安徽省皖西南十校届高三上学期期末联考理数试题 Word版含答案.docx
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安徽省皖西南十校届高三上学期期末联考理数试题Word版含答案
安徽省皖西南十校2017届高三上学期期末联考
数学理试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：
本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.若集合
，集合
，则
等于（）
A．
B．
C．
D．
2.已知等差数列
中，
，且
，则
等于（）
A．-2B．-3C．0D．1
3.已知命题
，则下列叙述正确的是（）
A．
B．
C．
D．
是假命题
4.若
，则
等于（）
A．
B．
C.
D．
5.已知向量
满足
，则
与
的夹角的余弦值为（）
A．
B．
C.
D．
6.“
”是“直线
与双曲线
的左支有交点”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C.充要条件D．既不充分也不必要条件
7.我国南宋著名数学家秦九韶发现了从三角形三边求三角形面积的“三斜公式”，设
三个内角
所对的边分别为
，面积为
，则“三斜求积”公式为
.若
，则用“三斜求积”公式求得
的面积为（）
A．
B．2C.3D．
8.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）
A．6B．9C.12D．18
9.已知变量
满足约束条件
若
的最大值为2，则
的最小值为（）
A．
B．
C.
D．
10.已知函数
是偶函数，其中
，则下列关于函数
的正确描述是（）
A．
在区间
上的最小值为-1
B．
的图象可由函数
的图象先向上平移2个单位，再向右平移
个单位
C.
的图象可由函数
的图象向左平移
个单位
D．
的图象可由函数
的图象向右平移
个单位
11.已知点
是抛物线
与圆
在第一象限的公共点，且点
到抛物线
焦点
的距离等于
.若抛物线
上一动点到其准线与到点
的距离之和的最小值为
，
为坐标原点，则直线
被圆
所截得的弦长为（）
A．2B．
C.
D．
12.已知函数
，实数
满足
.若
，使得
成立，则
的最大值为（）
A．4B．
C.
D．
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知椭圆
的左右顶点分别为
，上顶点为
，若
是底角为30°的等腰三角形，则
．
14.若函数
有零点，则实数
的取值范围是．
15.已知数列
的前
项和为
，且
，则
．
16.在长方体
中，底面
是边长为
的正方形，
是
的中点.过
作
平面
与平面
交于点
，则
与平面
所成角的正切值为．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）
已知向量
.
（1）若
，求
的值；
（2）若
，求函数
的单调减区间.
18.（本小题满分12分）
已知等比数列
的前
项和为
，且
.
（1）求的值及数列的通项公式；
（2）若
，求数列
的前
项和
.
19.（本小题满分12分）
在
中，角
所对的边分别为
，且
.
（1）若
，求
；
（2）若
，
的面积为
，求
.
20.（本小题满分12分）
在四棱锥
中，
平面
，
是三角形，
与
的交点为
，又
，点
是
的中点.
（1）求证：
平面
平面
；
（2）求二面角
的余弦值.
21.（本小题满分12分）
已知右焦点为
的椭圆
过点，且椭圆
关于直线
对称的图形过坐标原点.
（1）求椭圆的
的方程；
（2）过点
作直线
与椭圆
交于
两点，线段
的中点为
，点
是椭圆
的右顶点，求直线
的斜率
的取值范围.
22.（本小题满分12分）
设函数
.
（1）若
存在最大值
，且
，求
的取值范围.
（2）当
时，试问方程
是否有实数根？
若有，求出所有实数根；若没有，请说明理由.
试卷答案
一、选择题
1.D∵
∴
.
2.B由
得
，∵
，∴
.
3.D
为：
，
；当
时，
，∴
，故
是真命题，即
是假命题.
4.A由已知得
，解得
.
5.C∵
，∴
，
则
.
6.A若直线
与双曲线
的左支有交点，则渐近线
与直线
有交点，所以
，得
，故选A.
