行列式的计算技巧总结.docx
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行列式的计算技巧总结
行列式的若干计算技巧与方法
摘要1
关键字1
1.行列式的概念及性质2
1.1n阶行列式的定义2
1.2行列式的性质2
2.行列式计算的几种常见技巧和方法4
2.1定义法4
2.2利用行列式的性质5
2.3降阶法7
2.4升阶法（加边法）9
2.5数学归纳法11
2.6递推法12
3.行列式计算的几种特殊技巧和方法14
3.1拆行（列）法14
3.2构造法17
3.3特征值法18
4.几类特殊行列式的计算技巧和方法19
4.1三角形行列式19
4.2“爪”字型行列式19
4.3“么”字型行列式21
4.4“两线”型行列式22
4.5“三对角”型行列式23
4.6范德蒙德行列式25
5.行列式的计算方法的综合运用26
5.1降阶法和递推法27
5.2逐行相加减和套用范德蒙德行列式27
5.3构造法和套用范德蒙德行列式28
小结29
参考文献30
学习体会与建议31
摘要：
行列式是高等代数的一个基本概念，求解行列式是在高等代数的学习
中遇到的基本问题，每一种复杂的高阶行列式都有其独特的求解方法•本文主要介绍了求行列式值的一些常用方法和一些特殊的行列式的求值方法.如：
化三角形法、降阶法和数学归纳法等多种计算方法以及Vandermonde行列式、“两线型”
行列式和“爪”字型行列式等多种特殊行列式.并对相应例题进行了分析和归纳，
总结了与每种方法相适应的行列式的特征.
关键词：
行列式计算方法
1.行列式的概念及性质
1.1n阶行列式的定义
我们知道，二、三阶行列式的定义如下:
aii
ai2
a22
=a“a22
a12a21,
a11
a12
a13
a21
a22
a23
a31
a32
a33
a21
a11a22a33a12a23a31a13a21a32
a11a23a32a12a21a33a13a22a31-
从二、三阶行列式的内在规律引出
n阶行列式的定义.
设有n2个数，排成n行n列的数表
a11
a21
an1
a12
a22
an2
a1n
a2n
ann
即n阶行列式.这个行列式等于所有取自不同行不同列的n个元素的
乘积
的代数和，这里jij2
则带有符号：
当jij2
jn是1,2,,n的一个排列，每一项⑴都按下列规
jn是偶排列时，⑴带正号；当jij2jn是奇排列
时，⑴带负号.
ai1ai2
a21a22
a1n
a2n
ann
1
j1j2jn
j』jn
a1j1a2j2
anjn
即
这里表示对所有n级排列求和.
J1J2Jn
1.2行列式的性质
性质2
一个数乘行列式的一行
（或列），等于用这个数乘此行列
性质1行列互换，
行列式不变.
即
a11
a12
a1n
a11
a21
an1
a21
a22
a2n
a12
a22
an2
an1
an2
ann
a1n
a2n
ann
an
a12
a1n
a11
a12
a1n
kai1
kai2
kain
k
ai1
ai2
ain
an1
an2
ann
an1
an2
ann
性质3如果行列式的某一行（或列）是两组数的和，那么该行列
式就等于两个行列式的和，且这两个行列式除去该行（或列）以外的
各行（或列）全与原来行列式的对应的行（或列）一样.即
a11
M
bc
M
an1
ai2K
ain
b2C2Kbncn
an2K
ann
a11
ai2
K
ain
M
M
M
M
3
b2
K
bn
M
M
M
M
an1
an2
K
ann
ai1
ai2
K
ain
M
M
M
M
Ci
C2
K
Cn
M
M
M
M
ani
an2
K
ann
性质
4如果行列式中有两行
（或列）
对应元素相同或成比例，那
么行列式为零.即
al1
ai2
ain
aii
ai2
ain
ai1
ai2
ain
aii
ai2
ain
k
kai1
kai2
kain
aii
ai2
ain
ani
an2
ann
ani
an2
ann
=0.
性质5把一行的倍数加到另一行，行列式不变.即
aii
ai2
ai1cak1
ai2Cak2
ak1
ak2
ani
3n2
ain
aii
ai2
ain
ainCakn
aii
ai2
ain
akn
aki
ak2
akn
ann
ani
an2
ann
性质6对换行列式中两行的位置，行列式反号•即
a11
ai2
a1n
a11
a12
a1n
ai1
ai2
ain
ak1
ak2
akn
ak1
ak2
akn
ai1
ai2
ain
an1
an2
ann
an1
an2
ann
性质7行列式一行（或列）元素全为零，则行列式为零.即
ai1ai2C’n-Iain
00000.
an1an2an,n-1ann
2、行列式的几种常见计算技巧和方法
2.1定义法
适用于任何类型行列式的计算，但当阶数较多、数字较大时，计算量大，有一定的局限性.
