平面向量综合练习题.docx
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平面向量综合练习题
一、选择题
1．下列命题中正确的是（）
→→→
A.OA－OB＝AB
→→
B.AB＋BA＝0
→
C．0·AB＝0
→→→→
D.AB＋BC＋CD＝AD
考点
向量的概念
题点
向量的性质
答案
D
解析
起点相同的向量相减，则取终点，并指向被减向量，
→→→→→
OA－OB＝BA；AB，BA是一对相
反向量，它们的和应该为零向量，
→
→
→
AB＋BA＝0；0·AB＝0.
2．已知A，B，C三点在一条直线上，且
A（3，－6），B（－5,2），若C点的横坐标为
6，则C
点的纵坐标为（
）
A．－13B．9
C．－9D．13
考点
向量共线的坐标表示的应用
题点
已知三点共线求点的坐标
答案
C
解析
→
→
设C点坐标（6，y），则AB
＝（－8,8），AC＝（3，y＋6）．
3y＋6
∵A，B，C三点共线，∴－8＝8，∴y＝－9.
3．在平面直角坐标系xOy中，已知四边形
ABCD是平行四边形，
→
→
AB＝（1，－2），AD＝（2,1），
→→
则AD·AC等于（）
A．5B．4C．3D．2
考点
平面向量数量积的坐标表示与应用
题点
坐标形式下的数量积运算
答案
A
解析
→→→
→→
∵四边形ABCD为平行四边形，∴AC＝AB＋AD＝（1，－2）＋（2,1）
＝（3，－1），∴AD·AC
＝2×3＋（－1）×1＝5.
4．（2017·宁大连庄河高中高一期中辽）已知平面向量a＝（1，－3），b＝（4，－2），a＋λb与a
垂直，则λ等于（
）
A．－2
B．1
C．－1
D．0
考点向量平行与垂直的坐标表示的应用
题点已知向量垂直求参数
答案C
解析a＋λb＝（1＋4λ，－3－2λ），
因为a＋λb与a垂直，
所以（a＋λb）·a＝0，
即1＋4λ－3（－3－2λ）＝0，解得λ＝－1.
5．若向量a与b的夹角为
60°，|b|＝4，（a＋2b）·（a－3b）＝－72，则向量a的模为（）
A．2
B．4
C．6
D．12
考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点利用坐标求向量的模
答案C
解析因为a·b＝|a|·|b|·cos60°＝2|a|，
所以（a＋2b）·（a－3b）＝|a|2－6|b|2－a·b
＝|a|2－2|a|－96＝－72.
所以|a|＝6.
6．定义运算|a×b|＝|a|·|b|·sinθ，其中θ是向量a，b的夹角．若|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，则
|x×y|等于（
）
A．8
B．－8
C．8或－8
D．6
考点
平面向量数量积的概念与几何意义
题点
平面向量数量积的概念与几何意义
答案
A
解析∵|x|＝2，|y|＝5，x·y＝－6，
∴cosθ＝x·y
－6
＝－3
＝
|x||y|·2×5
5.
4
又θ∈[0，π]，∴sinθ＝，
4
∴|x×y|＝|x|·|y|·sinθ＝2×5×5＝8.
→→→
7．如图所示，在△ABC中，AD＝DB，AE＝EC，CD与BE交于点F.设AB＝a，AC＝b，AF＝
xa＋yb，则（x，y）为（）
1，1
B.
2，2
A.2
2
3
3
1
1
2
1
C.3，
3
D.
3，
2
考点
平面向量基本定理的应用
题点
利用平面向量基本定理求参数
答案
C
解析
→
→
令BF
＝λBE
.
→
→
→
→
→
由题可知，AF＝AB
＋BF＝AB＋λBE
→
1→
→
→
1→
＝AB＋λ2AC－AB
＝（1－λ）AB＋2λAC.
→
→
令CF＝μCD，
→
→
→
→
→
则AF＝AC＋CF＝AC＋μCD
→
1→
→
1
→
→
＝AC＋μAB－AC
＝
μAB＋（1－μ）AC.
2
2
→
→
因为AB与AC不共线，
1
2
1－λ＝2μ，
λ＝3，
所以
1
解得
2
2λ＝1－μ，
μ＝
3，
→
1→
1→
所以AF＝
3AB＋3AC，故选C.
二、填空题
8．若|a|＝1，|b|＝2，a与b的夹角为
60°，若（3a＋5b）⊥（ma－b），则m的值为________．
考点
平面向量数量积的应用
题点
已知向量夹角求参数
答案
23
8
解析
由题意知（3a＋5b）·（ma－b）＝3ma2＋－
·－
2＝
，即
3m
＋
（5m
－
3）
××
cos60
°
（5m
3）ab
5b0
2
23
－5×4＝0，解得m＝8.
