K12教育学习资料学习浙江省中考数学专题复习 专题三 5大数学思想方法 第四节 方.docx
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K12教育学习资料学习浙江省中考数学专题复习专题三5大数学思想方法第四节方
专题三 5大数学思想方法
第四节 方程思想与函数思想
类型十五方程思想在实际生活中的应用
(2018·台湾中考)某商店将巧克力包装成方形、圆形礼盒出售,且每盒方形礼盒的价钱相同,每盒圆形礼盒的价钱相同.阿郁原先想购买3盒方形礼盒和7盒圆形礼盒,但他身上的钱会不足240元,如果改成购买7盒方形礼盒和3盒圆形礼盒,他身上的钱会剩下240元.若阿郁最后购买10盒方形礼盒,则他身上的钱会剩下多少元?
( )
A.360B.480
C.600D.720
【分析】设每盒方形礼盒x元,每盒圆形礼盒y元,根据阿郁身上的钱数不变列出方程,再根据阿郁最后购买10盒方形礼盒求解即可.
【自主解答】
17.(2018·新疆中考)某商店第一次用600元购进2B铅笔若干支,第二次又用600元购进该款铅笔,但这次每支的进价是第一次进价的倍,购进数量比第一次少了30支.则该商店第一次购进的铅笔,每支的进价是______元.
类型十六方程思想在几何中的应用
(2018·湖南湘潭中考)如图,AB是以O为圆心的半圆的直径,半径CO⊥AO,点M是上的动点,且不与点A,C,B重合,直线AM交直线OC于点D,连结OM与CM.
(1)若半圆的半径为10.
①当∠AOM=60°时,求DM的长;
②当AM=12时,求DM的长.
(2)探究:
在点M运动的过程中,∠DMC的大小是否为定值?
若是,求出该定值;若不是,请说明理由.
【分析】
(1)①当∠AOM=60°时,△AMO是等边三角形,从而可知∠MOD=30°,∠D=30°,所以DM=OM=10;
②过点M作MF⊥OA于点F,设AF=x,OF=10-x,利用勾股定理即可求出x的值.易证明△AMF∽△ADO,从而可知AD的长度,进而可求出MD的长度.
(2)根据点M的位置分类讨论,然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案.
【自主解答】
数与形的组合历来都是公认的求解数学问题的理想方法,它会使抽象的问题具体化,复杂的问题简单化,几何方面的计算题便是求某些未知数的值,都可以用方程来解决.要根据两边相等、勾股定理、相似三角形中的比例线段、题目中本身具有的等量关系等建立方程,从而达到解决问题的目的.
18.(2018·山东潍坊中考)如图,点M是正方形ABCD边CD上一点,连结AM,作DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,连结BE.
(1)求证:
AE=BF;
(2)已知AF=2,四边形ABED的面积为24,求∠EBF的正弦值.
类型十七方程思想在函数中的应用
(2018·广西桂林中考)如图,已知抛物线y=ax2+bx+6(a≠0)与x轴交于点A(-3,0)和点B(1,0),与y轴交于点C.
(1)求抛物线y的函数表达式及点C的坐标;
(2)点M为坐标平面内一点,若MA=MB=MC,求点M的坐标;
(3)在抛物线上是否存在点E,使4tan∠ABE=11tan∠ACB?
若存在,求出满足条件的所有点E的坐标;若不存在,请说明理由.
【分析】
(1)根据待定系数法,可得函数表达式;
(2)根据线段垂直平分线的性质,可得M在线段AB和线段AC的垂直平分线上,根据勾股定理,可得答案;
(3)根据相似三角形的判定与性质,可得F点坐标,根据解方程组,可得D点坐标,根据正切值,可得tan∠ABE=2,①根据待定系数法,可得BM,根据解方程组,可得E点坐标;②根据正切值,可得关于m的方程,根据解方程,可得答案.
【自主解答】
方程与函数本身就有必然的联系,函数本身就可以看成一个方程,因此方程与函数有着相同的思路和解题方法.此类问题常见的形式有用待定系数法确定函数关系式,求两个函数图象的交点等.
