高考数学一轮复习 第七章 立体几何 第42讲 直线平面垂直的判定及其性质学案.docx

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高考数学一轮复习第七章立体几何第42讲直线平面垂直的判定及其性质学案

第42讲　直线、平面垂直的判定及其性质

考纲要求

考情分析

命题趋势

1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．

2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的垂直关系的简单命题.

2016·全国卷Ⅰ，18

2016·全国卷Ⅱ，19

2016·江苏卷，16

2016·浙江卷，18

与直线、平面垂直有关的命题判断，线线、线面、面面垂直的证明，直线与平面所成的角的计算，求解二面角大小，由线面垂直或面面垂直探求动点的位置.

分值：

5～6分

1．直线与平面垂直

（1）直线和平面垂直的定义

如果一条直线l与平面α内的__任意一条__直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．

（2）判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__都垂直，则该直线与此平面垂直

⇒l⊥α

性质定理

垂直于同一个平面的两条直线__平行__

⇒a∥b

2．平面与平面垂直

（1）平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是__直二面角__，就说这两个平面互相垂直．

（2）判定定理和性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定定理

一个平面过另一个平面的一条__垂线__，则这两个平面互相垂直

⇒α⊥β

性质定理

两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于__交线__的直线与另一个平面垂直

⇒l⊥α

1．思维辨析（在括号内打“√”或“×”）．

（1）直线l与平面α内无数条直线都垂直，则l⊥α.（　×　）

（2）过一点作已知直线的垂面有且只有一个．（　√　）

（3）若两条直线垂直，则这两条直线相交．（　×　）

（4）若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一平面．（　×　）

（5）若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β.（　×　）

解析

（1）错误．直线l与α内两条相交直线都垂直才有l⊥α.

（2）正确．过一点可以作两条相交直线都垂直于已知直线，而这两条相交直线可确定一个平面，此平面与直线垂直．

（3）错误．两条直线垂直，这两条直线可能相交，也可能异面．

（4）错误．两个平面垂直，有一条交线，一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面，而不是任意一条直线．

（5）错误．α内的一条直线如果与β内的两条相交直线都垂直才能线面垂直，从而面面垂直．

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（　A　）

A．充分不必要条件　　B．必要不充分条件

C．充分必要条件　　D．既不充分也不必要条件

解析由面面垂直的性质定理可知，当α⊥β时，b⊥α.

又因为a⊂α，则a⊥b;

如果a∥m，a⊥b，不能得到α⊥β，

故“α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件．故选A．

3．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是（　C　）

A．α⊥β且m⊂α　　B．α⊥β且m∥α

C．m∥n且n⊥β　　D．m⊥n，n⊂α且α∥β

解析α⊥β，且m⊂α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故A项不成立；

α⊥β，且m∥α⇒m⊂β或m∥β或m与β相交，故B项不成立；

m∥n，且n⊥β⇒m⊥β.故C项成立；

m⊥n，n⊂α，且α∥β，知m⊥β不成立，故D项不成立，故选C．

4．PD垂直于正方形ABCD所在的平面，连接PB，PC，PA，AC，BD，则一定互相垂直的平面有__7__对．

解析平面PAD、平面PBD、平面PCD都垂直于平面ABCD，

平面PAD⊥平面PCD，平面PCD⊥平面PBC，

平面PAD⊥平面PAB，平面PAC⊥平面PBD，共有7对．

5．在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC内的射影为点O.

（1）若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的__外__心；

（2）若PA⊥PB，PB⊥PC,PC⊥PA，则点O是△ABC的__垂__心．

解析

（1）若PA＝PB＝PC，由勾股定理易得OA＝OB＝OC，

故O是△ABC的外心；

（2）由PA⊥PB，PC⊥PA，得PA⊥平面PBC，则PA⊥BC．

又由PO⊥平面ABC知PO⊥BC，所以BC⊥平面PAO，则AO⊥BC，同理得BO⊥AC，CO⊥AB，故O是△ABC的垂心．

一　直线与平面垂直的判定与性质

（1）证明直线和平面垂直的常用方法：

①判定定理；②垂直于平面的传递性（a∥b，a⊥α⇒b⊥α）；③面面平行的性质（a⊥α，α∥β⇒a⊥β）；④面面垂直的性质．

（2）证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

（3）线面垂直的性质常用来证明线线垂直．

【例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为棱C1D1的中点，F为棱BC的中点．

（1）求证：

直线AE⊥直线DA1；

（2）在线段AA1上求一点G，使得直线AE⊥平面DFG.

