八年级上学期第一章勾股定理复习及对应练习精.docx
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八年级上学期第一章勾股定理复习及对应练习精
八年级上学期第一章勾股定理复习及对应练习
一、基础知识点:
（一勾股定理
1、内容:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;
2、表示方法:
如果直角三角形的两直角边分别为a,b,斜边为c,那么222abc+=
3、勾股定理的适用范围:
勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系,它只适用于直角三角形,对于锐角三角形和钝角三角形的三边就不具有这一特征,因而在应用勾股定理时,必须明了所考察的对象是直角三角形
4、勾股定理的证明
勾股定理的证明方法很多,常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是
①图形进过割补拼接后,只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法,列出等式,推导出勾股定理5、勾股定理的应用
①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC∆中,90C∠=︒,则22cab=+,22bca=-,
22acb=-
②知道直角三角形一边,可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题（二勾股定理的逆定理1、内容及分析:
如果三角形三边长a,b,c满足222abc+=,那么这个三角形是直角三角形,其中c为斜边
①勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法,它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状,在运用这一定理时,可用两小边的平方和22ab+与较长边的平方2c作比较,若它们相等时,以a,b,c为三边的三角形是直角三角形;若222abc+<,时,以a,b,c为三边的三角形是钝角三角形;若222abc+>,时,以a,b,c为三边的三角形是锐角三角形;
②定理中a,b,c及222abc+=只是一种表现形式,不可认为是唯一的,如若三角形三边长a,b,c满足222acb+=,那么以a,b,c为三边的三角形是直角三角形,但是b为斜边
③勾股定理的逆定理在用问题描述时,不能说成:
当斜边的平方等于两条直角边的平方和时,这个三角形是直角三角形2、勾股数
①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数,即222
abc+=中,a,b,c为正整数时,称a,b,c为一组勾股数。
②记住常见的勾股数可以提高解题速度,如3、4、5;5、12、13;7、24、25;9、40、41;8、15、17等。
③用含字母的代数式表示n组勾股数:
2
2
1,2,1nnn-+（2,n≥n为正整数;
2221,22,221nnnnn++++（n为正整数2222,2,mnmnmn-+（,mn>m,n为正整数
3、勾股定理逆定理的应用
勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形,在具体推算过程中,应用两短边的平方和与最长边的平方进行比较,切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论.
二、经典例题精讲
题型一:
验证勾股定理的图形应用
1、已知:
如图2,以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形.若斜边AB=3,则图中阴影部
分的面积为（.
（A9（B3（C49（D2
9
2、如图7,已知在RtABC△中,RtACB∠=∠,4AB=,分别以AC,BC为直径作半圆,面积分
别记为1S,2S,则1S+2S的值等于.
3、我国古代数学家赵爽“的勾股圆方图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一
个大正方形（如图1所示,如果大正方形的面积是13（或25,小正方形的面积是1,直角三角
形的两直角边分别是a、b,那么2
（ba+的值为（（A49（B25（C13（D1题型二:
利用勾股定理求线段长度
例题1
（“知二求一”如果梯子的底端离建筑物9米,那么15米长的梯子可以到达建筑物的高度是多少米?
2、暑假中,小明到某海岛探宝,如图,他到达海岛登陆点后先往东走8km,又往北走2km,遇到障碍后又往西走3km,再折向北走6km处往东一拐,仅1km就找到宝藏,问登陆点到埋宝藏点的直线距离是多少?
例题2（知一求二如图（8,水池中离岸边D点1.5米的C处,直立长着一根芦苇,出水部分BC的长是0.5米,把芦苇拉到岸边,它的顶端B恰好落到D点,并求水池的深度AC.
D
C
B
A
题型三:
折叠问题
例题1、如图4,已知长方形ABCD中AB=8cm,BC=10cm,在边CD上取一点E,将△ADE折叠使点D恰好落
在BC边上的点F,求CE的长.
例题2、如图8,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm,BC=8cm,现直角边沿直线AD折叠,使它
落在斜边AB上,且与AE重合,则CD的长为.
例3、矩形纸片ABCD中,AB=3cm,BC=4cm,现将纸片折叠压平,使A与C重合,
设折痕为EF,则重叠部分△AEF的面积等于.
题型四:
求立体图形中的最短问题
例1、如右图1-19,壁虎在一座底面半径为2米,高为4米的油罐的下底边沿A处,它发现在自己的正上方油
罐上边缘的B处有一只害虫,便决定捕捉这只害虫,为了不引起害虫的注意,它故意不走直线,而是绕着油罐,
沿一条螺旋路线,从背后对害虫进行突然袭击.结果,壁虎的偷袭得到成功,获得了一顿美餐.请问壁虎至少要
爬行多少路程才能捕到害虫?
