人教版初中数学第13章 轴对称专题训训4 热门考点整合应用含答案.docx

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人教版初中数学第13章轴对称专题训训4热门考点整合应用含答案

全章热门考点整合应用

名师点金：

本章内容在中考试题中一直占有重要的地位，属必考内容，多以选择题，填空题的形式出现，其考查内容主要有轴对称和轴对称图形的识别，最短距离问题，与翻折有关的计算和证明题等．

两个概念

轴对称图形

1．【2016·赤峰】下列图形是由我们熟悉的一些基本数学图形组成的，其中是轴对称图形的是________．（填序号）

（第1题）

2．【2016·北京】甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，不是轴对称的是（　　）

轴对称

3．观察图①～④中的左右两个图形，它们是否成轴对称？

如果是，请画出其对称轴．

（第3题）

五个性质

轴对称的性质

4．如图，将四边形纸片ABCD沿AE向上折叠，使点B落在DC边上的点F处．若△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，求四边形纸片ABCD的周长．

（第4题）

等腰三角形的性质

5.如图，△ABC内有一点D，且DA＝DB＝DC.若∠DAB＝20°，∠DAC＝30°，则∠BDC的度数是（　　）

A．100°B．80°C．70°D．50°

（第5题）

等边三角形的性质

6．如图，已知△ABC和△BDE均为等边三角形，试说明：

BD＋CD＝AD.

（第6题）

线段垂直平分线的性质

7．如图，直线PG为△ABC的边BC的垂直平分线，∠PBC＝

∠A，BP，CP的延长线分别交AC，AB于点D，E.试说明：

BE＝CD.

（第7题）

含30°角的直角三角形的性质

8．如图，在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，∠A＝60°，作DC∥AB，且∠DBC＝∠BDC，DC与BC交于点C，CD＝4.

求：

（1）∠CBD的度数；

（2）AB的长．

（第8题）

三个判定

等腰三角形的判定

9．如图，已知等腰三角形ABC中，AB＝AC，AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，连接MD，NE交于点O，求证：

△OMN是等腰三角形．

（第9题）

等边三角形的判定

10．如图，设在一个宽度AB＝a的小巷内，一个梯子的长度为b，梯子的脚位于P点，将该梯子的顶端放于一面墙上的Q点时，Q点离地面的高为c，梯子与地面的夹角为45°，将梯子顶端放于另一面墙上的R点时，离地面的高度为d，此时梯子与地面的夹角为75°，则d＝a，为什么？

（第10题）

线段垂直平分线的判定

11．如图，AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC于点E，DF⊥AB于点F，EF交AD于点M，试说明：

AD垂直平分EF.

（第11题）

两个应用

线段垂直平分线的应用

12．如图，A，B，C三点表示三个村庄，为了解决村民子女就近入学的问题，计划新建一所小学，要使学校到三个村庄距离相等，请你在图中确定学校的位置．

（第12题）

最短与最长路径的应用

13．如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A，B的距离之差最大，并说明理由．

（第13题）

两种思想

方程思想

14．如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，在△ABC外部分别作等边三角形ADB和等边三角形ACE.若∠DAE＝∠DBC，求△ABC三个内角的度数．

（第14题）

分类思想

15．在等腰三角形ABC中，∠A比∠B的2倍少50°，求∠B的度数．

参考答案

1．①②③④

2．D

3．解：

题图①②③中的左右两个图形成轴对称，题图④中的左右两个图形不成轴对称．题图①②③中成轴对称的两个图形的对称轴如图所示．

（第3题）

点拨：

判断两个图形是否成轴对称，关键是理解、应用两个图形成轴对称的定义，即看两个图形能否沿一条直线折叠后重合．若重合，则两个图形关于这条直线成轴对称，否则不成轴对称．

4．解：

由题意可知，△ABE和△AFE关于直线AE成轴对称，所以AB＝AF，BE＝FE.

