
3:
4
5．在平行四边形
中，
，那么下列各式中，不能成立的是（）
A．
B．
C．
D．
6.如图，沿虚线
将
ABCD剪开，则得到的四边形
是
（）
A．梯形B．平行四边形
C．矩形D．菱形
7．若一个多边形的内角和等于
，则这个多边形的边数是（）
A．5B．6C．7D．8
8.一个多边形内角和是
，则这个多边形是（）
A．六边形B．七边形C．八边形D．九边形
9．已知：
如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．
求证：
（1）△BFC≌△DFC；
（2）AD=DE．
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