中考数学一轮复习 第23讲《特殊四边形》练习.docx

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中考数学一轮复习第23讲《特殊四边形》练习

2017年中考数学一轮复习第23讲《特殊四边形》

【考点解析】

知识点一、矩形的性质及判定的应用

【例1】（2016·四川宜宾）如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一动点，矩形的两条边AB、BC的长分别是6和8，则点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是（　　）

A．4.8B．5C．6D．7.2

【考点】矩形的性质．

【分析】首先连接OP，由矩形的两条边AB、BC的长分别为3和4，可求得OA=OD=5，△AOD的面积，然后由S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF求得答案．

【解答】解：

连接OP，

∵矩形的两条边AB、BC的长分别为6和8，

∴S矩形ABCD=AB•BC=48，OA=OC，OB=OD，AC=BD=10，

∴OA=OD=5，

∴S△ACD=S矩形ABCD=24，

∴S△AOD=S△ACD=12，

∵S△AOD=S△AOP+S△DOP=OA•PE+OD•PF=×5×PE+×5×PF=（PE+PF）=12，

解得：

PE+PF=4.8．

故选：

A．

【变式】

（2016·四川眉山·3分）如图，矩形ABCD中，O为AC中点，过点O的直线分别与AB、CD交于点E、F，连结BF交AC于点M，连结DE、BO．若∠COB=60°，FO=FC，则下列结论：

①FB垂直平分OC；②△EOB≌△CMB；③DE=EF；④S△AOE：

S△BCM=2：

3．其中正确结论的个数是（　　）

A．4个B．3个C．2个D．1个

【分析】①利用线段垂直平分线的性质的逆定理可得结论；

②证△OMB≌△OEB得△EOB≌△CMB；

③先证△BEF是等边三角形得出BF=EF，再证▱DEBF得出DE=BF，所以得DE=EF；

④由②可知△BCM≌△BEO，则面积相等，△AOE和△BEO属于等高的两个三角形，其面积比就等于两底的比，即S△AOE：

S△BOE=AE：

BE，由直角三角形30°角所对的直角边是斜边的一半得出BE=2OE=2AE，得出结论S△AOE：

S△BOE=AE：

BE=1：

2．

【解答】解：

①∵矩形ABCD中，O为AC中点，

∴OB=OC，

∵∠COB=60°，

∴△OBC是等边三角形，

∴OB=BC，

∵FO=FC，

∴FB垂直平分OC，

故①正确；

②∵FB垂直平分OC，

∴△CMB≌△OMB，

∵OA=OC，∠FOC=∠EOA，∠DCO=∠BAO，

∴△FOC≌△EOA，

∴FO=EO，

易得OB⊥EF，

∴△OMB≌△OEB，

∴△EOB≌△CMB，

故②正确；

③由△OMB≌△OEB≌△CMB得∠1=∠2=∠3=30°，BF=BE，

∴△BEF是等边三角形，

∴BF=EF，

∵DF∥BE且DF=BE，

∴四边形DEBF是平行四边形，

∴DE=BF，

∴DE=EF，

故③正确；

④在直角△BOE中∵∠3=30°，

∴BE=2OE，

∵∠OAE=∠AOE=30°，

∴AE=OE，

∴BE=2AE，

∴S△AOE：

S△BCM=S△AOE：

S△BOE=1：

2，

故④错误；

所以其中正确结论的个数为3个；

故选B

【点评】本题综合性比较强，既考查了矩形的性质、等腰三角形的性质，又考查了全等三角形的性质和判定，及线段垂直平分线的性质，内容虽多，但不复杂；看似一个选择题，其实相当于四个证明题，属于常考题型．

知识点二、菱形的性质及判定的应用

【例2】（2015辽宁朝阳）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：

①BE⊥EC；②BF∥EC；③AB=AC，从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，并给出证明，你选择的条件是（只填写序号）．

【答案】③，证明见解析．

【分析】由点D是BC的中点，点E、F分别是线段AD及其延长线上，且DE=DF，即可得到四边形BECF是平行四边形，由AF是BC的中垂线，得到BE=CE，从而得到结论．