9．若菱形ABCD的边长为
|
→
→
→
|
2，则AB－CB＋CD＝________.
考点
向量加、减法的综合运算及应用
题点
利用向量的加、减法化简向量
答案
2
→→→
→→
→
→→
→
解析
|AB－CB＋CD|＝|AB＋BC＋CD|＝|AC＋CD
|＝|AD|＝2.
10．已知向量a，b夹角为
45°，且|a|＝1，|2a－b|＝
10，则|b|＝________.
考点
平面向量数量积的应用
题点
利用数量积求向量的模
答案
32
解析
因为向量a，b夹角为45°，
且|a|＝1，|2a－b|＝10.
所以4a2＋b2－4a·b＝10，
化为4＋|b|2－4|b|cos45＝°10，
化为|b|2－22|b|－6＝0，
因为|b|≥0，解得|b|＝32.
11．已知a是平面内的单位向量，若向量b满足b·（a－b）＝0，则|b|的取值范围是________．
考点平面向量数量积的应用
题点利用数量积求向量的模
答案[0,1]
解析b·（a－b）＝a·b－|b|2＝|a||b|cosθ－|b|2＝0，
π
∴|b|＝|a|cosθ＝cosθ（θ为a与b的夹角，θ∈0，2），
∴0≤|b|≤1.
三、解答题
→→
12．（2017四·川宜宾三中高一月考）如图，在△OAB中，P为线段AB上一点，且OP＝xOA＋
→
yOB.
→
→
（1）若AP＝PB，求x，y的值；
→
→
→
→
→→
→→
（2）若AP＝3PB，|OA|＝4，|OB|＝2，且OA与OB的夹角为
60°，求OP·AB的值．
考点
平面向量数量积的概念与几何意义
题点
平面向量数量积的概念与几何意义
解
→
→
→1→
1→
（1）若AP
＝PB，则OP＝2OA＋2OB，
1
故x＝y＝2.
→→
（2）若AP＝3PB，
→1→3→
则OP＝4OA＋4OB，
→→
1→
＋
3→
→
→
＝
OA
OB
·
OP·AB
4
4
（OB－OA）
1→
2
1→→
3→
2
＝－
4OA
－2OA·OB
＋
4OB
＝－
1×42－1×4×2×cos60°＋3×22
4
2
4
＝－3.
→
→
π
→
13．若OA＝（sinθ，－1），OB＝（2sin
θ，2cosθ），其中θ∈0，2
，求|AB|的最大值．
考点平面向量模与夹角的坐标表示的应用
题点利用坐标求向量的模
解
→
→
→
θ＋1），
∵AB＝OB－OA＝（sinθ，2cos
∴
→
2
2
θ＋1
|AB|＝
sinθ＋4cosθ＋4cos
＝3cos2θ＋4cosθ＋2
＝3cosθ＋232＋23，
→
∴当cosθ＝1，即θ＝0时，|AB|取得最大值3.
四、探究与拓展
→→→→→
14．在△ABC中，点O在线段BC的延长线上，且|BO|＝3|CO|，当AO＝xAB＋yAC时，x－y
＝________.
考点
向量共线定理及其应用
题点
利用向量共线定理求参数
答案
－2
解析
→→
→→
，
由|BO|＝3|CO|，得BO＝3CO
→3→
则BO＝2BC，
→
→
→→3→→
3→→
所以AO＝AB＋BO＝AB＋
2BC＝AB＋
2（AC－AB）
1→
3
→
＝－2AB＋2AC.
1
3
1
3
所以x＝－
2，y＝2，所以x－y＝－
2－2＝－2.
→
→
→
15．已知OA＝（1,0）
，OB＝（0,1）
，OM＝（t，t）（t∈R），O是坐标原点．
（1）若A，B，M三点共线，求t
的值；
→→
（2）当t取何值时，MA·MB取到最小值？
并求出最小值．
考点向量共线的坐标表示的应用
题点利用三点共线求参数
→→→
解
（1）AB＝OB－OA＝（－1,1），
→→→
AM＝OM－OA＝（t－1，t）．
→→
∵A，B，M三点共线，∴AB与AM共线，
1
∴－t－（t－1）＝0，∴t＝2.
→
→
→→
2
1
2
1
1
→→
（2）∵MA＝（1－t
，－t），MB＝（－t,1－t），∴MA·MB＝2t－2t＝2t－
2
－，故当t＝时，MA·MB
2
2
1
取得最小值－
2.
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