第五节数学教育学的研究方法和学习方法.docx
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第五节数学教育学的研究方法和学习方法
第五节数学教育学的研究方法和学习方法
1、数学教育学的研究方法
数学课程与教学论的研究方法是指研究数学教育现象及其规律所采用的方法，具体说是探索数学教育内部各要素之间和其它事物之间的关系以及数学教育的质和量之间的变化和规律所采用的方法。
一般的教育研究的方法，如观察法、文献法、调查法、统计法、行为研究法、比较法、分析法、实验法、经验总结法等都适用于数学教育的研究。
（注释：
穿插教材中的四个研究案例：
见后面）
但就目前的情况来看，数学教育研究方法还应注意以下几点：
（1）理论与实际的统一
数学课程与教学论是一门实践性很强的理论科学，从发展的眼光来看，应当把理论研究和实验研究更加进一步地结合起来，互相补充，互相为用，促使数学教育的研究深入发展。
数学教育在理论研究和实验研究上的脱节表现在两个方面：
一方面，过去数学教育的研究方法大都使用的是思辨的方法，即从自己的经验、或有关文献、或看到有关数学教育现象的基础上，进行独立思考，或对某一课题加以论证、或提出自己的观点或判断，基本上限于理论的阐述，与实际数学教学还有一定的距离。
另一方面，实际教学工作者所进行的数学教育缺乏理论上的进一步研究。
在数学教育的研究中，我们提倡：
实事求是，理论联系实际，一切从实际出发。
理论与实际的任何方式的割裂，都不利于数学教育的研究。
（2）局部与整体的统一
数学课程与教学论中所涉及的各个部分、各个问题都是互相依存、互相关联的。
我们研究问题只能一个个地加以解决，但是所要解决的问题是在整体之下，处在整体之下其它问题的关联之中，因此，我们研究问题必须考虑它与整体的关系，它与其它部分的关系。
局部与整体的统一，实际上就是运用系统方法。
所谓系统方法，就是把认识对象作为系统来认识的方法，它通过对系统中整体与部分之间相互联系、相互作用的研究，辩证地把分析与综合结合起来，以达到从整体上正确地认识问题或合理地解决问题。
系统方法有以下两个主要特征：
第一，系统方法强调对事物整体性研究
世界上各种对象、事件、过程都不是杂乱无章的偶然堆积，而是一个合乎规律的由各个组成部分组成的有机整体。
事物整体的性质只存在于各个组成要素相互联系这中，各个孤立的部分的总和亦不能反映整体的本质和运动规律。
第二，系统方法强调分析与综合的辩证结合
分析方法就是把整体分解为部分、方面、要素来认识的方法，综合法则是把各个部分、方面、要素联结起来作为整体认识的方法。
在系统方法中，分析与综合有机地结合起来，分析要以综合为指导，综合要以分析为基础，而沟通分析与综合的桥梁则是系统各个组成部分之间固有的联系。
数学教育研究要注意运用系统方法
（3）定性和定量的统一
任何事物都是质和量的统一体，事物质的方面和量的方面是互相联系、互相制约的。
我们认识事物，首先是认识它的性质，即进行所谓定性分析；事物不仅有质的方面，而且有量的方面，在认识事物性质的基础上，我们还必须把握它的量的方面，就是对事物的属性进行数量上的分析，即进行所谓定量分析，从而准确地判定事物的变化。
如果我们只对事物作定性分析，不作定量分析，那么我们对事物的认识可能不全面。
过去，数学教育的研究大多是定性分析，从理论到理论，而缺乏量上的进一步刻划。
这样不易把握教学，教学理论的应用也没有说服力。
我们认为，定性分析是揭示规律的开始，是定量分析的基础；定量分析是揭示数学规律的继续和深入，是定性分析的进一步精确化。
如果既进行定性分析，又进行定量分析，那么，不但能从质上把握数学教育规律，而且能从量上刻划数学教学规律。
在数学教育的研究上，定性分析和定量分析的统一是我们努力的方向。
辩证唯物论是数学教育的哲学基础。