7.A根据正弦定理：
由
得
，则由
得
，则
.
8.C该几何体的直观图如图所示，其体积为
.
9.D
表示经过可行域内一点
与点
的直线的斜率，当取直线
与
的交点
时，
取最大值2，即
，得
，则取点
时，
取最小值
.
10.C∵
，∴
，∵
为偶函数，∴
，则
，
，则将函数
的图象向左平移
个单位可得函数
的图象，故选C.
11.C∵抛物线
上一动点到其准线与到点
的距离之和的最小值为
，又
，∴
三点共线，且
是线段
的中点，∵
，∴
，则
，∴
，∵圆心
到直线
：
的距离为
，∴所求的弦长为
.
12.A
，则当
时，
；当
时，
.∴
.
，作函数
的图象如图所示，当
时，方程两根分别为-5和-1，则
的最大值为
.
二、填空题
13.
由题意得
，则
，可得离心率为
，所以
.
14.
∵当
时，
，无零点；∴当
时，
有零点，即
，解得
.
15.120由已知得
，则
是公比为2的等比数列，∵
，∴
，
∴
，解得
.
16.
连接
交于点
，连接
，∵
是正方形，
底面
，∴
平面
，则当
与
垂直时，
平面
.∵
平面
，∴
.
在矩形
中，
，则
，∵
，∴
，
则
，连接
，则
为所求线面角，∴
.
三、解答题
17.解：
（1）∵
，
，
∴
，即
，
∵
∴
.
（2）∵
，
∴
，
由
得
，
∴函数
的单调减区间为
.
18.解：
（1）∵
，
∴当
时，
，
当
时，
，
即
，
∵
是等比数列，∴
，则
，得
，
∴数列
的通项公式为
.
（2）由
（1）得
，
∴
.
19.解：
（1）由正弦定理得：
，
即
，
∴
，
∵
，∴
，则
，
∵
，∴由正弦定理得：
.
（2）∵
的面积为
，
∴
，得
，
∵
，∴
，
∴
，即
∴
，∴
.
20.
（1）证明在正三角形
中，
在
中，∵
易证
，∴
为
中点
∵点
是
的中点，∴
.
∵
面
，
，
∵
，∴
，
∵
，
，∴即
，
∵
，∴
平面
，
∴
平面
，又
平面
，∴平面
平面
.
（2）解：
分别以直线
为
轴，
轴，
轴建立空间直角坐标系，如图所示，
∴
.
由
（1）可知，
为平面
的一个法向量，
，
设平面
的一个法向量为
，
则
，即
，
令
，解得
，
则平面
的一个法向量为
，
，
由题知二面角
为锐二面角，∴二面角
余弦值为
.
21.解：
（1）∵椭圆
过点
，∴
，①
∵椭圆
关于直线
对称的图形过坐标原点，∴
，
∵
，∴
，②
由①②得
，
∴椭圆
的方程为
.
（2）依题意，直线
过点
且斜率不为零，故可设其方程为
.
由方程组
消去
，并整理得
.
设
∴
，
∴
，
∴
，∴
.
①当
时，
②当
时，
，
∵
，∴
.
∴
，∴
且
.
综合①、②可知，直线
的斜率
的取值范围是
.
22.解：
（1）
的定义域为
，
.
当
或
时，
在区间
上单调，此时函数
无最大值.
当
时，
在区间
内单调递增，在区间
内单调递减，
所以当
时，函数
有最大值.
最大值
.
因为
，所以有
，解之得
，
所以
的取值范围是
.
（2）当
时，方程可化为
，即
，
设
，则
，
∴
时，
，∴
在
上是减函数，当
时，
，
∴
在
上是增函数，
∴
.
设
，则
，
∴当
时，
，即
在
上单调递增；
当
时，
，即
在
上单调递减；
∴
，
∵
，∴数形结合可得
在区间
上恒成立，
∴方程
没有实数根.
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