1994年全国高考理科试题.docx

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1994年全国高考理科试题

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　　　　　　　　　　　　94年高校招生全国数学统一考试

　　　　　　　　　　　　　　　　　　（理工农医类）

　　本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分.考试时间120分钟.

　　第Ｉ卷（选择题共65分）

一、选择题（本大题共15小题;第1—10题每小题4分,第11—15题每小题5分,共65分.在每小题给出的四个

　　选项中,只有一项是符合题目要求的）

　1.设全集Ｉ=｛0,1,2,3,4｝,集合A=｛0,1,2,3｝,集合B=｛2,3,4｝,则

　　A.｛0｝　　　B.｛0,1｝　　　C.｛0,1,4｝　　　D.｛0,1,2,3,4｝

　2.如果方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是

　　A.（0,+∞）　　B.（0,2）　　　　C.（1,+∞）　　　　D.（0,1）

　3.极坐标方程ρ=cos（π/4-θ）所表示的曲线是

　　A.双曲线　　　　B.椭圆　　　　　C.抛物线　　　　　　D.圆

　4.设θ是第二象限的角,则必有

　　A.tg（θ/2）＞ctg（θ/2）　　　　　　　B.tg（θ/2）＜ctg（θ/2）

　　C.sin（θ/2）＞cos（θ/2）　　　　　　　D.sin（θ/2）＜cos（θ/2）

　5.某种细菌在培养过程中,每20分钟分裂一次（一个分裂为两个）.经过3个小时,这种细菌由1个可繁殖

　　成

　　A.511个　　　B.512个　　　　C.1023个　　　　D.1024个

　6.在下列函数中，以π/2为周期的函数是

　　A.y=sin2x+cos4x　　　B.y=sin2xcos4x　　　C.y=sin2x+cos2x　　　D.y=sin2xcos2x

　7.已知正六棱台的上,下底面边长分别为2和4,高为2,则其体积为

　　A.32

　　　B.28

　　　　C.24

　　　　D.20

　8.设F1和F2为双曲线x2/4-y2=1的两个焦点，点P在双曲线上且满足∠F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是

　　A.1　　　　　B.

/2　　　　C.2　　　　　　D.

　9.如果复数Z满足│Z+i│+│Z-i│=2,那么│Z+i+1│最小值是

　　A.1　　　　　B.

　　　　　C.2　　　　　　D.

　10.有甲、乙、丙三项任务,甲需2人承担,乙、丙各需1人承担,从10人中选派4人承担这三项任务,不同

　　的选法共有

　　A.1260种　　　B.2025种　　　C.2520种　　　D.5040种

　11.对于直线m、n和平面α、β,α⊥β的一个充分条件是

　12.设函数f（x）=1-

（-1≤x≤0），则函数y=f-1（x）的图象是

　13.已知过球面上A、B、C三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且AB=BC=CA=2,则球面面积是

　　A.16π/9　　　　　B.8π/3　　　　　C.4π　　　　　　D.64π/9

　14.函数y=arccos（sinx）（-π/3＜x＜2π/3）的值域是

　　A.（π/6,5π/6）　　B.[0,5π/6）　　　C.（π/3,2π/3）　　D.（π/6,2π/3）

　15.定义在（-∞,+∞）上的任意函数f（x）都可以表示成一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x）之和.如果

　　f（x）=lg（10x+1）,x∈（-∞,+∞）,那么

　　第Ⅱ卷（非选择题共85分）

二、填空题（本大题共5小题,共6个空格:

每空格4分,共24分.把答案填在题中横线上）

　16.在（3-x）7的展开式中,x5的系数是____（用数作答）.

　17.抛物线y2=8-4x的准线方程是____，圆心在该抛物线的顶点且与其准线相切的圆的方程是____.

　18.已知sinθ+cosθ=1/5,θ∈（0,π）,则ctgθ的值是____.

　19.设圆锥底面圆周上两点A、B间的距离为2，圆锥顶点到直线AB的距离为

，AB和圆锥的轴的距离

　　为1,则该圆锥的体积为____.

　20.在测量某物理量的过程中,因仪器和观察的误差,使得n次测量分别得到a1,a2,…,an,共n个数据.我

　　们规定所测量的“最佳近似值”a是这样一个量：

与其他近似值比较,a与各数据的差的平方和最小.

　　依此规定,从a1,a2,…,an推出的a=____.

三、解答题（本大题共5小题,共61分;解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）

　21.（本小题满分11分）

　　已知z=1+i

（1）设

求ω的三角形式；

（2）如果

求实数a,b的值.

　22.（本小题满分12分）

　　以知函数f（x）=tgx,x∈（0,π/2）,若x1,x2∈（0,π/2）,且x1≠x2,

　　证明：

[f（x1）+f（x2）]/2＞f[（x1+x2）/2]

　23.（本小题满分12分）

　　如图,已知A1B1C1-ABC是正三棱柱,D是AC中点.

（1）证明AB1∥平面DBC1；

（2）假设AB1⊥BC1,求以BC1为棱,DBC1与CBC1为面的二面角α的度数.

　24.（本小题满分12分）

　　已知直线l过坐标原点，抛物线C顶点在原点，焦点在x轴正半轴上.若点A（-1,0）和点B（0,8）关于l的

　　对称点都在C上，求直线l和抛物线C的方程．

　25.（本小题满分14分）

　　设数列｛an｝的前n项和为Sn,并且对于所有的自然数n,an与2的等差中项等于Sn与2的等比中项.