0
计算行列式0
0
解析：
这是一个四级行列式，在展开式中应该有424项，但由
于出现很多的零，所以不等于零的项数就大大减少.具体的说，展开
式中的项的一般形式是a2j2a3j3a4j4.显然，如果h4，那么a“0，
从而这个项就等于零•因此只须考虑ji4的项，同理只须考虑
j23,j32,j41的这些项，这就是说，行列式中不为零的项只有
ai4a23a32a41
4321
6，所以此项取正号•故
1
4321
a14a23a32a41
24.
0=
0
0
2.2利用行列式的性质
即把已知行列式通过行列式的性质化为上三角形或下三角形•该
方法适用于低阶行列式.
2.2.1化三角形法
上、下三角形行列式的形式及其值分别如下：
1a1a2
an
例2计算行列式Dn1
1a1b1a2
1a1a2
an
anbn
an
a12
a13
a1n
0
a22
a23
a2n
0
0
a33
a3n
0
0
0
ann
an
0
0
0
a21
a22
0
0
a31
a32
a33
0
a11a22ann，
311322Ann・
an1an2an3
ann
解析：
观察行列式的特点，主对角线下方的元素与第一行元素对
应相同，故用第一行的1倍加到下面各行便可使主对角线下方的元
素全部变为零•即：
化为上三角形.
解：
将该行列式第一行的
倍分别加到第2,3•••（n1）行上去,
可得
Dn1
1
0
M
0
abM
0
a2
0
M
0
K
0
O
K
an
0
M
bn
b]b2Kbi.
222连加法
这类行列式的特征是行列式某行（或列）加上其余各行（或列）
后，使该行（或列）元素均相等或出现较多零，从而简化行列式的计
算•这类计算行列式的方法称为连加法.
x1m
X2
Xn
例3计算行列式
Dn
x2m
Xn
Xi
Xi
X2
Xnm
Xn
解：
D
Xi
x2m
Xn
Xi
Xn
n
Xi
i1
X2
x2m
Xn
Xn
n
Xi
i1
X2
m
Xn
0
n
Xim.
i1
223滚动消去法
当行列式每两行的值比较接近时，可采用让邻行中的某一行减或者加上另一行的若干倍，这种方法叫滚动消去法.
例4计算行列式Dn
1
2
3
n1
n
1
2
3
n1
n
1
1
1
1
1
2
0
0
0
2
Dn
1
1
1
1
1
2
2
0
0
2
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
解：
从最后一行开始每行减去上一行,
有
12n2
2.2.4逐行相加减
对于有些行列式,
虽然前
n行的和全相同，但却为零•用连加法明
显不行，这是我们可以尝试用逐行相加减的方法.
a1
0
a1
a2
0
a2
0
0
0
0
例5计算行列式D
0
0
a3
0
0
0
0
0
an
ar
1
1
1
1
1
解：
将第一列加到第二列，新的第二列加到第三列，以此类推，得:
a100
0a20
D00a3
000
00
an0
n
1n1a1a2
an
n
1n1a1a2an.
例6解行列式Dn
00
00
00
x1
a?
a1
2.3降阶法
将高阶行列式化为低阶行列式再求解.
2.3.1按某一行（或列）展开
x10
0x1
00x
000
anan1an2
解：
按最后一行展开，得
Dna1xn1a2xn2an1xan.
2.3.2按拉普拉斯公式展开
拉普拉斯定理如下：
设在行列式D中任意选定了k1kn-1个
行.由这k行元素所组成的一切k级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式D.即
DM1A1M2A2MnAn，其中Ai是子式Mi对应的代数余子式.
即
0
Bnn
Ann
Cnn
0Bnn
Ann?
B
nn・
aaaa
b
例7解行列式Dnb
b
解：
从第三行开始，每行都减去上一行；再从第三列开始，每列都加
到第二列，得
b
Dn0
0
b
0
0
aaa
0
000
n1aa
n2
0
00
n1a
?
bn2
00
n2n1ab
2.4升阶法
就是把n阶行列式增加一行一列变成n+1阶行列式，再通过性质化简算出结果，这种计算行列式的方法叫做升阶法或加边法•升阶法的最大特点就是要找每行或每列相同的因子，那么升阶之后，就可以利用行列式的性质把绝大多数元素化为0，这样就达到简化计算的效果.