解析

（1）证明：

由正方体的性质可知，

DA1⊥AD1，DA1⊥AB，

又AB∩AD1＝A，∴DA1⊥平面ABC1D1，

又AE⊂平面ABC1D1，∴DA1⊥AE.

（2）所求G点即为A1点，证明如下：

由

（1）可知AE⊥DA1，取CD的中点H，

连接AH，EH，由DF⊥AH，DF⊥EH，AH∩EH＝H，可证DF⊥平面AHE，∵AE⊂平面AHE，∴DF⊥AE.

又DF∩A1D＝D，∴AE⊥平面DFA1，即AE⊥平面DFG.

二　平面与平面垂直的判定与性质

（1）判定面面垂直的方法：

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理（a⊥β，a⊂α⇒α⊥β）．

（2）在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

【例2】已知三棱柱A1B1C1－ABC的侧棱与底面成60°角，底面是等边三角形，侧面B1C1CB是菱形且与底面垂直，求证：

AC1⊥BC．

证明过C1作C1H⊥BC于H，连接AH，

又∵侧面B1C1CB⊥底面ABC，

侧面B1C1CB∩底面ABC＝BC，

∴C1H⊥底面ABC．

∴侧棱CC1与底面ABC所成角，

即为∠C1CH＝60°，

在Rt△C1CH中，CH＝

CC1，

又∵CC1＝BC，∴CH＝

BC，即H为BC的中点，

∴在等边△ABC中，AH⊥BC，

又∵C1H⊥BC，AH∩C1H＝H，∴BC⊥平面AC1H，

又∵AC1⊂平面AC1H，∴AC1⊥BC．

三　垂直关系中的探索性问题

解决垂直关系中的探索性问题的方法

同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个等分点，然后给出符合要求的证明．

【例3】如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC．

（1）设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：

DF∥a；

（2）若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？

若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

解析

（1）证明：

在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC⊂平面ACE，DF⊄平面ACE，∴DF∥平面ACE.

又∵DF⊂平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，∴DF∥a.

（2）线段BE上存在点G，且BG＝

BE，使得平面DFG⊥平面CDE.

证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G.连接GD，

∴CF＝EF，∴GF⊥CE.在三棱台ABC－DEF中，

由AB⊥BC得DE⊥EF.

由CF⊥平面DEF，得CF⊥DE.

又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.

又CE∩DE＝E，∴GF⊥平面CDE.

又GF⊂平面DFG，∴平面DFG⊥平面CDE.

此时，如平面图所示，∵O为CE的中点，

EF＝CF＝2BC，易证△HOC≌△FOE，

∴HB＝BC＝

EF.

由△HGB∽△FGE可知

＝

，即BG＝

BE.

1．（2018·山东青岛模拟）设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是（　C　）

A．a⊥α，b∥β，α⊥β　　B．a⊥α，b⊥β，α∥β

C．a⊂α，b⊥β，α∥β　　D．a⊂α，b∥β，α⊥β

解析对于C项，由α∥β，a⊂α可得a∥β，又b⊥β，得a⊥b，故选C．

2．（2016·浙江卷）已知互相垂直的平面α，β交于直线l，若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则（　C　）

A．m∥l　　B．m∥n

C．n⊥l　　D．m⊥n

解析∵α∩β＝l，∴l⊂β，∵n⊥β，∴n⊥l.

3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD,AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．

证明：

（1）CD⊥AE；

（2）PD⊥平面ABE.

证明

（1）在四棱锥P－ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD．∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，

而AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.

