中考数学专题复习圆锥侧面的最短路径问题附答案详解.docx

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中考数学专题复习圆锥侧面的最短路径问题附答案详解

A点，则这根绳子的长度可能是（）

C.10D.9

1•如图，已知圆锥的底面半径是

2021中考数学专题复习：

圆锥侧面的最短路径问题（附答案详解）

2，母线长是6.如果A是底面圆周上一点，从点A

2•如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面

爬到AC的中点D处，则最短路线长为（）

3•如图，有一圆锥形粮堆，其侧面展开图是半径为6m的半圆，粮堆母线AC的中点P处有一老鼠正在偷吃粮食，此时，小猫正在B处，它要沿圆锥侧面到达P处捕捉老鼠，

4.如图所示，圆锥底面的半径为5，母线长为20,一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发

沿圆锥的侧面爬行一周后回到点A的最短路程是（）

D•20、2

5.如图圆柱的底面周长是10cm,圆柱的高为12cm,BC为圆柱上底面的直径，一只蚂蚁如

果沿着圆柱的侧面从下底面点A处爬到上底面点B处，那么它爬行的最短路程为

（）

10.已知圆锥的底面半径为r=20cm，高h=20・、i5cm,现在有一只蚂蚁从底边上一点A

路线1:

侧面展开图中的AC.如下图

（2）所示:

所以要选择路线2较短.

为5dm继续按前面的路线进行计算.请你帮小明完成下面的计算:

路线1:

l12AC2

2

路线2:

I；ABAC

•/1

12

•••h—12（填＞或＜）所以应选择路线（填1或2）较短•

⑵请你帮小明继续研究：

在一般情况下，当圆柱的底面半径为r,高为h时，应如何选择上

面的两条路线才能使蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到C点的路线最短.

12•如图，已知圆锥的底面半径是2,母线长是6.

（1）求这个圆锥的高和其侧面展开图中/ABC的度数；

（2）

如果A是底面圆周上一点，从点A拉一根绳子绕圆锥侧面一圈再回到A点,求这根

13•如图，圆锥母线的长I等于底面半径r的4倍,

J

*IhrIV1|%

I覽i片

15•圆锥的底面半径为1,母线长为6,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发，沿圆锥侧面

爬行一圈再回到点B,问它爬行的最短路线是多少

16.如图1，圆锥底面圆半径为1，母线长为4,图2为其侧面展开图.

（1）求阴影部分面积（n可作为最后结果）；

（2）母线SC是一条蜜糖线，一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬多远才能吃到蜜

糖？

17.已知：

如图，观察图形回答下面的问题:

（1）此图形的名称为.

（2）

AS剪开，铺在桌面上，则它的侧面展

请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿

开图是一个.

⑶如果点C是SA的中点，在A处有一只蜗牛，在C处恰好有蜗牛想吃的食品，但它又不能直接沿AC爬到C处，只能沿此立体图形的表面爬行，你能在侧面展开图中画出

蜗牛爬行的最短路线吗？

（4）SA的长为10,侧面展开图的圆心角为90°请你求出蜗牛爬行的最短路程.

18

.如图，圆锥的母线长是3，底面半径是1,A是底面圆周上一点，从A点出发绕侧

19.如图，圆锥的轴截面是边长为6cm的正三角形ABC,P是母线AC的中点•则在圆

20

.如图所示是一个几何体的三视图，如果一只蚂蚁从这个几何体的点B出发，沿表面

爬到AC的中点D处，则最短路线长为

21•已知圆锥底面半径为1，母线长为4,地面圆周上有一点A，一只蚂蚁从点A出发

沿圆锥侧面运动一周后到达母线PA中点B，则蚂蚁爬行的最短路程为（结果保留根号）

22•如图，圆锥的底面半径为2，母线长为8，一只蜘蛛从底面圆周上一点A出发沿圆

锥的侧面爬行一周后回到点A处的最短路程是•

2

23.圆锥的底面周长为，母线长为2,点P是母线OA的中点，一根细绳（无弹性）

3

从点P绕圆锥侧面一周回到点P,则细绳的最短长度为.