其中，添加行与列的方式一般有五种：
首行首列，首行末列，末行首列，末行末列以及一般行列的位置.
11
一110
例8解行列式D=
11
11
01
10
解：
使行列式D变成n1阶行列式，即
11
11
11
01
10
111
001
010
D
再将第一行的1倍加到其他各行，得:
1
1
1
1
1
0
D=
1
0
1
1
0
0
1
0
0
从第二列开始，每列乘以
11
00
00
10
01
1加到第一列，得:
11
00
00
10
01
（n1）11
010
001
D
000
000
n1
1n1.
2.5数学归纳法
有些行列式，可通过计算低阶行列式的值发现其规律，然后提出假设，再利用数学归纳法去证明•对于高阶行列式的证明问题，数学归纳法是常用的方法.
cos
1
0
0
0
1
2cos
1
0
0
例9计算行列式Dn
0
1
2cos
0
0
0
0
0
2cos
1
0
0
0
1
2cos
解：
用数学归纳法证明
当n1时，D1cos
当n2时，d2
猜想，Dncosn
由上可知，当n
假设当nk时,
也成立.
k1时,
将Dk
因为
Dk
cos
1
1
2cos
2cos21cos2
2时，结论成立.
结论成立.
即：
Dk
cosk.现证当n
1时，结论
Dk1
cos
1
0
1
2cos
1
0
1
2cos
1按最后一行展开,
2cos
cosk,
1?
2cos
2cos
1
1
2cos
cos
1
0
1
2cos
1
0
1
2cos
2cos
cos
1
0
1
2cos
1
0
1
2cos
DkDk1.
Dk1
cosk
1
cosk
coskcossinksin
所以
Dk1
2cos
Dk
Dk1
2cos
cosk
coskcos
sinksin
cosk
cos
sinksin
cosk
1.
这就证明了当nk1时也成立，从而由数学归纳法可知，对一切的自然数，结论都成立．
即：
Dncosn.
2.6递推法
技巧分析：
若n阶行列式D满足关系式
aDnbDn1cDn20.
则作特征方程
ax2bxc0.
1若0，则特征方程有两个不等根，则DnAx1n1Bx2n1．
2
2求出．
若0，则特征方程有重根x1x2，则DnAnBx1n1．
在①②中，A，B均为待定系数，可令n1,n
9
5
0
0
0
0
0
4
9
5
0
0
0
0
例10计算行列式Dn
0
4
9
5
0
0
0
0
0
0
0
4
9
5
0
0
0
0
0
4
9
解：
按第一列展开，得
Dn9Dn120Dn2.
即
Dn9Dn120Dn20•
作特征方程
2
x9x200.
解得
x14,x25.
则
DnA?
4n1B?
5n1.
当n1时，9AB;
当n2时，614A5B.
解得
A16,B25,
所以
Dn5n14n1.
3、行列式的几种特殊计算技巧和方法
3.1拆行（列）法
3.1.1概念及计算方法
拆行（列）法（或称分裂行列式法），就是将所给的行列式拆成两个或若干个行列式之和，然后再求行列式的值•拆行（列）法有两种情况，一是行列式中有某行（列）是两项之和，可直接利用性质拆项；二是所给行列式中行（列）没有两项之和，这时需保持行列式之值不
变，使其化为两项和.
3.1.2
例题解析
1a1
a2
0
0
0
11
a2a3
0
0
例11
计算行列式Dn
0
11
a3
0
0
0
0
0
1an
1an
0
0
0
1
1an
解：
把第一列的兀糸看成两项的和进仃拆列,
得
1a1a2
0
0
0
101a2
a3
0
0
Dn
001
1a3
0
0
000
0
1
an1
an
000
0
1
1an
a?
a?
1
a3
a3
an1
1
an
an
a?
a?
1
a3
a3
an
1
an
an
上面第一个行列式的值为
1,
所以
Dn1a1
1a?
1
a3
a3
an
1
an
an
1a1Dn1.
这个式子在对于任何n
都成立,
因此有
Dn1
a1Dn
a11
a2Dn2
n1
1da?
an
ii
1aj.
3.2构造法
3.2.1概念及计算方法
有些行列式通过直接求解比较麻烦，这时可同时构造一个容易求
解：
虽然Dn不是范德蒙德行列式，
行列式来间接求出Dn的值.
构造n1阶的范德蒙德行列式，得
但可以考虑构造n1阶的范德蒙德
解的行列式，从而求出原行列式的值.