19.(2018·湖南湘潭中考)如图,点M在函数y=(x>0)的图象上,过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=(x>0)的图象于点B,C.
(1)若点M的坐标为(1,3).
①求B,C两点的坐标;
②求直线BC的表达式;
(2)求△BMC的面积.
类型十八函数思想在实际生活中的应用
(2018·浙江舟山中考)小红帮弟弟荡秋千(如图1),秋千离地面的高度h(m)与摆动时间t(s)之间的关系如图2所示.
(1)根据函数的定义,请判断变量h是否为关于t的函数?
(2)结合图象回答:
①当t=0.7s时,h的值是多少?
并说明它的实际意义;
②秋千摆动第一个来回需多少时间?
【分析】
(1)根据函数的定义判断即可;
(2)通过观察图象求解即可.
【自主解答】
数学源于生活,又用于生活,生活中我们常把实际问题转化为数学问题来解决,往往需要找出其中的等量关系来建立函数关系,求出问题的答案,如用一次函数、反比例函数、二次函数等知识来解决生活中遇到的问题.
20.(2016·浙江衢州中考)某农场拟建三间长方形种牛饲养室,饲养室的一面靠墙(墙长50m),中间用两道墙隔开(如图).已知计划中的建筑材料可建墙的总长度为48m,则这三间长方形种牛饲养室的总占地面积的最大值为__________m2.
类型十九函数思想在数与式中的应用
(2018·山东临沂中考)一列自然数0,1,2,3,…,100.依次将该列数中的每一个数平方后除以100,得到一列新数.则下列结论正确的是()
A.原数与对应新数的差不可能等于零
B.原数与对应新数的差,随着原数的增大而增大
C.当原数与对应新数的差等于21时,原数等于30
D.当原数取50时,原数与对应新数的差最大
【分析】设出原数,表示出新数,利用解方程和函数性质即可求解.
【自主解答】
借助函数的知识解决有关方程、不等式及其他数与式的问题,往往需要我们先构造函数,再利用函数的图象和性质进行求解,常能够使得问题更加简单、直观.
21.(2018·贵州毕节中考)已知关于x的一元二次方程x2-x+m-1=0有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是________.
22.(2018·江苏连云港中考)已知A(-4,y1),B(-1,y2)是反比例函数y=
-图象上的两个点,则y1与y2的大小关系为__________.
类型二十函数思想在几何中的应用
(2018·湖北黄冈中考)如图,在直角坐标系xOy中,菱形OABC的边OA在x轴正半轴上,点B,C在第一象限,∠C=120°,边长OA=8.点M从原点O出发沿x轴正半轴以每秒1个单位长的速度作匀速运动,点N从A出发沿边AB-BC-CO以每秒2个单位长的速度作匀速运动,过点M作直线MP垂直于x轴并交折线OCB于P,交对角线OB于Q,点M和点N同时出发,分别沿各自路线运动,点N运动到原点O时,M和N两点同时停止运动.
(1)当t=2时,求线段PQ的长;
(2)求t为何值时,点P与N重合;
(3)设△APN的面积为S,求S与t的函数关系式及t的取值范围.
【分析】
(1)解直角三角形求出PM,QM即可解决问题;
(2)根据点P,N的路程之和=24,构建方程即可解决问题;
(3)分四种情形考虑问题即可解决问题;
【自主解答】
函数思想是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题.这种思想方法在于揭示问题的数量关系的本质特征,重在对问题的变量的动态的研究,从变量的运动变化,联系和发展的角度拓宽解题思路.
23.(2018·四川绵阳中考)如图,已知△ABC的顶点坐标分别为A(3,0),B(0,4),C(-3,0).动点M,N同时从A点出发,M沿A→C,N沿折线A→B→C,均以每秒1个单位长度的速度移动,当一个动点到达终点C时,另一个动点也随之停止移动,移动的时间记为t秒.连结MN.