（1）写出数列｛an｝的前3项；

（2）求数列｛an｝的通项公式（写出推证过程）；

　　（3）令

（n∈N）,求

　参考答案：

　一、选择题（本题考查基本知识和基本运算）

　　1.C　　2.D　　3.D　　4.A　　5.B

　　6.D　　7.B　　8.A　　9.A　　10.C

　　11.C　　12.B　　13.D　　14.B　　15.C

　二、填空题（本题考查基本知识和基本运算.每空格4分,共24分）

　　16.-189　　　17.x=3,（x-2）2+y2=1　　　18.-3/4

　　19.2

π/3　　　20.（a1+a2+…+an）/n

　三、解答题

　　21.本小题考查共轭复数、复数的三角形式等基础知识及运算能力。

　　解:

（1）

　　　　　　＝2i+3（1-i）-4＝-1-i

　　　　　ω的三角形式是　

（cos5π/4+isin5π/4）

（2）由z=1+i,有

　　　　由题设条件知　（a+2）-（a+b）i=1-i

　　　　根据复数相等的定义，得　a+2=1　　　　　解得　a=-1

　　　　　　　　　　　　　　　　-（a+b）=-1　　　　　　b=2

　22.本小题考查三角函数基础知识、三角函数性质及推理能力.

　　证明:

　　　　　∵x1,x2∈（0,π/2）,x1≠x2　∴2sin（x1+x2）＞0,cosx1cosx2＞0

　　　　　　且0＜cos（x1-x2）＜1,从而有

　　　　　　0＜cos（x1+x2）+cos（x1-x2）＜1+cos（x1+x2）

　　　　　　由此得　tgx1+tgx2＞2sin（x1+x2）/（1+cos（x1+x2））

　　　　　　∴（tgx1+tgx2）/2＞tg（（x1+x2）/2）

　　　　　　即[f（x1）+f（x2）]/2＞f（（x1+x2）/2）

　23.本小题考查空间线面关系,正棱柱的性质,空间想象能力和逻辑推理能力.

（1）证明:

　∵A1B1C1-ABC是正三棱柱,

　　　∴四边形B1BCC1是矩形.连结B1C,交BC1于E,则B1E=EC.连结DE.

　　　在△AB1C中,∵AD=DC,　∴DE∥AB1,

　　　∴AB1∥平面DBC1.

（2）解:

作DF⊥BC,垂足为F,则DF⊥面B1BCC1,连结EF,则EF是ED在平面B1BCC1上的射影.

　　　∵AB1⊥BC1,　由

（1）知AB1∥DE,　∴DE⊥BC1,

　　　则BC1⊥EF,　∴∠DEF是二面角α的平面角.

　　　设AC=1,则DC=1/2.　∵△ABC是正三角形,

　　　∴在Rt△DCF中,　DF=DC·sinC=

/4,CF=DC·cosC=1/4

　　　取BC中点G.　∵EB=EC,　∴EG⊥BC.

　　　在Rt△BEF中,　EF2=BF·GF,又BF=BC-FC=3/4,GF=1/4

　　　∴EF2=（3/4）·（1/4）,即EF=

/4.

　　　∴tg∠DEF=DF/EF=1　　∴∠DEF=45°.

　　　故二面角α为45°.

　24.本小题考查直线与抛物线的基本概念和性质,解析几何的基本思想方法以及综合运用知识解决问题

　　　的能力.

　　解:

依题设抛物线C的方程可写为　y2=2px（p＞0）,

　　且x轴和y轴不是所求直线,又l过原点,因而可设l的方程为

　　　y=kx（k≠0）　　①

　　设A'、B'分别是A、B关于l的对称点,因而A'A⊥l,直线A'A的方程为

　　　y=-（x+1）/k　　②

　　由①②联立解得AA'与l的交点M的坐标为（-1/（k2+1）,-k/（k2+1））

　　又M为AA'的中点,从而点A'的坐标为

　　　③

　　同理得点B'的坐标为

　　　④

　　又A'、B'均在抛物线y2=2px（p＞0）上,由③得

　　但当　k=（1-

）/2　时，由③知XA=

/5＜0,这与A'在抛物线y2=2px（p＞0）上矛盾,

　　故舍去k2=（1-

）/5

　　设k=（1+

）/2,则直线方程为y=（1+

）x/2

　　将k=（1+

）/2代入⑤，求得p=2

/5

　　所以直线方程为y=（1+

）x/2　　抛物线方程为y2=4

x/5

　25.本小题考查等差数列、等比数列、数列极限等基础知识考查逻辑推理能力和分析问题与解决问题

　　的能力.

　　解：

（1）由题意,当n=1时有（a1+2）/2=

　　S1=a1

　　　∴（a1+2）/2=

　解得：

a1=2.

　　　当n=2时有（a2+2）/2=

S2=a1+a2将a1=2代入，整理得

　　　（a2-2）2=16.　由a2＞0,解得a2=6.

　　　当n=3时有（a3+2）/2=

S3=a1+a2+a3将a1=2,a2=6代入，整理得

　　　（a3-2）2=64.　由a3＞0,解得a3=10.

　　　故该数列的前3项为2,6,10.

（2）解:

由

（1）猜想数列{an}有通项公式an=4n-2.

　　　下面用数学归纳法证明数列{an}的通项公式是　　　an=4n-2（n∈N）.

　　①当n=1时,因为4×1-2=2,又在

（1）中已求出a1=2,所以上述结论成立.

　　②假设n=k时结论成立,即有ak=4k-2.由题意,有　　（ak+2）/2=

　　将ak=4k-2代入上式,得2k=

解得Sk=2k2.

　　由题意,有

　　由ak+1＞0,解得:

ak+1=2+4k.所以 ak+1=2+4k=4（k+1）-2.

　　这就是说,当n=k+1时,上述结论成立.

　　根据①、②,上述结论对所有的自然数n成立.

　　（3）解:

令cn=bn-1,则

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