24

.如图，如果一只蚂蚁从圆锥底面上的点B出发，沿表面爬到母线AC的中点D处,

则最短路线长为

主观圄左视图俯视圏

25.如图，圆锥的轴截面（过圆锥顶点和底面圆心的截面）是边长为4cm的等边三角形

\^BC,点p是母线^£的中点，一只蚂蚁从点月出发沿圆锥的表面爬行到点p处，则这只蚂蚁爬行的最短距离是cm.

26

.如图，已知圆锥的底面半径是2,母线长是6,如果A是底面圆周上一点,从点A拉一

EF长为5cm，母线

27•如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径

OEOF长为5cm•在母线OF上的点a处有一块爆米花残渣，且FA2cm，一只蚂

蚁从杯口的点E处沿圆锥表面爬行到A点，则此蚂蚁爬行的最短距离为cm.

28•如图是一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯，纸杯开口圆的直径EF长为6cm,母线

OE（OF）长为9cm•在母线OF上的点A处有一块爆米花残渣，且FA=3cm.在母线OE上的点B处有一只蚂蚁，且EB=1cm.这只蚂蚁从点B处沿圆锥表面爬行到A点,则爬行的最短距离为cm.

29.如图，一个圆柱形水杯深20cm,杯口周长为36cm,在杯子外侧底面A点有一只蚂蚁

它想吃到杯子相对的内壁上点B处的蜂蜜，已知点B距离杯子口4cm,不考虑杯子的厚度

蚂蚁爬行的最短距离为。

圆锥的底面圆的半径为3cm，母线长为9cm,C为母线PB的中点,

A处沿圆锥的侧面爬到C处，则它爬行最短距离为.

参考答案

1.B

【解析】

【分析】

设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC,过

B作BD丄AC于D，求出AC的长即可判断;

【详解】

解：

设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为

连结AC，过B作BD丄AC于D，则/ABD=60°

DAB30,

AB=6，BD=3，

二AD

623233,

AC=2AD=6.3，

即这根绳子的最短长度是6.3，

故这根绳子的长度可能是11,

此题考查了圆锥的计算，勾股定理的应用，含30°角的直角三角形，解题的关键是记住圆

锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型.

2.A

【解析】

【分析】

F，线段BF

将圆锥的侧面展开，设顶点为B，连接BB，AE•线段AC与BB的交点为是最短路程.

【详解】

解：

如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB，则线段BF为所求的最短路程.

设BABn.

n120即BAB120.

:

E为弧BB中点，

AFB90，BAF60，

BFAB|sinBAF63.3，

最短路线长为33•

3.C

【解析】

【分析】

【详解】

如图，由题意得：

AP=3，AB=6，BAP90.

•••在圆锥侧面展开图中bp6^W5m

故小猫经过的最短距离是3.5m.

故选C.

圆锥的底面周长=2nX5=10,n

设侧面展开图的圆心角的度数为n.

n20

180

最短路程为：

-，2022。

2=20'、2，故选D.

【点睛】

求立体图形中两点之间的最短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的

线段的长度•用到的知识点为：

圆锥的弧长等于底面周长.

5.C

【解析】

【分析】

把圆柱沿母线AC剪开后展开，点B展开后的对应点为B'，利用两点之间线段最短可判断

蚂蚁爬行的最短路径为AB'，如图，由于AC=12，CB'=5，然后利用勾股定理计算出AB'

即可.

故选：

C.

【点睛】

本题考查了平面展开-最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两

点之间的最短路径.一般情况是两点之间，线段最短.在平面图形上构造直角三角形解决问

题.

6.D

【解析】

【分析】

设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n利用弧长公式构建方程求出n的值，连结AC，过

B作BD丄AC于D，求出AC的长即可判断；

【详解】

解：

设圆锥的侧面展开图扇形的圆心角为n.

底面圆的周长等于：

2nX2n6，

180

解得：

n=120°；

连结AC，过B作BD丄AC于D，

则/ABD=60.

由AB=6，可求得BD=3,

二AD^3.3,

AC=2AD=6、、3，即这根绳子的最短长度是6、、3,

故这根绳子的长度可能是11.

故选：

D.

【点睛】

本题考查圆锥的计算，解题的关键是记住圆锥的底面圆的周长和扇形弧长相等，学会用转化

的思想思考问题.

