实验一插值方法实验.docx
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实验一插值方法实验
实验一-插值方法实验
《计算方法》
实验报告
学院：
信息学院
专业：
计算机科学与技术
指导教师：
班级学号：
姓名：
计算机科学与工程系
实验一插值方法
一.实验目的
（1）熟悉数值插值方法的基本思想，解决某些实际插值问题，加深对数值插值方法的理解。
（2）熟悉Matlab编程环境，利用Matlab实现具体的插值算法，并进行可视化显示。
二.实验要求
用Matlab软件实现Lagrange插值、分段线性插值、三次Hermite插值、Aitken逐步插值算法，并用实例在计算机上计算和作图。
三.实验内容
1.实验题目
i
0
1
2
3
x
0.46
047
0.48
0.49
y
0.4846555
0.4937452
0.5027498
0.5116683
（1）已知概率积分
的数据表
构造适合该数据表的一次、二次和三次Lagrange插值公式，输出公式及其图形，并计算x=0.472时的积分值。
（2）将区间[-5,5]分为10等份，求作
的分段线性插值函数，输出函数表达式及其图形，并计算x=3.3152时的函数值。
（3）仿照附录C中“文件1.2逐步插值”程序（Neville算法，课本227页）编写相应的Aitken逐步插值算法的程序，根据下表所给数据分别利用上述两种算法求正弦积分
在x=0.462的值，并比较它们的结果。
x
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。
（4）Hermite插值：
Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。
3.对应程序
（1）Lagrange插值
function[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）
%X,Y是已知的差值点坐标点
%x0是插值点
%y0是Lagrange多项式在x0处的值
%N是Lagrange插值函数的权系数
m=length（X）;
N=zeros（m,1）;
y0=0;
fori=1:
m
N（i）=1;
forj=1:
m
ifj~=i
N（i）=N（i）*（x0-X（j））/（X（i）-X（j））;
end
end
y0=y0+Y（i）*N（i）;
end
（2）分段插值
symsfx;
f=1/（1+x^2）;
N=input（'请输入插值节点数N='）;
X=-5:
10/N:
5;
Y=zeros（1,length（X））;
fori=1:
（N+1）
x=X（i）;
Y（i）=eval（f）;
end
M=-5:
0.01:
5;
y=zeros（1,length（M））;
n=1;
fori=1:
N
forx=-5:
0.01:
5
ifx=X（i）
y（n）=Y（i）*（x-X（i+1））/（X（i）-X（i+1））+Y（i+1）*（x-X（i））/（X（i+1）-X（i））;
n=n+1;
end
end
end
ezplot（f,[-5,5]）
holdon
x=-5:
0.01:
5;
plot（x,y,'r'）;
（3）Neville逐步插值
functiony0=Neville_eval（X,Y,x0）
%X,Y是已知的插值点的坐标
%x0是插值点
%y0是多项式在x0处的值
m=length（X）;
P=zeros（m,1）;
P1=zeros（m,1）;
P=Y;
fori=1:
m
P1=P;
k=1;
forj=i+1:
m
k=k+1;
P（j）=P1（j-1）+（P1（j）-P1（j-1））*（x0-X（k-1））/（X（j）-X（k-1））;
end
ifabs（P（m）-P（m-1））<10^-6;
y0=P（m）;
return;
end
end
y0=P（m）;
Atiken逐步插值
functiony0=Aitken_eval（X,Y,x0）
%X,Y是已知的插值点的坐标
%x0是插值点
%y0是多项式在x0处的值
m=length（X）;
P=zeros（m,1）;
P1=zeros（m,1）;
P=Y;
fori=1:
m
P1=P;
k=1;
forj=i+1:
m
k=k+1;
P（j）=P1（j-1）+（P1（j）-P1
（1））*（x0-X（k-1））/（X（j）-X
（1））;
end
ifabs（P（m）-P（m-1））<10^-6;
y0=P（m）;
return;
end
end
y0=P（m）;
（4）Hermite插值
functiony0=Hermite_interp（X,Y,DY,x0）
%X,Y是已知插值点向量序列
%DY是插值点处的导数值
%x0是插值点横坐标
%y0是待求的分段三次Hemite插值多项式在x0处的值
%N表示向量长度
N=length（X）;
fori=1:
N
ifx0>=X（i）&x0<=X（i+1）
k=i;
break;
end
end
a1=x0-X（k+1）;
a2=x0-X（k）;
a3=X（k）-X（k+1）;
y0=（a1/a3）^2*（1-2*a2/a3）*Y（k）+（-a2/a3）^2*（1+2*a1/a3）*Y（k+1）+（a1/a3）^2*a2*DY（k）+（-a2/a3）^2*a1*DY（k+1）;
4.实验结果
列出相应的运行结果。
如果要求可视化，则同时需要给出相应的图形。
（1）Lagrange插值
一次Lagrange插值：
运行结果：
>>X=[0.46,0.47];
>>Y=[0.4846555,0.4937452];
>>x0=0.472;
>>[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）
y0=