3.2.2例题解析
1
1
1
X1
X2
Xn
2
2
2
例12求行列式Dn
X1
X2
Xn
n2
n2
n2
X1
X2
Xn
n
X1
n
X2
n
Xn
1
1
1
1
X1
X2
Xn
X
2
2
2
2
X1
X2
Xn
X
fX
n2
n2
n2
n2
X1
X2
Xn
X
n1
n1
n1
n1
X1
X2
Xn
X
n
n
n
n
X1
X2
Xn
X
A门1an
An,n1XAn1,n1X，
将fX按第n1列展开，得
fXA,n1AzniX
n1
其中，x的系数为
An,n1
nn1
1DnDn.
又根据范德蒙德行列式的结果知
fxX%
X
X2XXnXiXj
1jin
由上式可求得
Xn1的系数为
X1
X2
XnXiXj.
1jin
故有
DnX1
X2
XnXiXj.
1jin
3.3特征值法
3.3.1概念及计算方法
设1,2,n是n级矩阵A的全部特征值，则有公式
A12n.
A的行列
A可逆当且
故只要能求出矩阵A的全部特征值，那么就可以计算出式.
3.3.2例题解析
例13若1,2,n是n级矩阵A的全部特征值，证明：
仅当它的特征值全不为零.
证明：
因为A12n，则
A可逆A012n0i0i1,2n.
A可逆当且仅当它的特征值全不为零.
4、几类特殊的行列式的巧妙计算技巧和方法
4.1三角形行列式
4.1.1概念
形如
ana12
a13
31n
an
a22
a23
a2n
a21
a22
a33
a3n
a31
a32
a33
ann
an1
an2
an3
ann
这样的行列式,
形状像个三角形，故称为“三角形”行列式.
4.1.2计算方法
由行列式的定义可知,
a11
a12
a13
0
a22
a23
0
0
a33
0
0
0
an
0
0
a21
a22
0
a31
a32
a33
an1
an2
an3
a1n
a2n
a3na11a22ann,
ann
0
0
ann
&11&22ann•
4.2“爪”字型行列式
4.2.1概念
ao
b1
b2
bn
bn
b2
b1
ao
C1
a1
a1
C
C2
a2
a2
C2
Cn
an
an
Cn
形如
Cn
an
an
Cn
C2
a2
a2
C2
C1
a1
a〔C[
ao
bi
b2
bn
bn
b2
b1ao
字型行列式.
“爪”
“爪”字，故称它们为
这样的行列式，形状像个
422计算方法
利用对角线消去行列式中的“横线”或“竖线”，均可把行列式化
成“三角形”行列式.此方法可归纳为：
“爪”字对角消竖横.
4.2.3
例题解析
例14
计算行列式
a1
1
1
a2
a3
，其中ai0,i1,2,n.
分析:
这是一个典型的
“爪”
an
字型行列式，计算时可将行列式的第
i（i2,3,n.）列元素乘以
1
—后都加到第一列上，原行列式可化为三
ai
角形行列式.
Cn
an
aob1b2
C1
a1
C2
a2
C2
a2
C1
a1
Cn
ao
b1
b2
bn
bn
an
概念
形如
4.3.2计算方法
4.3
a111
1a2
a3
an
ana1
“么”
i2ai
字型行列式
i2ai
0
11
a2
a3
4.3.1
bnb2dao
anbn
a〔c〔
Cn
a?
C2
5
a2b2
C2&10
anCn
C1ao
aobb2bn
anCn
C1a〔
C2a2
a2C2
a〔g
Cnan
bnb2b1ao
样的行列式,
字,
b2b1ao
Cn
an
bn
形状像个“么”
an
Cn
a1
c
a2
C2
C2
a2
因此常称它们为“么”
C1
a1
ao
th
b2
b1
bn
字型行列式.
利用“么”字的一个撇消去另一个撇，就可以把行列式化为三角形行列式.此方法可以归纳为：
“么”字两撇相互消.
注意：
消第一撇的方向是沿着“么”的方向，从后向前，利用an消
去Cn，然后再用ani消去Cni，依次类推.
4.3.3例题解析
例15计算n1阶行列式Dni
11
1
11
11b1
bn1
bn
解：
从最后一行开始后一行加到前一行（即消去第一撇）
，得
Dn1
1
i1n
1bi
i1
1
nn1
n
?
1
12
nn3
n
12
1
i1
1
bn1bn
bn
n
1bi
i1
bi
4.4“两线”型行列式
4.4.1概念
ai
0
bi
a2
0
b
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