人教版高中数学选修22教案全集.docx

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人教版高中数学选修22教案全集

人教版高中数学选修2-2教案全集

第一章导数及其应用

§i.i.i变化率问题

教学目标:

i.理解平均变化率的概念；

2•了解平均变化率的几何意义；

3•会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：

平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：

平均变化率的概念.

教学过程：

1.创设情景

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具。

导数研究的问题即变化率问题：

研究某个变量相对于另一个变量变化的快慢程度.

二•新课讲授

（一）问题提出

问题1气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球内空气容量的增加，气球的半径

增加越来越慢•从数学角度，如何描述这种现象呢？

43

气球的体积V（单位：

L）与半径r（单位：

dnm之间的函数关系是V（r）r

3

分析:

如果将半径r表示为体积V的函数，那么r（V）

r（V）

当V从0增加到1时，气球半径增加了r

（1）r（0）0.62（dm）

气球的平均膨胀率为r

（1）r（0）0.62（dm/L）

10

当V从1增加到2时，气球半径增加了r

（2）r

（1）0.16（dm）

气球的平均膨胀率为「⑵r

（1）0.16（dm/L）

21

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：

当空气容量从Vi增加到V2时，气球的平均膨胀率是多少

r（V2）r（Vi）

V2V1

问题2高台跳水在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度h（单位：

m与起跳后

2

员在某些时间段内的平均速

V度粗略地描述其运动状态？

丰h

O

的时间t（单位：

s）存在函数关系h（t）=-4.9t+6.5t+10.如何用运动

所以v

65

49

0（s/m），

思考计算：

0t0.5和1t2的平均速度v

在0

t0.5这段时间里，

-h（0.5）h（0）

v4.05（m/s）；

0.50

在1

t2这段时间里，V

h

（2）h

（1）8.2（m/s）

21

探究:

计算运动员在0t

65

这段时间里的平均速度，并思考以下问题

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗?

h（0），

探究过程：

如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,

1.上述问题中的变化率可用式子

2•若设XX2X1,

65

虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为0（s/m），但实际情况是运动员仍然运动，并

49

非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

（二）平均变化率概念

f（X2）——f（X1）表示，称为函数f（x）从X1到X2的平均变化率

X2X1

f（X2）f（X1）（这里X看作是对于X1的一个“增量”可用

X1+X代替X2,同样f

yf（x2）f（X1））

3•则平均变化率为丄丄f（X2）f（Xl）f（X1x）f（X1）

XXX2XiX

例1.已知函数f（X）=

X2X的图象上的一点A（1,

2）及临近一点B（1

X,2y）,

则」.

X

解：

2y（1x）2（1x）,

（1X）2（1x）2

X

例2.

2

求yx在xX。

附近的平均变化率。

解:

y（xo

X）2Xo2，所以」

X

（XoX）2X。

2

X

222

Xo2xoxxXo

2xox

所以V

650

49

0（s/m）,

2

所以yx在xX。

附近的平均变化率为2xox

四•课堂练习

1•质点运动规律为st23，则在时间（3,3t）中相应的平均速度为•

2.物体按照s（t）=3t2+t+4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率253t

3.过曲线y=f（x）=x3上两点P（1,1）和Q（1+△x,1+△y）作曲线的割线，求出当厶x=0.1时割线的斜率•

五•回顾总结

1.平均变化率的概念

2•函数在某点处附近的平均变化率

六.教后反思：

§1.1.2导数的概念

教学目标：

1•了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵；

3•会求函数在某点的导数

教学重点：

瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；教学难点：

导数的概念.

教学过程：

一•创设情景

（1）平均变化率

65

（2）探究：

计算运动员在0t这段时间里的平均速度，并思考以下问题:

49

⑴运动员在这段时间内使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：

如图是函数h（t）=-4.9t2+6.5t+10的图像，结合图形可知,

65

虽然运动员在0t这段时间里的平均速度为O（s/m），但实际情况是运动员仍然运动，并

49

非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

二•新课讲授

1•瞬时速度

我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。

运动员的平均速度不能反映他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？

比如，t2时的瞬时速度是多少？

考察

t2附近的情况：

Az"时.在[2+Ai,2]&段时（W

&沁时，在［2,2十拉］这段时间內门

-城2〕—衍（2+扭）4£山$+12.1&

-腻2十山）-凰2〉-49A?