具体地说，物质性与辩证性是数学教育的哲学基础。
物质性概括地说表现在两个方面：
其一，就是数学教育的实践性，以及数学教育研究的理论与实践的统一，数学教育是以广泛的实践经验为其背景的，教育理论要以教育实践赋予其生命力，教育思想一边要跟踪教育实践的足迹；其二，考虑数学教育必须立足于我国国情，不符合我国国情的一切思想、理论与方法是没有生命力的。
辩证性概括地说表现在三个方面：
其一，一切思想、理论和方法都是有条件的，而且是互相关联的；其二，理论与实际、局部与整体、定性分析与定量分析是辩证的。
不仅如此，还有如教与学、师与生、遗传、教育、环境、集体化教育与个别化教育等等也都是辩证统一的，只有辩证地处理它们，才会收到预期的效果；其三，数学教育是动态的，而且数学教育的思想、理论和方法也是动态的，随着时代的发展而发展。
明确物质性和辩证性，并以它们为基础去发展数学课程与教学论，将会使数学教育沿着正确的方向和道路前进。
2、数学教育学的学习方法
根据数学课程与教学论这门学科的特点，在学习本课程中应注意以下几个方面。
（1）重视理论学习
数学课程与教学论是融合多门学科的理论于一体的复合结构。
因而，掌握各学科的基本理论和基础知识是学好本课程的必要条件。
首先，必须具备坚实的数学基础知识。
数学教育既然是探讨数学的教育规律，就必然与数学知识水乳交融。
如果我们不具备必要的数学知识，那么就不可能去研究数学教学规律，也不可能从事数学教学实践。
这些必要的数学知识包括初等数学和高等数学的有关内容。
对于初等数学，要求理解基本理论，掌握解题的方法和规律，熟悉中学数学教材体系；对于高等数学，则应理解各种数学理论中的思想和方法，把握高等数学和初等数学的联系，能用较高的观点去处理初等数学问题。
只有具备了坚实的数学基础知识，才能够从自己学习数学的过程中体验学习数学的感受，以个体的经验为参照去指导教学实践，这一点是十分重要的。
其次，要比较系统地学习教育学、心理学理论。
了解教育史的各种流派、各种教学理论产生的背景、各种学习心理理论等。
更重要的是，还必须熟悉教育学、心理学的科学研究方法。
数学教育理论的研究不同于数学的研究方法，数学研究是以演绎为主，通过严格的推理去获得正确的结论，而数学教育理论的研究方法则偏重于实践，以调查、观察、比较、实验、经验总结等形式为主，与教育学、心理学的研究方法有更多的共同之处。
因此，熟悉教育学、心理科学的研究方法对数学教育理论与实践的研究是极其重要的。
此外，系统论、信息论和控制论以及计算机科学等学科的应用已经渗透进了数学教育理论，因而应当对这些学科的基本理论、观点、方法以及它们在数学教学中的应用范围和程度等都有所了解。
所以，博览群书、扩充视野、综合贯通是学好本课程的有效途径。
（2）加强实践活动
数学课程与教学论既是一门理论课，又是一门实践课，积极开展教学实践活动，是学习本课程的一向重要内容，也是学好这门课程的关键。
因此，我们将采取案例分析、教学观摩、微格教学等手段，加强实践性活动，并在活动中自觉地、有计划地运用所学的基本理论、基本观点、基本方法去解决实际问题。
在活动中，加强教学技能的训练，如教学语言、教学形态、板书等，为顺利进行教育实习奠定坚实的基础。
（3）掌握读书方法
本课程兼有文、理科教材的综合特征，读起来不象读文科教程那样流畅，但也没有纯数学课程的艰涩，因此，掌握阅读本课程的正确方法是十分必要的。
第一，精读与泛读相结合。
对书中的重要理论、方法要精读，同时泛读一些与数学教育理论相关的学科论著、文献，并作必要的读书笔记，使知识系统化。
第二，勤于思考，勇于提出问题。
由于数学教育理论具有发展性，而且对数学教育规律的认识也有多种途径，因此读书时一方面要领会已经形成的诸多教育学、心理学理论，尊重经过无数次实践经验逐步积累起来的数学教育理论。
另一方面又不要受已有结论的束缚，善于从各个侧面、不同方位去思考和探讨同一个问题，勇于提出新的观点、方法。