7.D

【解析】

因为MN为圆锥底面的直径，展开后D图中MN即为直径，也为所爬过的最短路线的痕迹，故选D.

8.C

【解析】

【分析】

求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为

半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后/BAC=90，连接BP，

根据勾股定理求出BP即可.

【详解】

圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是6n，

以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是1=6n

设展开后的圆心角是n°贝U一6n

180

解得：

n=180,

1即展开后BAC18090,

2

1

APAC3,AB6,则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线

2

段BP的长，

由勾股定理得：

BP.AB2AP2.'62323.5.

故选C.

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，

圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母

线长•本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面为平面”，用勾股定理解决.

9.C

【解析】

如图，设圆锥底面圆的圆心为点O,连接AO、BO、AB，则由题意可知/AOB=90，OB=6cm，

AO=8cm，

••在Rt△AO中，由勾股定理可得：

AB=OA2OB210（cm），

即蚂蚁需爬行的最短距离为10cm.

故选C.

10.80.2cm

【解析】【分析】

蚂蚁爬行的最短距离是圆锥的展开图的扇形中AA'的长度.根据勾股定理求得母线长后，利

用弧长等于底面周长求得扇形的圆心角的度数为90度，再由等腰直角三角形的性质求解.

【详解】

解：

设扇形的圆心角为n，圆锥的

在Rt△AOS中，•••r=20cm，h=20.15cm，

由勾股定理可得母线l=.r2h2=80cm，

而圆锥侧面展开后的扇形的弧长为2X20n80.

180

/•n=90°

即厶SAA是等腰直角三角形，

•••由勾股定理得：

AA'=...802802=802cm.

•••蚂蚁爬行的最短距离为80cm.

【点睛】

本题利用了勾股定理，弧长公式，圆的周长公式，等腰直角三角形的性质求解.

4h4h

11.

（1）25+n；49；v；v；1;

（2）

（2）当rv二，li<|2；当r=二，Ii=l2；当r

44

4h,

>—2，|1>I2.

4

【解析】

【分析】

（1）根据勾股定理易得路线1：

l12=AC2=高2+底面周长一半2；路线2:

l22=（高+底面直径）2,然后比较即可；

（2）先分别求出I12和I22的值，进而得出丨12-|22的值，然后分三种情况计算即可.

【详解】

解：

（1）路线1:

l12=AC2=25+孑；

路线2：

S2=（AB+BC）2=49.

•••丨12

•l1<12，

•••选择路线1较短.

故答案为：

25+n2;49；v；v；1;

（2）li2=AC2=AB2+BC2=h2+（n了）

|22=（AB+BC）2=（h+2r）2,

•-li2-l22=h2+（n2-（h+2r）2=r（^-4r-4h）=r[（2-4）r-4h],

4h

当r[（%4）r-4h]v0时，rvr，此时li2

4

4h

当r[（2-4）r-4h]=0时，r=—，此时li2=l22，即li=l2；

4

4h

当r[（%4）r-4h]>0时，r>p，此时li2>I22，即li>I2；

4

4h4h4h

综上可知：

当r<—，li—，11>I2.

444

【点睛】

本题考查了勾股定理，以及圆柱的平面展开-最短路径问题，比较两个数的大小，有时比较

两个数的平方比较简便，分类讨论是解答本题的关键.

i2.（i）ZABC=i20°；

（2）这根绳子的最短长度是63.

【解析】

【分析】

（i）根据勾股定理直接求出圆锥的高，再利用圆锥侧面展开图弧长与其底面周长的长度关

系，求出侧面展开图中/ABC的度数即可;

（2）首先求出BD的长，再利用勾股定理求出AD以及AC的长即可.

底面圆的周长等于：

2冗疋=一6

i80

解得：

n=120°;

⑵连结AC,过B作BD丄AC于D,则/ABD=60°.

由AB=6，可求得BD=3,

•-AD—3,3，

AC=2AD=6、一3，

即这根绳子的最短长度是6.3.

【点睛】

此题主要考查了圆锥的计算、勾股定理、平面展开-最短路径问题•得到圆锥的底面圆的周

长和扇形弧长相等是解决本题的突破点.

13.