（2）由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．

∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由

（1）知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．而PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．

∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD且PA∩AD＝A，

∴AB⊥平面PAD，而PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．

又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.

4．如图，在四棱锥S－ABCD中，平面SAD⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，且P为AD的中点，Q为SB的中点．

（1）求证：

CD⊥平面SAD；

（2）求证：

PQ∥平面SCD；

（3）若SA＝SD，M为BC的中点，在棱SC上是否存在点N，使得平面DMN⊥平面ABCD？

并证明你的结论．

解析

（1）证明：

因为四边形ABCD为正方形，所以CD⊥AD．

又平面SAD⊥平面ABCD，且平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以CD⊥平面SAD．

（2）证明：

取SC的中点R，连接QR，DR.

由题意知，PD∥BC且PD＝

BC．

在△SBC中，Q为SB的中点，R为SC的中点，

所以QR∥BC且QR＝

BC．

所以QR∥PD且QR＝PD，

则四边形PDRQ为平行四边形，

所以PQ∥DR.

又PQ⊄平面SCD，DR⊂平面SCD，所以PQ∥平面SCD．

（3）存在点N为SC的中点，使得平面DMN⊥平面ABCD．

连接PC，DM交于点O，连接PM，SP，NM，ND，NO，

因为PD∥CM，且PD＝CM，

所以四边形PMCD为平行四边形，

所以PO＝CO.

又因为N为SC的中点，所以NO∥SP.

易知SP⊥AD，

平面SAD⊥平面ABCD，平面SAD∩平面ABCD＝AD，

所以SP⊥平面ABCD，所以NO⊥平面ABCD．

因为NO⊂平面DMN，所以平面DMN⊥平面ABCD．

易错点　联想不到已学定理

错因分析：

已知条件中给出了线面垂直，求证的是线线平行，若忽略线面垂直的性质定理，则觉得论证无从下手，从而造成解题困难．

【例1】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点M，N分别在BD，B1C上，且MN⊥BD,MN⊥B1C，求证：

MN∥AC1.

证明连接A1D，A1B，AC，

∵MN⊥B1C，B1C∥A1D，∴MN⊥A1D．

又∵MN⊥BD，BD∩A1D＝D，

∴MN⊥平面A1BD．

∵CC1⊥底面ABCD，∴CC1⊥BD．

又∵BD⊥AC，AC∩CC1＝C，∴BD⊥平面ACC1.

∴BD⊥AC1.同理AC1⊥A1B．

又A1B∩BD＝B，∴AC1⊥平面A1BD．

又∵MN⊥平面A1BD，∴MN∥AC1.

【跟踪训练1】如图，PA垂直于圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E,F分别是点A在PB,PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥BC．正确结论的个数为（　C　）

A．1　　　B．2

C．3　　　D．4

解析∵AB是圆O的直径，∴AC⊥BC，又PA⊥面ABC，故PA⊥BC，且PA∩AC＝A，∴BC⊥面PAC，∴BC⊥AF.

又AF⊥PC，且PC∩BC＝C，∴AF⊥面PBC，故AF⊥PB．

又AE⊥PB，且AF∩AE＝A，∴PB⊥面AEF，从而EF⊥PB，故①②③正确．若AE⊥BC，则可证AE⊥面PBC，则AE∥AF，这是不可能的，选C．

课时达标　第42讲

[解密考纲]对直线、平面垂直的判定与性质定理的初步考查一般以选择题、填空题的形式出现，难度不大；综合应用直线、平面垂直的判定与性质常以解答题为主，难度中等．

一、选择题

1．已知平面α⊥平面β，α∩β＝l，点A∈α，A∉l，直线AB∥l，直线AC⊥l，直线m∥α，m∥β，则下列四种位置关系中，不一定成立的是　（　D　）

A．AB∥m　　B．AC⊥m

C．AB∥β　　D．AC⊥β

解析如图所示，AB∥l∥m；AC⊥l，m∥l⇒AC⊥m；AB∥l⇒AB∥β，只有D项不一定成立，故选D．

2．在空间中，l，m，n，a，b表示直线，α表示平面，则下列命题正确的是（　D　）

A．若l∥α，m⊥l，则m⊥α　　B．若l⊥m，m⊥n，则l∥n

C．若a⊥α，a⊥b，则b∥α　　D．若l⊥α，l∥a，则a⊥α

解析对于A项，m与α位置关系不确定，故A项错；对于B项，当l与m，m与n为异面垂直时，l与n可能异面或相交，故B项错；对于C项，也可能b⊂α，故C项错；对于D项，由线面垂直的定义可知正确．