第三，勤于动笔，培养科学研究意识。
学习数学教育科学知识固然重要，但学习的目标不能仅限于此，还必须认识到数学教育科学研究的重要性，提倡研究数学教育科学。
因此，在学习中要勤于动笔，写感想和读书体会，养成广泛收集资料、整理资料的习惯，逐步形成对数学教育的科学研究意识，提高自己对研究论文的写作能力。
附录：
四个研究案例：
案例一通过访谈了解学生的想法
本案例选自英国CSMS（ConceptsinSecondaryMathematicsandScience，中学数学与科学中的概念）研究项目中对学生错误的一个研究片段。
该项目是由英国伦敦大学在1974－1979年主持的，其数学组在组长Hart博士的带领下就中学课程中度量、数的运算、位值与小数、分数、正负数、比与比例、代数、图像、反射与对称、向量与矩阵等课题作了非常深入细致的研究，其研究成果集中地反映在Hart博士等撰写的《孩子们的数学理解：
11－16岁》这本引用率很高的著作中。
书中记录了访谈者与一个孩子之间的这样一段对话：
问题：
10粒糖在两个男孩之间分，要求一个男孩多分得4粒，他们俩每人分得几粒？
孩子：
他们应该各得几粒？
访谈者：
是啊，如果要求一个男孩比另一个多分得4粒。
孩子：
一个拿9粒一个拿1粒。
访谈者：
这样就一个男孩比另一个多4粒了？
孩子：
是啊，因为10粒糖分给2个男孩，所以一个得9粒，一个得1粒。
访谈者：
噢，那么哪个男孩多得了4粒呢？
孩子：
（指着“9”）。
访谈者：
他是多得了4粒吗？
孩子：
是的。
访谈者：
你怎么知道他多得了4粒呢？
孩子：
因为他得了9粒而另一个得了1粒呀。
访谈者：
他这是比他多4粒吗？
孩子：
是的。
访谈者：
为什么？
孩子：
我是算出来的。
如果有10粒，除以2，得5，而一个人要多得4粒，他就得得到9粒，所以另一个人就是1粒。
访谈者：
为什么另一个人就是1粒呢？
孩子：
因为只剩下1粒了。
访谈者：
现在那个男孩比那个男孩多4粒？
孩子：
是的。
访谈者：
那个分得9粒的男孩比那个分得1粒的男孩多得4粒？
孩子：
是的。
也许在我们看来这个孩子的答案9粒和1粒太荒唐，干脆明明白白告诉他“他错了”！
然后演示给他看正确的计算应该怎么进行。
但是，访谈者没有这样做。
看得出来，访谈者并不认为这个出乎意料的答案是由于孩子粗心造成的，访谈者试图通过访谈了解孩子是怎么得出这个错误答案的，从而更加准确地了解这个孩子对于数的运算的理解水平。
分析这个案例，我们看到孩子荒唐的答案背后确实有其合理的成分：
两个人之间平分就是除以2，多4粒就是加4。
如果孩子头脑中对多4的认识比较丰富，那么就会想到平分后＋2与－2得到的两个数也相差4。
如果拿这个问题去试着问问别人，你会发现解决这个问题可以有很多种方法，比如，
（1）配成10的数对有9，1；8，2；7，3，等等，其中7，3就恰好满足要求。
（2）也可以先给甲4粒，然后轮流地给甲1粒给乙1粒，直至分完。
（3）用算术的方法可以这样计算：
（10－4）÷2。
（4）用代数的方法可以这样列方程：
x＋（x＋4）＝10，等等。
具有不同经验或思维特点的学生会给出不同的解法，所以，在我们试图纠正学生的错误或者启发学生的解题思路时，如果要想取得好的教学效果，那么最好不要用一种解题思路去束缚学生。
这个研究案例中研究者使用的是访谈法，目的是想通过访谈，比较深入地了解学生是怎样思考的，产生错误认知和差错的主要原因是什么，克服它们的有效措施是什么，等等。
通过研究，希望提炼出可供教材编写人员和教师参考的建议。
访谈法是研究数学教育心理学的学者在了解和分析学生思考过程时常用的一种方法。
案例二观察一堂以师生问答为主的课
这是一堂由中年女教师上的初二几何新授课，课题是正方形的定义和性质。
原文作者周卫根据课堂录像记录，对这节课中的教师提问作了重点分析。