（1）它的侧面展开图的圆心角为90°;

（2）BB'=8..2•

【解析】

【分析】

（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，禾U用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧

长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2冗尸口，然后求

180

出n的值即可；

（2）连接BB'，如图，根据两点之间线段对短得到BB'为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈

回到B点的最短路径，然后利用△ABB'为等腰直角三角形得到BB'的长.

【详解】

解：

（1）设它的侧面展开图的圆心角为n°，

根据题意得2nr口，

180

而l=2r，

n2r

所以2n・，解得n=90，

180

所以它的侧面展开图的圆心角为90°；

（2）连接BB'，如图,

此时BB'为从B点出发沿圆锥侧面绕一圈回到B点的最短路径，

•/r=4，•••I=2r=8，

•••/BAB'=90°,

•••△ABB'为等腰直角三角形,

厂‘/

小:

11\/:

|\//【点睛】

解答关键是根据公式

本题考查了求圆锥侧面展开图的圆心角和在圆锥侧面求最短路径问题,计算求出圆心角和将立体问题转化为平面问题加以解决。

14.

（1）x=5.5或x=—7.5;

（2）蚂蚁要爬行的最短距离为10cm.

【解析】

【分析】

（1）先求得（x+1）2的值，然后再利用直接开平方法求解即可；

（2）先求得圆柱体的底面周长，然后将侧面展开，然后连接AB,最后利用勾股定理求得AB的长即可.

【详解】

22169

（1）•••4（x+1）2-169=0，•••（x+1）2，•.x+1=土6.5，二x=5.5或x=-7.5.

4

（2）将圆柱体的侧面展开得到如图所示的矩形，连接AB.

1

•••圆柱的底面半径为2cm，「.AC—2?

n?

2=2n

2

•/n取3，「.AC=6cm.

在Rt△ACB中，AB2=AC2+CB2=36+64=100，AB=10cm.

【点睛】

本题考查了平面展开-路径最短冋题、平方根的应用，化曲为直是解答冋题

（2）的关键.

15.6

【解析】

【分析】

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据两点之间线段最短”得出结果.

【详解】

•••圆锥的底面半径为1，

•••底面周长等于2兀

设圆锥的侧面展开后的扇形圆心角为n°°

根据底面周长等于展开后扇形的弧长得2n二一6,

180

解得n=60，

所以展开图中的圆心角为60°

所以它爬行的最短路线长为6.

【点睛】

本题考查了平面展开-最短路径问题，圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆

锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，化曲面

为平面”来解决.

16.

（1）S阴=4n8;

（2）一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬22个单位长度才能吃到蜜糖.

【解析】

试题分析：

（1）如图2中，作SE丄AF交弧AF于C.设图2中的扇形的圆心角为n°由

n4

题意=2n?

，求出n即可解决问题；

180

（2）在图2中，根据垂线段最短求出AE，即为最短的长度.

试题解析：

（1）如图2中，作SE丄AF交弧AF于C，

设图2中的扇形的圆心角为n°由题意-一=2n?

1

180

•••n=90°,

•/SA=SF,

•△SFA是等腰直角三角形，

又S扇形SAF=

360

在图2中,

SC是一条蜜糖线，AE丄SC,AF=4,2，AE=22，

•一只蚂蚁从A沿着圆锥表面最少需要爬22个单位长度才能吃到蜜糖.

17.

（1）圆锥

（2）扇形（3）见解析（4）5.5

【解析】

试题分析：

（1）根据几何体的特点可判断此图图形为圆锥，

（2）圆锥的侧面展开图是扇

”得出

根据

形，（3）要求蜗牛爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据”两点之间线段最短结果，（4）已知圆锥侧面展开图的夹角为90°,则可得到最短路径是直角三角形的斜边

已知确定两直角边的长，即可利用勾股定理求解•

解：

⑴圆锥

（2）扇形

（3）把此立体图形的侧面展开，如图所示，AC为蜗牛爬行的最短路线.

⑷在RtAASC中，由勾股定理，得AG=102+52=125,

•AC=\125=5、5■

故蜗牛爬行的最短路程为5/5.

18.3、、3.

【解析】

【分析】

圆锥的侧面展开图是扇形，从A点出发绕侧面一周，再回到A点的最短的路线即展开得到

的扇形的弧所对弦，转化为求弦的长的问题.