3．（2018·江西南昌模拟）已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（　D　）

A．α∥β且l∥α

B．α⊥β且l⊥β

C．α与β相交，且交线垂直于l

D．α与β相交，且交线平行于l

解析由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但不一定垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l.

4．设a，b是夹角为30°的异面直线，则满足条件“a⊂α，b⊂β，且α⊥β”的平面α，β（　D　）

A．不存在　　B．有且只有一对

C．有且只有两对　　D．有无数对

解析过直线a的平面α有无数个，当平面α与直线b平行时，两直线的公垂线与b确定的平面β⊥α，当平面α与b相交时，过交点作平面α的垂线与b确定的平面β⊥α.故选D．

5．（2018·宁夏银川一模）如图，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，G是EF的中点，现沿AE，AF及EF把这个正方形折成一个空间图形，使B，C，D三点重合，重合后的点记为H，那么，在这个空间图形中必有（　A　）

A．AH⊥平面EFH　　B．AG⊥平面EFH

C．HF⊥平面AEF　　D．HG⊥平面AEF

解析由平面图形得AH⊥HE，AH⊥HF，又HE∩HF＝H，

∴AH⊥平面HEF，故选A．

6．（2018·陕西宝鸡质检）对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD．

其中为真命题的是（　D　）

A．①②　　B．②③　　　　

C．②④　　D．①④

解析①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC⇒AM⊥BC，同理DM⊥BC⇒BC⊥平面AMD，而AD⊂平面AMD，故BC⊥AD．④设A在平面BCD内的射影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD⇒BO⊥CD，由AC⊥BD⇒CO⊥BD⇒O为△BCD的垂心⇒DO⊥BC⇒AD⊥BC．

二、填空题

7．若α，β是两个相交平面，m为一条直线，则下列命题中，所有真命题的序号为__②④__.

①若m⊥α，则在β内一定不存在与m平行的直线；

②若m⊥α，则在β内一定存在无数条直线与m垂直；

③若m⊂α，则在β内不一定存在与m垂直的直线；

④若m⊂α，则在β内一定存在与m垂直的直线．

解析对于①，若m⊥α，如果α，β互相垂直，则在平面β内存在与m平行的直线，故①错误；对于②，若m⊥α，则m垂直于平面α内的所有直线，故在平面β内一定存在无数条直线与m垂直，故②正确；对于③④，若m⊂α，则在平面β内一定存在与m垂直的直线，故③错误，④正确．

8．（2018·吉林长春模拟）如图所示，在直角梯形ABCD中，BC⊥DC，AE⊥DC，N，M分别是AD，BE的中点，将三角形ADE沿AE折起，下列说法正确的是__①②__（填上所有正确的序号）．

①不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥平面DEC；

②不论D折至何位置都有MN⊥AE；

③不论D折至何位置（不在平面ABC内）都有MN∥AB．

解析①如图，分别取EC，DE的中点P，Q，由已知易知四边形MNQP为平行四边形，则MN∥PQ，又PQ⊂平面DEC，故MN∥平面DEC，①正确；

②取AE的中点O，易证NO⊥AE，MO⊥AE.故AE⊥平面MNO，又MN⊂平面MNO，则AE⊥MN，②正确；

③∵D∉平面ABC，∴N∉平面ABC，又A，B，M∈平面ABC，

∴MN与AB异面，③错误．

9．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E，要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为__

__.

解析设B1F＝x，因为AB1⊥平面C1DF，

DF⊂平面C1DF，所以AB1⊥DF.

由已知可以得A1B1＝

.