教学程序是这样展开的：
1.复习提问（3’50”），提问了20个问题。
2.讲授新课（9’37”），提问了26个问题。
3.例题讲解（11’40”），提问了27个问题。
4.巩固练习（17’40”），提问了30个问题。
5.课堂小结（3’37”），提问了12个问题。
6.布置作业（6”）。
细细算来，师生问答共计占了25’37”，占整节课时间的55％，因此，这是一堂以师生问答为主的课。
根据课堂的现场观察，个别提问24人次，提问学生21人，占到全班38个学生的55％，提问对象包括了不同学业成绩的学生。
下面表1－2是对老师在本节课中各种提问行为类别频次进行的统计：
表1－2各种提问行为类别频次统计表
行为类别
百分比％
A． 提出问题的类型
1． 常规管理性问题
3
2． 记忆性问题
74
3． 推理性问题
21
4． 创造性问题
2
5． 批判性问题
0
B．挑选回答问题方式
1． 提问前，先点名
0
2． 提问后，让学生齐答
42
3． 提问后，叫举手者答
54
4． 提问后，叫未举手者答
1
5． 提问后，改问其他同学
3
C. 教师理答方式
1. 打断学生回答，或自己代答
11
2. 对学生回答不理睬，或消极批评
2
3. 重复自己问题或学生答案
13
4. 对学生回答鼓励、称赞
74
5. 鼓励学生提出问题
0
D. 学生回答的类型
1. 无回答
2
2. 机械判断是否
27
3. 认知记忆性回答
42
4. 推理性回答
17
5. 创造评价性回答
1
E．停顿
1． 提问后，没有停顿或不足3秒
87
2． 提问后，停顿过长
4
3． 提问后，适当停顿3－5秒
8
4． 学生答不出来，耐心等待几秒
1
5． 对特殊需要的学生，适当多等几秒
0
从这些数据可以看出，这节课以教师边讲边问为主，提问之频繁可谓“高密度”，但教师所提问题有以下三多：
记忆性的居多、要求迅速作答的多、要求集体回答的多。
虽然学生通过回答老师提问参与了教学，但是教师完全控制了课的进程。
教师对学生的回答经常及时鼓励和称赞，但是似乎对学生回答中错误或不足之处点评不够（原文未加统计，所以这里只能说“似乎”）。
提问后教师叫举手者回答较多，也未鼓励学生提问，所以学生中的问题可能暴露不够。
在文章的最后，原文作者提出，虽然这节课教师运用边讲边问，启发思考，集中注意，师生共同参与，取代了教师的满堂灌，但是，也反映出教师注意结论的识记，忽视对知识发生过程和思维方法探究的教学观，缺乏对学生自主精神、创新意识的尊重与关怀。
他强调要教会学生研究性学习，首先教师要学会研究性学习。
另外，他还呼吁要重视对提问技巧的研究。
原文作者可能在听课时就强烈地感觉到学生参与教学仅仅停留在表面，于是，为了有力地表明和支持自己的论点，他采取了录像带分析技术，将课堂里发生的细节用文字和数字全都反映出来，这种努力不仅应证了他的感觉，而且从这些客观而具体的数据中还引发出执教老师、原文作者以及读者的种种反思。
当然，要获得有说服力的证据，关在书房里是不行的，作者必须走进课堂，走近学生，走近老师。
注重实证的研究已经成为当今国际上教育研究中的主流形式。
案例三通过教学实验检验理论
“让学生在发现和创造数学中学数学”这是一个诱人的数学教学境界。
布鲁纳认为“发现法”具有两个效用：
一是给心灵带来愉快，二是促使能力获得迁移。
为了检验布鲁纳的这些看法，马鞍山市第十三中学冯建国老师在初一的两个平行班级的数学课中进行了两次实验。
第一次教学实验，甲班用发现法，乙班用一般方法。
第二次教学实验则轮换一下，乙班用发现法，甲班用一般方法。
两次课的内容是连续的，一前一后依次是合并同类项和去括号。
在合并同类项这节课上，乙班的教学环节是：
给出同类项的定义——举例说明并熟悉定义——给出合并同类项法则——举例说明如何应用法则——布置作业。