【详解】

解：

如下图，将圆锥侧面展开，A点对应的点为A'点，连接AA'即为最短路线，过P点作

1

PO丄AA',则AO=A'O,APOAPA'.

2

•••图中扇形的弧长是2n，根据弧长公式得到2n=3^，

180

•••n=120°即扇形的圆心角是120°，

:

丄APO=60°，

•••AO=APxsin60丄3J，

2

•弧所对的弦长AA'=2AO=33.

故答案为：

3、、3

【点睛】

本题考查圆锥的侧面展开图，垂径定理，解直角三角形.正确理解圆锥的侧面展开图与原

来的扇形之间的关系是解决本题的关键

19.3、、5.

【解析】

【分析】

求出圆锥底面圆的周长，则以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为

半径的扇形，根据弧长公式求出展开后扇形的圆心角，求出展开后/BAC=90，连接BP，

根据勾股定理求出BP即可.

【详解】

解：

圆锥底面是以BC为直径的圆，圆的周长是BCn=6n,

以AB为一边，将圆锥展开，就得到一个以A为圆心，以AB为半径的扇形，弧长是1=6n,

设展开后的圆心角是n°，贝Un一66，

180

解得：

n=180，

1

即展开后/BAC=X180°=90°，

2

1

AP=AC=3，AB=6，

2

则在圆锥的侧面上从B点到P点的最短路线的长就是展开后线段BP的长，

由勾股定理得：

BP=AB2AP2,623235，

故答案为：

3、、5•

【点睛】

本题考查了圆锥的计算，平面展开-最短路线问题，勾股定理，弧长公式等知识点的应用，

圆锥的侧面展开图是一个扇形，此扇形的弧长等于圆锥底面周长，扇形的半径等于圆锥的母

线长.本题就是把圆锥的侧面展开成扇形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决.

20•3、3

【解析】

【分析】

将圆锥的侧面展开，设顶点为B'，连接BB'，AE.线段AC与BB'的交点为F，线段BF是最短路程.

【详解】

如图将圆锥侧面展开，得到扇形ABB'，则线段BF为所求的最短路程.

设/BAB'=n°

180

•••n=120即/BAB'=120°.

•••E为弧BB'中点，

•••/AFB=90°/BAF=60°

•BF=AB?

sin/BAF=6X

最短路线长为33-

故答案为：

33-

本题考查了平面展开-最短路径问题，解题时注意把立体图形转化为平面图形的思维.

21.25.

【解析】

【分析】

要求蚂蚁爬行的最短距离，需将圆锥的侧面展开，进而根据两点之间线段最短”得出结果.

【详解】

解：

根据题意，将该圆锥展开如下图所示的扇形，

则线段AB就是蚂蚁爬行的最短距离.

因为圆锥的底面圆的周长=扇形的弧长，

所以扇形的弧长1=2nr=2,扇形的半径=母线长=4，

丄八亠，nRn4

由公式：

1===2n得，

180180

冋、山1802

圆心角n==90o,

4

在Rt△APB中，AB=.42+22=2.5，

2.5，故答案为^.5.

考点：

1•平面展开-最短路径问题；2•圆锥的计算.

22.8.2

【解析】

【分析】

易得圆锥的底面周长也就是圆锥的侧面展开图的弧长，利用弧长公式即可求得侧面展开图的

圆心角，进而构造直角三角形求得相应线段即可.

【详解】

圆锥的底面周长=2nX2=4，

设侧面展开图的圆心角的度数为n.

则n—-=4n，

180

解得n=90，

圆锥的侧面展开图，如图所示：

则最短路程为：

.、82—828月，

故答案为：

8.

【点睛】

此题考查圆锥的计算，平面展开-最短路径，解题关键在于掌握求立体图形中两点之间的最

短路线长，一般应放在平面内，构造直角三角形，求两点之间的线段的长度•用到的知识点

为：

圆锥的弧长等于底面周长.

23.1.

【解析】

解：

如图，连接AA',•••底面周长为——，•••弧长==——，「.n=60。

即

31803

/AOA'=60°A=60°，•/OA=OA',AOA是等边三角形，•AA'=2