设Rt△AA1B斜边AB1上的高为h，则DE＝

h.

又2×2

＝h

，所以h＝

，DE＝

.

在Rt△DB1E中，B1E＝

＝

.

由面积相等得

×

＝

x，得x＝

.

即线段B1F的长为

.

三、解答题

10．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，D是AC的中点，S是△ABC所在平面外一点，且SA＝SB＝SC．

（1）求证：

SD⊥平面ABC；

（2）若AB＝BC，求证：

BD⊥平面SAC．

证明

（1）因为SA＝SC，D是AC的中点，所以SD⊥AC．

在Rt△ABC中，AD＝BD，又SA＝SB，SD＝SD，

所以△ADS≌△BDS，所以SD⊥BD．

又AC∩BD＝D，所以SD⊥平面ABC．

（2）因为AB＝BC，D为AC的中点，所以BD⊥AC．

由

（1）知SD⊥BD，又SD∩AC＝D，所以BD⊥平面SAC．

11．（2018·河南郑州模拟）如图，已知三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，AB＝AC，∠BAC＝90°，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

（1）证明：

MN∥平面AA′C′C；

（2）设AB＝λAA′，当λ为何值时，CN⊥平面A′MN，试证明你的结论．

解析

（1）证明：

如图，取A′B′的中点E，连接ME，NE.

因为E，N分别为A′B′和B′C′的中点，所以NE∥A′C′，ME∥BB′∥AA′.

又A′C′⊂平面AA′C′C，NE⊄平面AA′C′C，

所以NE∥平面AA′C′C，同理ME∥平面AA′C′C，

又EM∩EN＝E，所以平面MNE∥平面AA′C′C，

因为MN⊂平面MNE，所以MN∥平面AA′C′C．

（2）当λ＝

时，CN⊥平面A′MN，证明如下：

连接BN，设AA′＝a，则AB＝λAA′＝λa，

由题意知BC＝

λa，CN＝BN＝

，

因为三棱柱ABC－A′B′C′的侧棱垂直于底面，

所以平面A′B′C′⊥平面BB′C′C，

因为AB＝AC，点N是B′C′的中点，

所以A′N⊥平面BB′C′C，所以CN⊥A′N，

要使CN⊥平面A′MN，只需CN⊥BN即可，

所以CN2＋BN2＝BC2，即2

＝2λ2a2，

解得λ＝

，故当λ＝

时，CN⊥平面A′MN.

12．如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝

，BC＝1，D，E两点分别是边AB，AC的中点，现将△ABC沿DE折成直二面角A－DE－B．

（1）求证：

平面ADC⊥平面ABE；

（2）求直线AD与平面ABE所成角的正切值．

解析

（1）证明：

∵D，E两点分别是边AB，AC的中点，

∴DE∥BC．

∵∠B＝90°，∠ADE＝90°，∴DE⊥AD，DE⊥BD，

∴∠ADB为二面角A－DE－B的平面角，∵∠ADB＝90°，

∴AD⊥平面BCD．又∵BE⊂平面BCD，∴AD⊥BE.

又∵BD＝

，DE＝

，BC＝1，即

＝

，

∴△BDE∽△CBD，∴∠EBD＝∠DCB，

∴∠EBD＋∠BDC＝90°，

∴BE⊥DC．又∵DC∩AD＝D，∴BE⊥平面ADC．

又∵BE⊂平面ABE，∴平面ABE⊥平面ADC．

（2）设BE交CD于H，连接AH，过点D作DO⊥AH于O.

∵AD⊥BE，BE⊥DH，又∵AD∩DH＝D，

∴BE⊥平面ADH.

∵DO⊂平面ADH，∴BE⊥DO.

又∵DO⊥AH，BE∩AH＝H，∴DO⊥平面ABE，

∴∠DAO为AD与平面ABE所成的角．

在Rt△BDE中，BD＝

，DE＝

，∴DH＝

＝

.

在Rt△ADH中，tan∠DAO＝

＝

×

＝

，

∴直线AD与平面ABE所成角的正切值为

.