0.49556314000000
N=
-0.20000000000000
1.20000000000000
插值系数与作图：
>>x1=0;
>>[y1,N]=Lagrange_eval（X,Y,x1）;
>>x2=1;
>>[y2,N]=Lagrange_eval（X,Y,x2）;
>>k=（y2-y1）/（x2-x1）
k=
0.90897000000001
>>x=[x1,x2];
>>y=[y1,y2];
>>plot（x,y）
二次Lagrange插值
差值结果：
>>X=[0.46,0.47,0.48];
>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498];
>>x0=0.472;
>>[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）
y0=
0.49555292800000
N=
-0.08000000000000
0.96000000000000
0.12000000000000
插值系数与作图：
>>x1=0;
>>[y1,N]=Lagrange_eval（X,Y,x1）;
>>x2=1;
>>[y2,N]=Lagrange_eval（X,Y,x2）;
>>k=（y2-y1）/（x2-x1）
k=
0.87918499999967
>>x=[x1,x2];
>>y=[y1,y2];
>>plot（x,y）
三次Lagrange插值
差值结果：
>>X=[0.46,0.47,0.48,0.49];
>>Y=[0.4846555,0.4937452,0.5027498,0.5116683]；
>>x0=0.472;
>>[y0,N]=Lagrange_1（X,Y,x0）
>>[y0,N]=Lagrange_eval（X,Y,x0）
y0=
0.49555296000000
N=
-0.04800000000000
0.86400000000000
0.21600000000000
-0.03200000000000
插值系数与作图
>>x1=0;
>>[y1,N]=Lagrange_eval（X,Y,x1）;
>>x2=1;
>>[y2,N]=Lagrange_eval（X,Y,x2）;
>>k=（y2-y1）/（x2-x1）
k=
0.83708499999011
>>x=[x1,x2];
>>y=[y1,y2];
>>plot（x,y）
（2）分段差值
差值结果：
>>Y=interp1（x,y,3.3152,'spline'）
Y=
.0834********
作图：
（原函数：
蓝色，插值函数：
红色）
>>fenduan_eval
请输入插值节点数N=6
（3）Neville逐步插值
>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];
>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];
>>x0=0.462;
>>y0=Neville_eval（X,Y,x0）
y0=
0.45655811276280
Aitken逐步插值
>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];
>>Y=[0.29850,0.39646,0.49311,0.58813,0.68122];
>>x0=0.462;
>>y0=Aitken_eval（X,Y,x0）
y0=
0.77480886915945
（4）分段三次Hermite插值
>>X=[0.3,0.4,0.5,0.6,0.7];
>>Y=log（X）;
>>DY=1./X;
>>x0=0.462;
>>y0=Hermite_interp（X,Y,DY,x0）
y0=
-0.7722
四.实验体会
通过本次课程设计，我初步掌握了MATLAB运用，了解了matlab的基本编程思想，学会了matlab的基本语法与常用操作命令，加深了对于Lagrange插值、分段线性插值、Neville逐步插值、Aitken逐步插值、Hermite插值的理解；培养了独立工作能力和创造力；更加精进了编程的能力；综合运用专业及基础知识，解决实际数学问题的能力；深入的了解和体会了计算方法—算法设计及其matlab实现的基本原理与学习思路；在本次课程设计中，在老师的精心指导下，收益匪浅。
同时对数学的研究有了更深入的认识，并对以往所掌握的数学及编程知识有了回顾及更深入的探索。
对于各种插值方法的精度分析也有了清晰的认识，并对各种插值算法有了深刻的的理解；Lagrange插值在高次插值时同原函数插值偏差大，拉格朗日插值模型简单，结构紧凑，是经典的插值法。
但是由于拉格朗日的插值多项式和每个节点都有关，当改变节点个数时，需要重新计算。
且当增大插值阶数时容易出现龙格现象。
分段线性插值是将整个区间分成许多小段，运用低次插值，从而提高精度。
分段线性插值算法简单，计算量小，但精度不高。
Neville插值的基本思想和Aitken插值一样，不同的是Neville插值每次选取的两个插值节点都是上一步相邻节点插值后得到的，而不是新的插值节点，这样得到的插值函数和原函数更加接近。
Aitken插值是对三步插值转化为两步插值的重复，先将前两个插值点插值生成新的数据，然后与第三个插值点进行新的两点插值，不断重复这个插值过程，每一步增加一个新的节点，直到遍历所有节点为止，最终获得与原函数更加接近的插值函数。
Hermite插值是Lagrange插值的综合与推广，，为了保证插值函数能更好地密合原来的函数，要求“过点”，即两者在节点上有相同的函数值，而且要求“相切”，即在节点上还具有相同的导数值。
这就保证了有较高的精度。
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