-13.1AZ

2-（2亠山）-LtQ

二T9&一13.1

（2斗Ad）—2Af

=-4SA£-13.1

当应=—0.01时.山=—12.051；护

当Az=0.01fthA/=-13.05bQ

=-0.001时，Ai=-13.095h口

当加=0001时，AZ=-13.0951；屮

当Ai=-0001时,Af=-13,09951；卫

当山=0.001时，A/=-13.09951；q

当=-00001时，Ai=-13099951,门

当加=时，Ai=-13.0999511p

当A;=-000001时，Ai=-13,099951；

当山=0.0000】时,Az=-13.099951；护

2£危■!

■心

-■“■■烹

思考：

当t趋近于0时，平均速度v有什么样的变化趋势?

结论：

当t趋近于0时，即无论t从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，平均

速度V都趋近于一个确定的值13.1.

从物理的角度看，时间|t间隔无限变小时，平均速度V就无限趋近于史的瞬时速度，因此,

运动员在t2时的瞬时速度是13.1m/s

为了表述方便，我们用limh（2一t）h

（2）13.1

t0+

表示“当t2,t趋近于0时，平均速度V趋近于定值13.1

然后通过取极限，从瞬时速度的近

小结：

局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度,似值过渡到瞬时速度的精确值。

2导数的概念

从函数y=f（x）在x=x0处的瞬时变化率是

lim血

x0

x）

x

f（X。

）

lixm0

我们称它为函数y

f（x）在xx0出的导数，记作f'（x0）或y'|xx0，即

f（X°X）f（X。

）

f（x。

）limo-一

0

说明：

（1）导数即为函数y=f（x）在x=x-处的瞬时变化率

（2）xxx0，当x-时，xx。

，所以f（x0）llmf（x）一f（x-）

X0xx0

三.典例分析

例1.

（1）求函数y=3x2在x=1处的导数.

f

（1）llmy

x0x

（1x）2（1x）2

x

llm（3

x0

x）3

2分析：

先求△f=△y=f（1+Ax）-f

（1）=6△x+（△x）再求丄6x再求llm-6

x0

x

x0x

解:

法一

定义法（略）

法二

3x2

312

3（x212）

limlim3（

x1x1x1

二：

y

lx101x

1

x1）6

（2）

求函数

f（x）=x2

x在x

1附近的平均变化率，

并求出在该点处的导数

解:

y

（1x）2

（1

x）2

3x

xx

例2.（课本例1）将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热，如果第xh时，原油的温度（单位：

°C）为f（x）x27x15（0x8），计算第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率就是f'

（2）和f'（6）

根据导数定义,

ff（2x）f（x°）

22

（2x）27（2x）15（227215）

所以f

（2）

lim-

x0x

同理可得：

f（6）5

在第2h时和第6h时，原油温度的瞬时变化率分别为3和5,说明在2h附近，原油温度大

约以3oC/h的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5oC/h的速率上升.注：

一般地，f'（x。

）反映了原油温度在时刻X。

附近的变化情况.

四．课堂练习

1．质点运动规律为st23,求质点在t3的瞬时速度为．

2．求曲线y=f（x）=x3在x1时的导数．

3．例2中,计算第3h时和第5h时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义．

五．回顾总结

1．瞬时速度、瞬时变化率的概念

2．导数的概念

六．教后反思：

§1.1.3导数的几何意义

教学目标：

1．了解平均变化率与割线斜率之间的关系；2．理解曲线的切线的概念；3．通过函数的图像直观地理解导数的几何意义,并会用导数的几何意义解题；教学重点：

曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；教学难点：

导数的几何意义．

教学过程：

一．创设情景

（1）平均变化率、割线的斜率

（2）瞬时速度、导数

我们知道，导数表示函数y=f（x）在x=xo处的瞬时变化率，反映了函数y=f（x）在x=x°附近的

变化情况,导数f（x0）的几何意义是什么呢？

二．新课讲授

（一）曲线的切线及切线的斜率：

如图3.1-2，当Pn（xn,f（xn））（n1,2,3,4）沿着曲线f（x）趋

近于点P（Xo,f（Xo））时，割线PPn的变化趋势是什么?

我们发现,当点Pn沿着曲线无限接近点P即厶XT0时，割线PPn趋近于确定的位置，这个确

定位置的直线PT称为曲线在点P处的切线.