因为△AFD的周长为24cm，△ECF的周长为8cm，

即AD＋DF＋AF＝24cm，FC＋CE＋FE＝8cm，

所以四边形纸片ABCD的周长为AD＋DC＋BC＋AB＝AD＋DF＋FC＋CE＋BE＋AB＝（AD＋DF＋AF）＋（FC＋CE＋FE）＝24＋8＝32（cm）．

5．A　点拨：

（方法一）因为DA＝DB，

所以∠DBA＝∠DAB＝20°.因为DA＝DC，所以∠DCA＝∠DAC＝30°.

在△ABC中，有∠DBC＋∠DCB＝180°－2×20°－2×30°＝80°.所以∠BDC＝180°－（∠DBC＋∠DCB）＝180°－80°＝100°.

（方法二）在△ADB中，由方法一可得∠ADB＝180°－2×20°＝180°－40°＝140°.同理∠ADC＝180°－2×30°＝120°.所以∠BDC＝360°－140°－120°＝100°.故选A.

6．解：

因为△ABC，△BDE均为等边三角形，

所以BE＝BD＝DE，AB＝BC，∠ABC＝∠EBD＝60°.

所以∠ABE＋∠EBC＝∠DBC＋∠EBC.

所以∠ABE＝∠DBC.

在△ABE和△CBD中，

所以△ABE≌△CBD（SAS）．所以AE＝CD.

又因为AD＝AE＋ED，ED＝BD，所以BD＋CD＝AD.

7．解：

如图，在BD上截取BE′，使BE′＝CE，连接CE′.

因为直线PG为BC的垂直平分线，

所以PB＝PC.

（第7题）

所以∠PBC＝∠PCB，PE′＝PE.

又因为∠BPE＝∠CPE′，

所以△BPE≌△CPE′（SAS）．

所以BE＝CE′，∠EBP＝∠E′CP.

因为∠CDE′＝∠A＋∠ABP，∠CE′D＝∠E′BC＋∠BCE′＝2∠PBC＋∠E′CP＝∠A＋∠E′CP，

所以∠CDE′＝∠CE′D.所以CD＝CE′.所以BE＝CD.

8．解：

（1）在Rt△ADB中，∵∠A＝60°，∠ADB＝90°，

∴∠ABD＝30°.

∵AB∥CD，∴∠CDB＝∠ABD＝30°.

又∵∠DBC＝∠BDC，

∴∠CBD＝∠CDB＝30°.

（第8题）

（2）如图，过点C作CM⊥BD于点M，交AB于点E，连接DE，∵∠DBC＝∠BDC，∴BC＝CD，又∵CM⊥BD，∴DM＝MB.∴CE为线段BD的垂直平分线，∴DE＝EB，

∴∠EDB＝∠EBD＝30°.

∵∠CDM＝30°，∠CMD＝90°，

∴CM＝

CD＝

×4＝2.

又∵∠EBM＝∠CBM＝30°，∠EMB＝∠CMB＝90°，BM＝BM，

∴△EBM≌△CBM，∴EM＝CM＝2.

∵∠EDM＝30°，∠EMD＝90°，

∴DE＝2EM＝4.

∵∠DEA＝∠EDB＋∠EBD＝60°，∠A＝60°，∴∠DEA＝∠A.

∴AD＝DE＝4.

又∵∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，

∴AB＝2AD＝8.

点拨：

含30°角的直角三角形的性质常与直角三角形的两个锐角互余同时运用，此性质是求线段长度和证明线段倍分问题的重要依据．

9．证明：

在△ABC中，因为AB＝AC，且AE∶EM∶MB＝1∶2∶1，AD∶DN∶NC＝1∶2∶1，

所以AD＝

AC，AE＝

AB＝

AC，

所以AE＝AD.同理AM＝AN.

在△ADM与△AEN中，

所以△ADM≌△AEN，

所以∠AMD＝∠ANE.

又因为AM＝AN，所以∠AMN＝∠ANM，

所以∠AMN－∠AMD＝∠ANM－∠ANE，即∠OMN＝∠ONM，

所以OM＝ON，所以△OMN是等腰三角形．

10．解：

连接RQ，RB，设BR与PQ交于点M.