(1)求直线BC的表达式;
(2)移动过程中,将△AMN沿直线MN翻折,点A恰好落在BC边上点D处,求此时t值及点D的坐标;
(3)当点M,N移动时,记△ABC在直线MN右侧部分的面积为S,求S关于时间t的函数关系式.
参考答案
类型十五
【例15】设每盒方形礼盒x元,每盒圆形礼盒y元,则阿郁身上的钱有(3x+7y-240)元或(7x+3y+240)元.
由题意可得3x+7y-240=7x+3y+240,
化简整理得y-x=120.
若阿郁最后购买10盒方形礼盒,则他身上的钱会剩下:
(7x+3y+240)-10x=3(y-x)+240=3×120+240=600(元).故选C.
变式训练
17.4
类型十六
【例16】
(1)①当∠AOM=60°时,
∵OM=OA,∴△AMO是等边三角形,
∴∠A=∠MOA=60°,∴∠MOD=30°,∠D=30°,
∴DM=OM=10.
②如图,过点M作MF⊥OA于点F.
设AF=x,∴OF=10-x.
∵AM=12,OA=OM=10,
由勾股定理可知122-x2=102-(10-x)2,
∴x=,∴AF=.
∵MF∥OD,∴△AMF∽△ADO,
∴=,∴=,
∴AD=,∴MD=AD-AM=.
(2)如图,当点M位于之间时,连结BC.
∵C是的中点,∴∠B=45°.
∵四边形AMCB是圆内接四边形,
此时∠CMD=∠B=45°.
如图,当点M位于之间时,连结BC.
由圆周角定理可知∠CMD=∠B=45°.
综上所述,∠CMD=45°.
变式训练
18.
(1)证明:
∵四边形ABCD为正方形,
∴BA=AD,∠BAD=90°.
∵DE⊥AM于点E,BF⊥AM于点F,
∴∠AFB=90°,∠DEA=90°.
∵∠ABF+∠BAF=90°,
∠EAD+∠BAF=90°,
∴∠ABF=∠EAD.
在△ABF和△DAE中,
∴△ABF≌△DAE(AAS),
∴BF=AE.
(2)解:
设AE=x,则BF=x,DE=AF=2.
∵四边形ABED的面积为24,
∴·x·x+·x·2=24,
解得x1=6,x2=-8(舍去),
∴EF=x-2=4.
在Rt△BEF中,BE==2,
∴sin∠EBF===.
类型十七
【例17】
(1)将A,B的坐标代入函数表达式得
解得
∴抛物线y的函数表达式y=-2x2-4x+6.
当x=0时,y=6,即C(0,6).
(2)由MA=MB=MC得M点在AB的垂直平分线上,M在AC的垂直平分线上,
设M(-1,x),
由MA=MC得(-1+2)2+x2=(x-6)2+(-1-0)2,
解得x=,
∴若MA=MB=MC,点M的坐标为(-1,).
(3)①如图,过点A作DA⊥AC交y轴于点F,交CB的延长线于点D,过点A作AM⊥x轴,连结BM交抛物线于点E.
∵∠ACO+∠CAO=90°,∠DAO+∠CAO=90°,∠ACO+∠AFO=90°,
∴∠DAO=∠ACO,∠CAO=∠AFO,
∴△AOF∽△COA,
∴=,∴AO2=OC×OF.
∵OA=3,OC=6,∴OF==,
∴F(0,-).
∵A(-3,0),F(0,-),
∴直线AF的表达式为y=-x-.
∵B(1,0),C(0,6),∴直线BC的表达式为y=-6x+6.
∴解得
∴D(,-),∴AD=,AC=3,
∴tan∠ACB==.
∵4tan∠ABE=11tan∠ACB,
∴tan∠ABE=2.
∵AB=4,tan∠ABE=2,
∴AM=8,∴M(-3,8).
∵B(1,0),(-3,8),
∴直线BM的表达式为y=-2x+2.
联立BM与抛物线得
解得x=-2或x=1(舍去),
∴y=6,∴E(-2,6).
②如图,当点E