甲班的教学则强调激发学生的学习需要，从解决如何化简几个具体的多项式（例如5x2+2x-3x）问题入手，让学生自己发现同类项的定义和法则。
课后的第二天，在两个班进行了20分钟的测验，A组题目都是已授的习题，B组题目则是未授过的习题（迁移）。
去括号这节课的教学内容是解决括号前不带系数的去括号问题。
甲班的教学环节是：
从？
归纳得到去括号的法则，再举例应用。
乙班则以解决问题为手段，激发学生的学习动机，通过引导学生回忆、类比正负数的运算法则，猜想得到去括号法则，再加以验证、归纳。
两个班都进行了15分钟的当堂测验，测验题目仍然按相同要求分为A、B两组。
测验结果如表1－3所示：
表1－3两次教学实验的数据
项目
实验
教学方法及人数
课堂上举手要求回答的人数
A组题得分情况
B组题得分情况
两组卷面均分（各占50％）
均分
满分
人数
30分以下人数
均
分
满分人数
得分人数
第一次
甲班:
发现法55人
169
85.4
22
4
38.2
7
37
61.8
乙班:
一般方法57人
73
86.2
18
1
24.8
0
32
55.8
第二次
甲班:
一般方法55人
42
87.1
35
2
8.2
1
8
47.6
乙班:
发现法57人
69
86
36
5
10.7
2
11
48.4
根据这些数据，原文作者得出以下三个结论：
第一，布鲁纳所说的“愉快”是存在的，这从两次发现课举手要求回答的总人次为238，而两次一般课相应数据为115，以及课堂气氛等教学现象中可以看出。
第二，布鲁纳所说的“迁移”能力提高也是正确的，这从学生在完成B组题目上的表现可以看出，两次发现课中，学生在B组得到的平均分累计为48.9，而两次一般课的相应分数仅为33。
第三，发现法有利于对基础好、智力好的学生进行教学，但也容易产生全班成绩的两极分化。
比如，在A组题中，两次发现课得满分的总人数和30分以下的总人数依次是58人和9人，但相应的一般课数据则为53人和3人。
这个研究案例采用的是轮组实验法，意在控制无关变量（如教师的素质、学生的态度、能力等）带来的影响，是教学研究中常用的一种实验方法。
案例四对教师课堂教学用语的调查研究
课堂教学中语言是不可或缺的一种人际交流工具。
然而，从学校的课堂教学实践看，教师的课堂教学用语似乎还难尽人意。
教师课堂教学用语的现状究竟如何，学生最喜欢和最厌恶的教师课堂教学用语是什么，教师课堂教学用语在教师魅力诸方面中的地位如何，浙江方桥初中的张菊飞等老师就此进行了一番调查研究。
他们首先通过召开教师座谈会和在全校学生中征集教师典型课堂教学用语的途径广泛收集教师课堂教学用语。
然后他们对收集到的这些用语进行整理、归类，编制成学生问卷调查表进行调查。
在对调查问卷进行汇总、分析后，他们又召开了学生座谈会，深入了解学生对教师课堂教学用语的理解和心理感受情况。
下面是他们的调查结果：
调查表明极大多数教师在课堂教学中用语规范、得体，表现出教师崇高的师德和良好的语言基本功。
在调查表“你认为教师课堂用语中哪些话对你的帮助、鼓励最大，最有利于你进步”一栏中，学生填写了下列几类教师用语：
①表扬、肯定性的话。
如“现在你已经有了一定的进步，要继续加油”“这个问题问得有水平”“在我们班教书，我感到很满意”等；②鼓动、激励性的话。
如“老师相信你会成功”“举手不要怕，说错不要紧”“这个同学还大有潜力可挖”等；③富有哲理性的话。
如“学得踏实，玩得痛快”“老师是资源，要靠你们自己去开凿，你们要善于发问”“做事要有信心，做事还要有恒心”等；④彬彬有礼的话。
如“老师想请你回答，你愿意吗？
”“答不上来不要紧，请坐下慢慢再想”等。
但也有部分教师的教学用语存在着很大的问题。
学生在调查表“你认为教师在课堂语言中哪些话最不中听，对你的刺激最大”一栏中，填写了下列几类教师用语：
①讽刺挖苦性的话。
如“我叫你回答，就知道你答不上来”。
②训斥责骂性的话。