∵∠RPA＝75°，∠QPB＝45°，

∴∠RPQ＝180°－75°－45°＝60°.

又∵PR＝PQ，

∴△PRQ为等边三角形．

∴RP＝RQ.

在Rt△BPQ中，

∵∠BPQ＝45°，

∴∠BQP＝90°－45°＝45°，

∴∠BPQ＝∠BQP，

∴BP＝BQ.

∴点R，B在PQ的垂直平分线上，

∴BM⊥PQ.

在Rt△BMP中，

∵∠BPQ＝45°，

∴∠RBA＝45°.

在Rt△RAB中，

∵∠ARB＝90°－∠RBA＝45°，

∴∠ARB＝∠RBA，

∴AR＝AB，即d＝a.

点拨：

若两个点到线段两端点的距离相等，则这两点确定的直线是该线段的垂直平分线．

11．解：

因为AD为△ABC的角平分线，DE⊥AC，DF⊥AB，

所以DE＝DF.所以点D在线段EF的垂直平分线上．

因为∠FAD＝∠EAD，∠AFD＝∠AED＝90°，

AD＝AD，

所以△AFD≌△AED.

所以AF＝AE.

所以点A在线段EF的垂直平分线上．

∴根据两点确定一条直线可知，AD即为EF的垂直平分线，即AD垂直平分EF.

12．解：

作法：

（1）连接AB，BC；

（2）分别作AB，BC的垂直平分线交于点P，则点P就是所要确定的学校的位置，如图．

（第12题）

点拨：

三角形三边的垂直平分线交于一点，并且这点到三个顶点的距离相等．找三角形中到三个顶点距离相等的点的方法就是找任意两边的垂直平分线的交点．

13．解：

如图，以直线l为对称轴，作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B并延长交l于点C，则点C即为所求．

理由：

在直线l上任找一点C′（异于点C），连接CA，C′A，C′A′，C′B.

因为点A，A′关于直线l对称，

所以l为线段AA′的垂直平分线．则有CA＝CA′，

所以CA－CB＝CA′－CB＝A′B.

又因为点C′在l上，所以C′A＝C′A′.

在△A′BC′中，C′A′－C′B＜A′B，

所以C′A－C′B＜CA－CB.

（第13题）

14．解：

因为△ADB和△ACE都是等边三角形，

所以∠DAE＝∠DAB＋∠BAC＋∠CAE＝60°＋∠BAC＋60°＝120°＋∠BAC，∠DBC＝60°＋∠ABC.

又因为∠DAE＝∠DBC，

所以120°＋∠BAC＝60°＋∠ABC，

即∠ABC＝60°＋∠BAC.

又因为△ABC是等腰三角形，

所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC.

设∠BAC＝x°，因为∠BAC＋2∠ABC＝180°，

则x＋2（x＋60）＝180，解得x＝20.

所以∠ACB＝∠ABC＝60°＋∠BAC＝60°＋20°＝80°.

所以△ABC三个内角的度数分别为20°，80°，80°.

15．解：

设∠B＝x°.

因为∠A比∠B的2倍少50°，所以∠A＝2x°－50°.

因为∠A＋∠B＋∠C＝180°，

所以∠C＝180°－（2x°－50°）－x°＝230°－3x°.

当AB＝AC时（如图①），此时有∠B＝∠C，则x＝230－3x.解得x＝57.5.

当AB＝BC时（如图②），此时有∠A＝∠C，则2x－50＝230－3x.解得x＝56.

当AC＝BC时（如图③），此时有∠A＝∠B，则2x－50＝x.解得x＝50.

综上所述，∠B为57.5°或56°或50°.

点拨：

本题要求的是等腰三角形的内角，这类问题通常要分类讨论．怎样讨论是解题的重点和难点．本题巧妙地采用设未知数的方法，使得三个角都能用含未知数的式子来表示，再根据等腰三角形顶角、底角的情况进行分类．

（第15题）