问题：

⑴害熾ppn的斜率kn与切线PT的斜率k有什么关系?

⑵切线PT的斜率k为多少?

容易知道，割线PPn的斜率是

knf（Xn）f（Xo），当点P1沿着曲线无限接近点P时，kn无

XnXo

限趋近于切线PT的斜率k,即k

f（XoX）f（Xo）

limf（xo）

xoX

说明：

（1）设切线的倾斜角为a,那么当△XT0时,割线PQ的斜率,称为曲线在点P处的切线的斜率•

这个概念：

①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在XX0处的导数•

（2）曲线在某点处的切线：

1）与该点的位置有关；2）要根据割线是否有极限位置来判断与求解•如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；3）曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个•

（二）导数的几何意义：

函数y=f（x）在x=xo处的导数等于在该点

（Xo,f（Xo））处的切线的斜率

即f（Xo）

lim血

x0

X）

f（X。

）

说明：

求曲线在某点处的切线方程的基本步骤

1求出P点的坐标；

2求出函数在点X。

处的变化率f（x0）

lim丄©—X）f（Xo）k，得到曲线在点

X0

（Xo,f（Xo））的切线的斜率;

③利用点斜式求切线方程

（二）导函数：

由函数f（X）在X=X0处求导数的过程可以看到

当时，f（Xo）是一个确定的数，那么，当X变

化时，便是X的一个函数，我们叫它为f（X）的导函数•记作：

f（x）或y,

即•f（XX）f（X）

即•f（x）ylim

X0X

注：

在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

（三）函数f（x）在点Xo处的导数f（X。

）、导函数f（X）、导数之间的区别与联系。

（1）函数在一点处的导数f（Xo），就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，

它是一个常数，不是变数。

（2）函数的导数，是指某一区间内任意点x而言的，就是函数f（x）的导函数

（3）函数f（X）在点Xo处的导数f'（Xo）就是导函数f（X）在XXo处的函数值，这也是求函数在点X）处的导数的方法之一。

三.典例分析

2

例1:

（1）求曲线y=f（x）=x+1在点F（1,2）处的切线方程

（2）求函数y=3x2在点（1,3）处的导数.

解:

（1）y1x1

1沁

xo

22

x）1]（11）

X

c2

2xxlim

xo

2,

所以，所求切线的斜率为

2，因此，所求的切线方程为y22（x1）即2xy0

（2）因为y|x1

22

..3x31lim

x1x1

22

..3（x1）

lim

x1x1

lim3（x1）6

X1

所以，所求切线的斜率为6,因此，所求的切线方程为y36（x1）即6xy3O

（2）求函数f（x）=x2x在x1附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

2

解：

-y

x

（1x）（1x）2

x

y（1x）2（1x）2

f

（1）limlim（3x）3

Vx0xxVx0

例2.（课本例2）如图3.1-3，它表示跳水运动中高度随时间变化的函数

h（x）4.9x26.5x10，根据图像，请描述、比

乎没有升降.

（2）当tt1时，曲线h（t）在t1处的切线11的斜率h（tj0,所以，在tt1附近曲线下降，

即函数h（x）4.9x26.5x10在tt1附近单调递减.

（3）当tt2时，曲线h（t）在t2处的切线l2的斜率h（t2）0,所以，在tt2附近曲线下降,

2

即函数h（x）4.9x6.5x10在tt?

附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线|1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线在t1附近比在t2附近下降的缓慢.

例3.（课本例3）如图3.1-4，它表示人体血管中药物浓度cf（t）（单位：

mg/mL）随

时间t（单位：

min）变化的图象.根据图像，估计t0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓度

的瞬时变化率（精确到0.1）.

解：

血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度

"mini

f（t）在此时刻的导数，从图像上

看，它表示曲线f（t）在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值.

作t0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48），则它的斜率为:

0.480.91k1.4

1.00.7

所以f（0.8）1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t

0.2

0.4

0.6

0.8

药物浓度瞬时变化率f'（t）

0.4

0

-0.7

-1.4

四•课堂练习

1.求曲线y=f（x）=x3在点（1,1）处的切线;

2.求曲线yx在点（4,2）处的切线.