如“你这个人真笨”“这样简单的题目都不会做，你上课听了没有”。
③污辱人格的话。
如“我看你应该进弱智儿童学校”。
④否定整个班集体的话。
如“我教了这么多年的书，从来没见过象你们这样的班级”。
⑤批评涉及父母的话。
如“有其子，必有其父”。
⑥蔑视、歧视的话。
如“你连最基础的题目都做不出，去看难的题目干什么”。
当问及最喜欢和最厌恶的课堂教学用语时，初一、初二、初三年级各两个班共270名学生作了如下的回答。
表1－4你最喜欢教师的哪些课堂教学语言（可选1—3项）
逻辑
严密的
激励
性的
激情
性的
鞭策
性的
赞赏
性的
激将
性的
幽默
风趣的
关心
爱护的
简洁
明了的
54
79
17
35
61
12
226
101
79
表1－5你最厌恶教师的哪些课堂教学语言（可选1—3项）
讽刺挖苦的
重复
罗嗦的
语无
伦次的
空讲
道理的
训斥
责骂的
污辱
人格的
涉及
父母的
蔑视、
歧视的
163
69
30
63
62
165
48
102
调查结果表明，①学生对教师课堂教学用语的要求较高，不仅要求具有启发性，而且要值得回味，留有思考的余地。
②初中学生正处在个性形成和发展阶段，心理上还比较脆弱，迫切需要教师的关爱，非常希望得到教师的激励。
③学生具有极强的自尊心，把自己的人格放在首位，他们有维护自尊的意识和要求，他们希望教师能以平等、直诚的态度来对待他们。
相比之下，学生对“训斥责骂”承受力要大于“污辱人格”和“讽刺挖苦的”语言，这种语言已见不到教师的丝毫“爱心”，留给学生的只是心灵的“痛楚”。
对学生来说，教师最大的魅力是什么？
教师课堂用语在其中的地位又如何？
调查结果表明：
学生最看重的是教师的“教学水平和教学能力”，其次是优美的语言、渊博的知识、丰富的感情和热情的态度。
所以，提高自己的教学水平和能力是教师的首要任务，但是，优美的语言对于学生的情感、态度等也有不小的作用。
除了大面积的问卷调查，张菊飞等老师还召开了学生座谈会。
会上，有一位学生向大家动情地回忆了一段自己的亲身经历。
有一次，该同学由于遗忘而没有完成老师前一天布置的回家作业，老师了解这一情况后，只在课堂上和颜悦色地对这位同学说：
“我真没有想到这次作业你没交。
”这普通的一句话，让他感受到老师批评之中隐含着肯定，老师没有因为他这一次的错否定了他以前按时交作业的好行为。
他接受批评，愉快地补上了作业。
还有几位学生谈到他们发现有的老师总是说“我们班……”，而有的教师则喜欢用“你们班……”，虽一字之差，但他们觉得说“我们班”的老师亲切，因为教师已把自己看作是班集体中的一员了。
还有一位同学回忆道，有一次，同桌同学自己不小心摔倒在地，任课教师走过来，不分青红皂白呵斥他“像你这样的人还会做出好事来”，一句话深深地刺伤了那个同学的心，从此，他自暴自弃，不求上进，成绩也越来越差。
原文作者最后感叹道：
语言作为人与人之间交流思想、表达情感的主要渠道，说话人不应只图自己说得痛快，也应该为听话人着想。
在课堂里，教师交流的对象是性格爱好、心理素质都还不成熟的中小学生，教师一言一行更应该多考虑学生的心理感受和承受能力。
教师应善待学生，宽容学生，关爱学生，激励学生。
这个研究案例研究的是日常教学中每天都在发生的现象——教师使用教学用语的情况，主要使用了大范围的问卷调查方法，这种方法因其成本低、速度快、调查面广而成为众多研究者喜欢使用的一种研究方法。
调查问卷的设计是使用这一方法的关键，所以本研究在设计调查问卷之前有一个广泛收集教师教学用语的准备阶段。
另外，为了弥补问卷调查可能存在不够深入细致的不足，研究者在使用问卷调查法时还经常结合使用访谈、课堂观察等其他方法，本案例的研究者就同时采取了召开学生座谈会的方法以了解一些具体的典型事例。
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