【解析】∵BD=CD，DE=DF，∴四边形BECF是平行四边形，①BE⊥EC时，四边形BECF是矩形，不一定是菱形；

②四边形BECF是平行四边形，则BF∥EC一定成立，故不一定是菱形；

③AB=AC时，∵D是BC的中点，∴AF是BC的中垂线，∴BE=CE，∴平行四边形BECF是菱形．

故答案为：

③．

.【点评】此题主要考查了菱形的判定以及等腰三角形的性质，能根据已知条件来选择让问题成立的条件是解题关键．

【变式】

（2016·青海西宁·2分）如图，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF=2，则菱形ABCD的周长是　16　．

【考点】菱形的性质；三角形中位线定理．

【分析】先利用三角形中位线性质得到AB=4，然后根据菱形的性质计算菱形ABCD的周长．

【解答】解：

∵E，F分别是AD，BD的中点，

∴EF为△ABD的中位线，

∴AB=2EF=4，

∵四边形ABCD为菱形，

∴AB=BC=CD=DA=4，

∴菱形ABCD的周长=4×4=16．

故答案为16．

知识点三、正方形的性质及判定的应用

【例3】（2016·四川眉山·3分）把边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，边BC与D′C′交于点O，则四边形ABOD′的周长是（　　）

A．B．6C．D．

【分析】由边长为3的正方形ABCD绕点A顺时针旋转45°得到正方形AB′C′D′，利用勾股定理的知识求出BC′的长，再根据等腰直角三角形的性质，勾股定理可求BO，OD′，从而可求四边形ABOD′的周长．

【解答】解：

连接BC′，

∵旋转角∠BAB′=45°，∠BAD′=45°，

∴B在对角线AC′上，

∵B′C′=AB′=3，

在Rt△AB′C′中，AC′==3，

∴B′C=3﹣3，

在等腰Rt△OBC′中，OB=BC′=3﹣3，

在直角三角形OBC′中，OC=（3﹣3）=6﹣3，

∴OD′=3﹣OC′=3﹣3，

∴四边形ABOD′的周长是：

2AD′+OB+OD′=6+3﹣3+3﹣3=6．

故选：

A．

【点评】本题考查了旋转的性质、正方形的性质以及等腰直角三角形的性质．此题难度适中，注意连接BC′构造等腰Rt△OBC′是解题的关键，注意旋转中的对应关系．

【变式】

（2016·四川攀枝花）如图，正方形纸片ABCD中，对角线AC、BD交于点O，折叠正方形纸片ABCD，使AD落在BD上，点A恰好与BD上的点F重合，展开后折痕DE分别交AB、AC于点E、G，连结GF，给出下列结论：

①∠ADG=22.5°；②tan∠AED=2；③S△AGD=S△OGD；④四边形AEFG是菱形；⑤BE=2OG；⑥若S△OGF=1，则正方形ABCD的面积是6+4，其中正确的结论个数为（　　）

A．2B．3C．4D．5

【考点】四边形综合题．

【分析】①由四边形ABCD是正方形，可得∠GAD=∠ADO=45°，又由折叠的性质，可求得∠ADG的度数；

②由AE=EF＜BE，可得AD＞2AE；

③由AG=GF＞OG，可得△AGD的面积＞△OGD的面积；

④由折叠的性质与平行线的性质，易得△EFG是等腰三角形，即可证得AE=GF；

⑤易证得四边形AEFG是菱形，由等腰直角三角形的性质，即可得BE=2OG；

⑥根据四边形AEFG是菱形可知AB∥GF，AB=GF，再由∠BAO=45°，∠GOF=90°可得出△OGF时等腰直角三角形，由S△OGF=1求出GF的长，进而可得出BE及AE的长，利用正方形的面积公式可得出结论．