五•回顾总结

1.曲线的切线及切线的斜率；

2.导数的几何意义

六.教后反思：

§1.2.1几个常用函数的导数

教学目标:

1

-的导

x

•使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数yc、yx、yx2

数公式；

2•掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

21

教学重点：

四种常见函数yc、yx、yx、y的导数公式及应用

x

21

教学难点：

四种常见函数yc、yx、yx2、y的导数公式

x

教学过程：

一•创设情景

我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一时刻

的瞬时速度•那么，对于函数yf（x），如何求它的导数呢?

由导数定义本身，给出了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导

数总是归结到求极限这在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，

这一单元我们将研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

二•新课讲授1•函数yf（x）c的导数

根据导数定义，因为丄f（xx）f（x）」o

xxx

所以ylim—lim00

x0xx0

函数

导数

yc

y0

y0表示函数yc图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为0•若yc表示路程关于

时间的函数，则y0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即物体一直处于静止状态.

2.函数y

f（x）x的导数

因为」

x

f（xx）f（x）x

xx!

x

x

所以ylim」

lim11

x0xx0

函数

导数

yx

y1

1.若yx表示路程关于

1表示函数yx图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为

时间的函数，贝Uy

1可以解释为某物体做瞬时速度为

1的匀速运动.

3.函数yf（X）

x2的导数

因为

f（x

X）f（x）

x

22

（XX）X

X

所以

22

x2xx（x）

2xx

lim（2xx）

2x

2x表示函数

说明随着x的变

化,

切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看,

表明：

当x0

函数

导数

2

yx

y2x

时,

随着x的增加，函数yx减少得越来越慢；当x0时，随着x的增加，函数yx2增加

2

得越来越快.若yx表示路程关于时间的函数，则y2x可以解释为某物体做变速运动，它

在时刻x的瞬时速度为2x.

1

4.函数yf（x）的导数

x

因为一y

x

f（xx）f（x）

XXX

x

所以y

x（xx）x（x

x）x

x2xx

lim—

x0x

函数

导数

1

1

y

y

r

X

X

5.函数yf（x）.x的导数

因为_yf（xX）f（x）XX,x

XXx

（XX.x）（、xX.x）

x（XX、一x）

（xx）X

y

1

2「x

所以y

X（'、XX\x）

函数

导数

yVx

1

y兀

X

（2）推广：

若yf（x）xn（nQ），则f（x）nxn1

三•课堂练习

1.课本P13探究1

2.课本Pn探究2

四•回顾总结

函数

导数

y

c

1

y

0

y

X

1

y

1

y

2X

1

y

2x

1

1

1

y

y

2

X

X

yVx

y

1

2依

n*

yf（x）x（nQ）

1

y

n1nx

五•教后反思:

§122基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1•熟练掌握基本初等函数的导数公式；

2•掌握导数的四则运算法则；

3•能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.教学重点：

基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：

基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

一•创设情景

五种常见函数yc、yx、yx2、y-、y.x的导数公式及应用

x

函数

导数

yc

y'0

yx

y'1

2

yx

y'2x

1y

x

1ypx

yVx

1

y航

n*

yf（x）x（nQ）

'n1

ynx

:

■•新课讲授

（一）基本初等函数的导数公式表

（二）导数的运算法则导数运算法则

1-f（x）g（x）f'（x）g'（x）

2-f（x）g（x）'f'（x）g（x）f（x）g'（x）

3f（x）f'（x）g（x）f（x）g'（x）

3-2（g（x）0）

g（x）g（x）

（2）推论：

cf（x）Cf'（X）

（常数与函数的积的导数，等于常数乘函数的导数）

.典例分析

t（单

）1,

例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p（单位：

元）与时间

位：

年）有如下函数关系p（t）po（15%）七，其中po为t0时的物价.假定某种商品的

0.01）？

那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少（精确到

解：

根据基本初等函数导数公式表，有p'（t）1.05'ln1.05

所以p'（10）1.05101n1.050.08（元/年）

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

（1）yx32x3

（2）

（3）yxsinxInx；

（4）y

（5）y

4x

1Inx

1Inx

2x

（6）y（2x5x1）e;

/、sinxxcosx

（7）y

cosxxsinx

解：

（1）y（x32x3）（x3）（2x）（3）3x22,

2

y3x2。

（2）y

（1）

（1）'（1「X）（1

（1Vx）（1vx）（1vx）2（1vx）2