（π取3.14,结果保留1位小数,可以用计算器计算
例2:
如图为一棱长为3cm的正方体,把所有面都分为9个小正方形,其边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行
2cm,则它从下地面A点沿表面爬行至右侧面的B点,最少要花几秒钟?
题型五:
在网格纸中利用勾股定理完成作图
例1、如图10,方格纸上每个小正方形的面积为1个单位.
（1在方格纸上,以线段AB为边画正方形并计算所画正方形的面积,解释你的计算方法.
（2你能在图上画出面积依次为5个单位、10个单位、13个单位的正方形吗?
例2、如图小方格都是边长为1的正方形,则四边形ABCD的面积是（
（A25（B12.5（C9（D8.5
三、课后训练:
一、填空题
1.如图（1,在高2米,跨度为4米的的楼梯表面铺地毯,地毯的长至少需________米.
图（1
2.种盛饮料的圆柱形杯（如图,测得内部底面半径为2.5㎝,高为12㎝,吸管放进杯里,杯口外面至
少要露出4.6㎝,问吸管要做㎝。
3.在一棵树的10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘的A处。
另一只爬到树
顶D后直接跃到A处,距离以直线计算,如果两只猴子所经过的距离相等,
则这棵树高_____________________米。
5.如图是一个三级台阶,它的每一级的长宽和高分别为20dm、3dm、
2dm,A和B是这个台阶两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B
点去吃可口的食物,则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是_____________.
二、选择题
1.已知一个Rt△的两边长分别为3和4,则第三边长的平方是（
A、25
B、14
C、7
D、7或25
2.Rt△一直角边的长为11,另两边为自然数,则Rt△的周长为（
A、121
B、120
C、132
D、不能确定
3.如果Rt△两直角边的比为5∶12,则斜边上的高与斜边的比为（
A、60∶13
B、5∶12
C、12∶13
D、60∶169
4.已知Rt△ABC中,∠C=90°,若a+b=14cm,c=10cm,则Rt△ABC的面积是（
A、24cm2
B、36cm2
C、48cm2
D、60cm2
5.等腰三角形底边上的高为8,周长为32,则三角形的面积为（
A、56
B、48
C、40
D、32
6.某市在旧城改造中,计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮以美化环境,已知这种草皮
每平方米售价a元,则购买这种草皮至少需要（
A、450a元
B、225a元
C、150a元
D、300a元
20
3
2
A
B
150°
20m30m
第6题图
7.已知,如图长方形ABCD中,AB=3cm,AD=9cm,将此长方形折叠,使点B与点D重合,折痕为
EF,则△ABE的面积为（
A、6cm2
B、8cm2
C、10cm2
D、12cm2
8.在△ABC中,AB=15,AC=13,高AD=12,则△ABC的周长为
A.42
B.32
C.42或32
D.37或33
9.如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC是（
（A直角三角形（B锐角三角形（C钝角三角形（D以上答案都不对
三、计算
1、如图,A、B是笔直公路l同侧的两个村庄,且两个村庄到直路的距离分别是300m和500m,两村庄之间的距离为d（已知d2=400000m2,现要在公路上建一汽车停靠站,使两村到停靠站的距离之和最小。
问最小是多少?
2、如图1-3-11,有一块塑料矩形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合,在AD上适当移动三角板顶点P:
①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由.
②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?
若能,请你求出这时AP的长;若不能,请你说明理由.四、思维训练:
1、如图所示是从长为40cm、宽为30cm的矩形钢板的左上角截取一块长为20cm,宽为10cm的矩形后,剩下的一块下脚料。
工人师傅要将它做适当的切割,重新拼接后焊成一个面积与原下脚料的面积相等,接缝尽可能短的正方形工件,请根据上述要求,设计出将这块下脚料适当分割成三块或三块以上的两种不同的拼接方案（在图2,3中分别画出切割时所沿的虚线,以及拼接后所得到的正方形,保留拼接的痕迹。
2、葛藤是一种刁钻的植物,它自己腰杆不硬,为了争夺雨露阳光,常常饶着树干盘旋而上,它还有一手绝招,就是它绕树盘升的路线,总是沿着短路线—盘旋前进的。
难道植物也懂得数学吗?
如果阅读以上信息,你能设计一种方法解决下列问题吗?
如果树的周长为3cm,绕一圈升高4cm,则它爬行路程是多少厘米?
如果树的周长为8cm,绕一圈爬行10cm,则爬行一圈升高多少厘米?
如果爬行10圈到达树顶,则树干高多少厘米?
30cm
30cm
40cm
10cm
AB
E
F
D
C
第7题图
A
B
C
A
B
l
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