【解答】解：

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD=∠ADO=45°，

由折叠的性质可得：

∠ADG=∠ADO=22.5°，

故①正确．

∵由折叠的性质可得：

AE=EF，∠EFD=∠EAD=90°，

∴AE=EF＜BE，

∴AE＜AB，

∴＞2，

故②错误．

∵∠AOB=90°，

∴AG=FG＞OG，△AGD与△OGD同高，

∴S△AGD＞S△OGD，

故③错误．

∵∠EFD=∠AOF=90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG=∠AGE，

∵∠AGE=∠FGE，

∴∠FEG=∠FGE，

∴EF=GF，

∵AE=EF，

∴AE=GF，

故④正确．

∵AE=EF=GF，AG=GF，

∴AE=EF=GF=AG，

∴四边形AEFG是菱形，

∴∠OGF=∠OAB=45°，

∴EF=GF=OG，

∴BE=EF=×OG=2OG．

故⑤正确．

∵四边形AEFG是菱形，

∴AB∥GF，AB=GF．

∵∠BAO=45°，∠GOF=90°，

∴△OGF时等腰直角三角形．

∵S△OGF=1，

∴OG2=1，解得OG=，

∴BE=2OG=2，GF===2，

∴AE=GF=2，

∴AB=BE+AE=2+2，

∴S正方形ABCD=AB2=（2+2）2=12+8，故⑥错误．

∴其中正确结论的序号是：

①④⑤．

故选B．

【点评】此题考查的是四边形综合题，涉及到正方形的性质、折叠的性质、等腰直角三角形的性质以及菱形的判定与性质等知识．此题综合性较强，难度较大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意数形结合思想的应用．

知识点四、特殊平行四边形的综合应用

【例4】（2015辽宁铁岭）如图，矩形ABCD中，AB=8，AD=6，点E、F分别在边CD、AB上．

（1）若DE=BF，求证：

四边形AFCE是平行四边形；

（2）若四边形AFCE是菱形，求菱形AFCE的周长．

【答案】

（1）证明见解析；

（2）25．

【分析】

（1）由四边形ABCD为矩形，得到AB=CD，AB∥CD，由DE=BF，得到AF=CE，AF∥CE，即可证明四边形AFCE是平行四边形；

（2）由四边形AFCE是菱形，得到AE=CE，然后设DE=x，表示出AE，CE的长度，根据相等求出x的值，继而可求得菱形的边长及周长．

【解析】

（1）∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，AB∥CD，∵DE=BF，∴AF=CE，AF∥CE，∴四边形AFCE是平行四边形；

（2）∵四边形AFCE是菱形，∴AE=CE，设DE=x，则AE=，CE=8﹣x，则，解得：

x=，则菱形的边长为：

=，周长为：

4×=25，故菱形AFCE的周长为25．

【点评】本题考查了矩形的性质、平行四边形的判定、菱形的性质以及勾股定理等知识，能正确地分析图形的特点是解决此类问题的关键．

【变式】

（2016·四川内江）如图所示，△ABC中，D是BC边上一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于F，且AF＝BD，连接BF．

（1）求证：

D是BC的中点；

（2）若AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论．

[考点]三角形例行，特殊四边形的性质与判定。

（1）证明：

∵点E是AD的中点，∴AE＝DE．

∵AF∥BC，∴∠AFE＝∠DCE，∠FAE＝∠CDE．

∴△EAF≌△EDC．

∴AF＝DC．

∵AF＝BD，

∴BD＝DC，即D是BC的中点．

（2）四边形AFBD是矩形．证明如下：

∵AF∥BD，AF＝BD，

∴四边形AFBD是平行四边形．

∵AB＝AC，又由

（1）可知D是BC的中点，

∴AD⊥BC．

∴□AFBD是矩形．

知识点五、四边形的研究应用

【例5】（2016海南）如图1，在矩形ABCD中，BC＞AB，∠BAD的平分线AF与BD、BC分别交于点E、F，点O是BD的中点，直线OK∥AF，交AD于点K，交BC于点G．

（1）求证：

①△DOK≌△BOG；②AB+AK=BG；

（2）若KD=KG，BC=4﹣．

①求KD的长度；

②如图2，点P是线段KD上的动点（不与点D、K重合），PM∥DG交K